Formulari de M`etodes Matem`atics I
Manel Bosch
Gener 2011
I.PROBABILITAT
EXEMPLES DE FUNCIONS DE DISTRIBUCI ´
O
DISTRIBUCI ´
O DENSITAT FUNCI ´
O VALOR VARIANC¸ A
DISTRIBUCI ´
O DE PROBABILITAT CARACTER´
ISTICA MITJ `
A VARIANC¸ A
Uniforme f(x;a, b) =
1
b−aa≥x≥b
0x /∈[a, b]
eibu −eiau
(b−a)iu
(b−a)
2
(b−a)2
12
Binomial f(x;n, p) = n
xpxqn−x(q+peiu)nnp npq
Poisson f(x;λ) = λx
x!e−λexp[λ(eiu −1)] λ λ
Gaussiana f(x;µ, σ) = 1
√2πσ exp −(x−µ)2
2σ2exp iµu −σ2u2
2µ σ2
1. VALORS ESPERATS i MOMENTS
•Siguin Xif(X) definim el valor mitj`a o valor esperat de
f(X) :
hf(X)i ≡
∞
Z
−∞
f(x)dFX(x) =
∞
Z
−∞
f(x)pX(x)dx
X
n
f(xn)P{X=xn}
3.1 Moments
•Moments d’Xd’ordre n:
hXni ≡
∞
Z
−∞
xndFX(x).
•El primer moment ´es el valor mitj`a.:
µ≡ hXi=
∞
Z
−∞
xpX(x)dx
X
n
xnP{X=xn}
•Moment central:
h[X− hXi]ni=
∞
Z
−∞
(x−µ)ndFX(x)
•Varian¸ca (segon moment central):
Var(X)≡σ2[X− hXi]2=
∞
Z
−∞
(x−µ)2pX(x)dx
X
n
(xn−µ)2P{X=xn}
•σ= desviaci´o t´ıpica. σ2=X2− hXi2
2. FUNCI ´
O GENERADORA DE MOMENTS
•La funci´o generadora de moments ´es el valor esperat
d’etX , on t∈R:
MX(t)≡etX =
∞
Z
−∞
etX dFX(x)
i satisf`a:
1.
hXni=dn
dtnMX(t)t=0
n∈ {1,2, . . .}
2. Si Y=aX +b
MY(t) = ebtMX(at)
1
