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González Moreno, Gerard Entrega 1 20/02/
6. Utilizando 5 cifras decimales, calcular:
√ k 2 , 15283 − √k 2 , 15263 (k = 2, 3 , 4)
a) Directamente.
b) Usando fórmulas equivalentes, mejor desde el punto de vista numérico. Indicación: Utilizar la división de polinomios (ak^ − bk)/(a − b)
SOLUCIÓN
a) Directamente
Para calcular k
2 , 15283 − k
2 , 15263 , (k = 2, 3 , 4) utilizaremos el siguiente algoritmo:
I) Introducimos k
II) Introducimos k
III) Calculamos k
2 , 15283 − k
Haciendo este proceso para k = 2, 3 , 4 obtenemos los resultados que mostramos en la siguiente tabla:
k=2 k=3 k= √ k 2 , 15283 1 , 46725 1 , 29123 1 , 21130 √ k 2 , 15263 1 , 46718 1 , 29119 1 , 21127 √ k 2 , 15283 − √k 2 , 15263 0 , 00007 0 , 00004 0 , 00003
Podemos observar que en todos los resultados obtenemos una única cifra significativa. Esto puede ocasionar un pro- blema de cancelación de terminos, con lo cual, tendremos que evitarlo.
b) Usando fórmulas equivalentes
Haciendo uso de la indicación, utilizaremos la división del polinomio (ak^ − bk) entre (a − b) para encontrar la fórmula. Para ello haremos uso de la regla de Ruffini. Hay que tener en cuenta que disponemos de dos variables, por ello tomaremos bk^ como si se tratara de una constante.
- Completamos el polinomio ak^ − bk,
ak^ + 0 · ak−^1 + 0 · ak−^2 + · · · + 0 · a − bk
- Hacemos la división
1 0 0 · · · 0 −bk b b b^2 · · · bk−^1 bk 1 b b^2 · · · bk−^1
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así, el cociente será:
ak−^1 + ak−^2 b + ak−^3 b^2 + · · · + abk−^2 + bk−^1
Tenemos pues que ak^ − bk^ = (ak−^1 + ak−^2 b + ak−^3 b^2 + · · · + abk−^2 + bk−^1 ) · (a − b). Aislamos a − b de la expresión anterior y nos queda:
a − b =
ak^ − bk ak−^1 + ak−^2 b + ak−^3 b^2 + · · · + abk−^2 + bk−^1
Si sustituimos los valores a = k
2 , 15283 , b = k
2 , 15263 para k = 2, 3 , 4 en la ecuación (1) y teniendo en cuenta que 2 , 15283 − 2 ,15263 = 0,0002 = 2 · 10 −^4 ya habremos acabado.
Utilizando 5 decimales obtenemos:
k=2 −→
= 6 , 81563 · 10 −^5
k=3 −→ 3
2 ,15283)^2 + 3
2 ,15263)^2
= 3 , 99866 · 10 −^5
k=4 −→ 4
2 ,15283)^3 + 2
2 ,15263)^3
= 2 , 81340 · 10 −^5
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Calculamos In para n = { 2 , 4 ,... , 20 }. Para realizar este proceso hemos hecho servir el programa que acontinuación se detalla:
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 4 #define PI 3. 5 6 int main( char (^) argv[]){ 7 int n=argv[2]; 8 double A[n2]; 9 10 A[0]=2/PI; 11 printf("I[ %i]= %lf\n",n,A[0]); 12 for (n=2;n<=20;n+=2){ 13 A[n]=(1/PI)-((n(n-1)/(PIPI))*A[n-2]); 14 printf("I[ %i]= %lf\n",n,A[n]); 15 } 16 retourn 0; 17 }
Por el cual hemos obtenido los siguientes valores para n = { 0 , 2 , 4 ,... , 20 }:
n In n In 0 0 , 636639 12 0 , 016574 2 0 , 189302 14 0 , 012665 4 0 , 088142 16 0 , 010323 6 0 , 050383 18 − 0 , 001756 8 0 , 032432 20 0 , 385943 10 0 , 022560
En la tabla podemos observar que que para I 18 la recurrencia toma valores negativos lo que no puede ser ya que el valor de la integral tendria que decrecer al aumentar n. Este echo es devido a que los errores se amplifican a cada paso de la recurrencia por un factor de n(n π− 2 1). Por ejemplo si queremos calcular el error acumulado En tenemos que:
En = n^ ·^ (n^ −^ 1)^ ·^ (n^ −^ 2)^ ·^ (n^ −^ 3)^ ·^ (n^ −^ 4)^ ·^ (n^ −^ 4)^ ·^...^ ·^4 ·^3 ·^2 ·^1 π^2 ·..... .n · π^2
= n! πn^
para n = { 0 , 2 , 4 ,... , 20 }
Recurrencia de la cual optenemos la tabla:
n En n En 0 1 , 000000 12 5 , 182490 · 102 2 0 , 202642 14 9 , 556748 · 103 4 0 , 164255 16 2 , 323922 · 105 6 0 , 748916 18 7 , 205155 · 106 8 4 , 249341 20 2 , 774132 · 108 10 3 , 874933 · 10
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Con el fin de evitar este error, tomamos la recurrencia inversa, para ello,despejamos In− 2 de la reccurencia anterior:
In− 2 =
π
− In
· π
2 n(n − 1)
Como la integral tiende a cero existe n lo suficientemente grande tal que In → 0. Tomando por ejemplo n = 30:
n In 30 0 , 000000 28 0 , 003611 26 0 , 004108 24 0 , 004771 22 0 , 005606 20 0 , 006680 18 0 , 008094 16 0 , 010006
n In 14 0 , 012679 12 0 , 016574 10 0 , 022561 8 0 , 032433 6 0 , 050384 4 0 , 088144 2 0 , 189304 0 0 , 636620
Para calcular esta iteración hemos echo uso del código:
1 #include <stdio.h> 2 #include <math.h> 3 4 #define PI 3. 5 6 int main( char (^) argv[]){ 7 int n=argv[2]; 8 double A[n3]; 9 10 A[30]=0; 11 printf("I[ %i]= %lf\n",n,A[0]); 12 for (n=30;n>=0;n-=2){ 13 A[n-2]=((PIPI)/(n(n-1)))*((1/PI)-A[n]); 14 printf("I[ %i]= %lf\n",n,A[n-2]); 15 } 16 }
Para este nuevo caso tenemos que el incremento del coeficiente de error viene determinado por π
2 n(n−1). Mediante el mismo proceso que en el caso anterior, tenemos:
En = π
(^2) ·..... .n · π 2 n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · (n − 4) · (n − 4) ·... · 4 · 3 · 2 · 1
= π
n n!
para n = { 0 , 2 , 4 ,... , 20 }
n En 30 1 , 000000 28 4 , 934802 26 4 , 058712 24 1 , 335262 22 0 , 235330 20 0 , 025806 18 0 , 001929 16 0 , 000104
n En 14 0 , 000004 12 1 , 387895 · 10 −^7 10 3 , 604730 · 10 −^9 8 7 , 700707 · 10 −^11 6 1 , 376864 · 10 −^12 4 2 , 090632 · 10 −^14 2 2 , 729327 · 10 −^16 0 3 , 096250 · 10 −^18
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