Cálculo 3: Integrales Triples en Coordenaadas Cilíndricas y Esféricas, Ejercicios de Matemáticas

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Departamento de Ciencias

CÁLCULO 3 SESIÓN 7 : Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas

INTRODUCCIÓN ¿Qué sistemas de coordenadas proporcionan las grúas?

Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar la altura 𝑧 a la

que se sube, cuánto hay que desplazarla a lo largo de la flecha (brazo

de la grúa) 𝑟; y el ángulo de giro de la flecha dado por 𝜃.

LOGRO DE SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve problemas vinculados a gestión e ingeniería utilizando las integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas, de forma coherente.

CONTENIDOS

1. Cambio de variable en integrales triples.

2. coordenadas cilíndricas.

3. coordenadas esféricas

Si se tiene la transformación 𝑥 = 𝑔 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑦 = ℎ 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑧 = 𝑘 𝑢, 𝑣, 𝑤 Entonces, cualquier función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) definida en 𝐷 se considera como una función 𝑓(𝑔 𝑢, 𝑣, 𝑤 , ℎ 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑘 𝑢, 𝑣, 𝑤 ) definida en 𝐺. Si 𝑔 , ℎ y 𝑘 tienen primeras derivadas parciales continuas y 𝑱(𝒖, 𝒗, 𝒘) ≠ 𝟎 , entonces la integral de 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre 𝑫 se relaciona con la integral de 𝑓(𝑔 𝑢, 𝑣, 𝑤 , ℎ 𝑢, 𝑣, 𝑤 , 𝑘 𝑢, 𝑣, 𝑤 ) sobre 𝑮 mediante la ecuación: ම 𝐷

𝐺

CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES TRIPLES

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS Para coordenadas cilíndricas 𝑟, 𝜃 y 𝑧 toman los lugares de 𝑢, 𝑣 y 𝑤. La transformación del espacio cartesiano 𝑟𝜃𝑧 al espacio cartesiano 𝑥𝑦𝑧 está dada por las ecuaciones: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜃, 𝑧 = 𝑧 El jacobiano de la transformación es 𝐽(𝑟,^ 𝜃,^ 𝑧)^ = 𝜕𝑥 𝜕𝑟 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑟 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑧 = cos 𝜃 −𝑟 sin 𝜃 0 sin 𝜃 𝑟 cos 𝜃 0 0 0 1 = 𝑟 ම 𝐷

𝐺 𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧

INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFÉRICAS Para coordenadas esféricas ρ, 𝜃, 𝜙 toman los lugares de 𝑢, 𝑣 y 𝑤. La transformación del espacio cartesiano ρ𝜃𝜙 al espacio cartesiano 𝑥𝑦𝑧 está dada por: El jacobiano de la transformación es (^) 𝐽(𝜌, 𝜃, 𝜙) = 𝜕𝑥 𝜕𝜌 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑥 𝜕𝜙 𝜕𝑦 𝜕𝜌 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑦 𝜕𝜙 𝜕𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝑦 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝜙 = −𝜌^2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 cos 𝜃 , 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑧 = 𝜌 cos 𝜙 ම 𝐷

𝐺 𝑓 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 cos 𝜃 , 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝜌 cos 𝜙 𝐽(𝜌, 𝜃, 𝜙) 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃

EJEMPLOS El sólido 𝑄 está limitado por las superficies 𝑦 = 𝑧 y 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2 = 1 ; en el primer octante. Usando coordenadas esféricas calcular ම 𝑄

Solución: ම 𝑄 𝑧𝑑𝑉 = න 0 𝜋/ 4 න 0 𝜋/ 2 න 0 1 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 cos 𝜃 ⋅ 𝜌^2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑑𝜌𝑑𝜙𝑑𝜃 = න 0 𝜋/ 4 න 0 𝜋/ (^2) 𝜌 4 4 𝑠𝑒𝑛^2 𝜙 cos 𝜃 0 1 𝑑𝜙𝑑𝜃 = න 0 𝜋/ 4 න 0 𝜋/ (^2 ) 4 𝑠𝑒𝑛^2 𝜙 cos 𝜃 𝑑𝜙𝑑𝜃 = න 0 𝜋/ (^4) 𝜃 2 − 1 4 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) cos 𝜃 4 0 𝜋/ 2 𝑑𝜃 = න 0 𝜋/ (^4) 𝜋 4 cos 𝜃 4 𝑑𝜃 = 𝜋𝑠𝑒𝑛𝜃 16 0 𝜋/ 4 = 𝜋 16 2 El cambio de variable sería 𝑧 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙 cos 𝜃 𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜙𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 = 𝜌 cos 𝜙 𝐽(𝜌, 𝜃, 𝜙) = 𝜌 2 𝑠𝑒𝑛𝜙 𝑄

METACOGNICIÓN

¿Qué hemos aprendido en esta

sesión?

¿Qué dificultades se

presentaron? ¿Cómo se absolvieron las dificultades

las dificultades encontradas?

¿Qué tipos de problemas se pueden resolver mediante las integrales triples?

REFERENCIAS ▪ Stewart, J. ( 2008 ). Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas. Cengage Learning. ▪ Larson, R. ( 2010 ). Cálculo 2. McGraw Hill. ➢ 515. 33 PURC, PURCELL EDWIN J., Cálculo Diferencial e Integral ➢ 515 STEW/M 2002 , STEWART JAMES, Cálculo Multivariable