¡Descarga unitats i errors matematics y más Resúmenes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
TEMA INICIAL: UNITATS I ERRORS
- Les magnituds físiques
- Sistemes d'unitats. Notació científica. Factors de conversió
- Magnituds físiques fonamentals i magnituds suplementàries
- Magnituds físiques derivades i anàlisi dimensional
- Magnituds escalars i magnituds vectorials
- Mesura i error
- El mètode científic En aquesta unitat aprendràs a:
Identificar les magnituds físiques i les seves corresponents unitats, i utilitzar correctament les unitats del sistema internacional.
Fer operacions amb nombres expressats en notació exponencial, i canvis d'unitats utilitzant els factors de conversió.
Diferenciar entre magnituds fonamentals i magnituds derivades, i entre magnituds escalars i magnituds vectorials.
Saber efectuar anàlisi dimensional de magnituds derivades.
Identificar els possibles errors que es poden donar en mesurar una magnitud física, com l'error instrumental i l'error de mesura. Definició de precisió, sensibilitat i exactitud.
Conèixer que el mètode científic és l'eina de desenvolupament de les ciències experimentals.
1. Les magnituds físiques
En el món que ens envolta hi ha molta informació que podem descriure de diferents maneres. Per exemple, podem referir-nos a una pel·lícula divertida, un cotxe ràpid, una olor agradable, un color blau clar, un terratrèmol fort, una connexió d'Internet lenta, etc. Si alguna de les propietats d'un cos es pot quantificar de manera objectiva (fig. 1), aleshores diem que es tracta d'una magnitud. Per quantificar una magnitud cal mesurar-la.
Anomenem magnituds físiques totes aquelles propietats dels cossos o fenòmens de l'univers que es poden mesurar, és a dir, aquelles a les quals podem assignar un nombre o valor.
Però què és mesurar una magnitud física? Per respondre-ho pensem, per exemple, en el que fem quan mesurem la llargària d'un llapis. En aquest cas la magnitud és una longitud, i per mesurar-la cal utilitzar un regle, on hi ha continguts valors de la magnitud als quals s'ha atorgat el valor 1, i comparem la longitud que volem mesurar amb la longitud coneguda del regle.
Mesurar una magnitud física consisteix a comparar-la amb alguna quantitat de la magnitud a la qual, per conveni, s'atorga el valor unitat i que està continguda en algun aparell.
Així doncs, quan mesurem donem un valor a la magnitud física tot comparant-la amb la unitat.
Anomenem unitat d'una magnitud física aquella quantitat a la qual, per conveni, s'ha donat el valor 1, i que es pren com a referència per comparar quantitats d'aquesta magnitud física
Per tant, el resultat de la mesura d'una magnitud física és generalment un valor numèric seguit d'una unitat o del nom de l'escala emprada, de manera que no és correcte donar el valor d'una magnitud sense especificar-ne les unitats. Suposem que parlem d'una longitud de 180. Això què vol dir? Podrien ser 180 micres, 180 centímetres, 180 metres o 180 quilòmetres.
Així doncs, sempre cal indicar quina unitat estem utilitzant. Són exemples de mesures: 14 segons (mesura de la durada d'algun esdeveniment), 80 quilòmetres per hora (mesura de velocitat), 10 mil·liamperes (mesura de la intensitat d'un corrent elèctric), 7 graus en l'escala de Richter (mesura de la magnitud d'un terratrèmol). Per tant:
magnitud = valor + unitat
Generalment, tant les magnituds com les seves unitats de mesura es representen amb símbols o abreviacions. Així, algunes de les mesures anteriors s'expressen com: t = 14 s, v = 80 km/h, I = 10 mA.
Hi ha magnituds que s'anomenen de forma diferent, però que són equivalents entre si. El volum i la capacitat, per exemple, són equivalents i les seves unitats es relacionen tenint en compte que 1 litre (1 L) equival a 1 decímetre cúbic (1 dm^3 ). Més endavant veurem que les magnituds físiques es poden classificar en fonamentals i derivades.
2. Sistemes d'unitats. Notació científica. Factors de conversió
Per mesurar una magnitud física determinada es poden utilitzar diferents unitats. Per exemple, la longitud es pot mesurar en peus, polzades o metres; el temps, en segons, minuts o anys; la massa, en quilograms o lliures; la temperatura, en graus centígrads o kelvins, etc. Ara bé, si per a cada magnitud es decideix utilitzar una única unitat, el conjunt d'unitats així format rep el nom de sistema d'unitats.
Al llarg de la història i segons la zona geogràfica del món, s'han utilitzat i s'utilitzen diferents unitats de mesura. De tota manera, la tendència majoritària és usar l'anomenat sistema internacional (SI) d’unitats, i emprar múltiples i submúltiples per expressar quantitats més grans i més petites d'una unitat determinada.
Múltiples i submúltiples del SI
Múltiples Submúltiples
Prefix Símbol Valor numèric Prefix Símbol Valor numèric
tera- T 1012 deci- d 10 -^1
giga- G 109 centi- c 10 -^2
mega- M 106 mil.li- m 10 -^3
quilo- k 103 micro- m 10 -^6
Magnituds físiques fonamentals
Magnitud Símbol Unitat del SI (símbol) Dimensió
longitud L metre (m) L
temps t segon (s) T
massa m quilogram (kg) M
temperatura termodinàmica T kelvin (K) K
intensitat de corrent elèctric I ampere (A) I
quantitat de substància n mol (mol) n
intensitat lluminosa Iv candela (cd) Iv
Taula 2. Símbols, unitats en el sistema internacional i dimensions de les magnituds físiques fonamentals.
Com veiem a la taula anterior (taula 2), les magnituds físiques fonamentals tenen associat el concepte de dimensió, que s'utilitza sobretot per posar en evidència de quines magnituds fonamentals deriva o és combinació una determinada magnitud derivada, com veurem a l'apartat següent: a cada magnitud fonamental s'hi associa un símbol, que sol ser una lletra majúscula; així, a la magnitud fonamental longitud li associem la lletra L; al temps, la lletra T, etc. Les magnituds suplementàries no tenen associada cap dimensió.
Finalment, val a dir que les unitats fonamentals es defineixen en relació amb el valor de constants físiques i de magnituds mesurables (excepte el quilogram, que, de moment, es defineix com la massa del cilindre de platí- iridi guardat al Museu de Peses i Mesures de Sèvres, fig. 3). Així, per exemple, el metre és l'espai recorregut per la llum en el buit en 1/299792458 s, mentre que el segon és la durada de 9192631770 períodes de la radiació corresponent a la transició entre els dos nivells hiperfins de l'estat fonamental de l'àtom de cesi 133.
A. Sistema mètric decimal
Tradicionalment s'ha anomenat sistema mètric decimal el sistema d'unitats basat en la unitat de longitud metre i en la unitat de massa gram, i els seus corresponents múltiples i submúltiples que, recordem, estan relacionats entre si per potències de 10. També inclou les unitats de les magnituds derivades de la longitud, és a dir, la superfície i el volum.
Fig. 3. Cilindre de platí-iridi prototip del quilogram. Museu de Peses i Mesures de Sèvres.
Unitats de longitud Unitats de superfície
1 km = 1000 m = 10^3 m
1 hm = 100 m = 10^2 m
1 dam = 10 m = 10 m
1 km^2 = 10^6 m^2
1 hm^2 = 10^4 m^2
1 dam^2 = 10^2 m^2
El metre és la unitat
1 dm = 0,1 m = 10-^1 m
1 cm = 0,01 m = 10-^2 m
1 mm = 0,001 m = 10-^3 m
1 mm = 0,000001 m = 10-^6 m
El metre quadrat és la unitat
1 dm^2 = 10-^2 m^2
1 cm^2 = 10-^4 m^2
1 mm^2 = 10-^6 m^2
Unitats de volum Unitats de capacitat
1 km^3 = 10^9 m^3
1 hm^3 = 10^6 m^3
1 dam^3 = 10^3 m^3
El metre cúbic és la unitat
1 dm^3 = 10-^3 m^3
1 cm^3 = 10-^6 m^3
1 mm^3 = 10-^9 m^3
1 kL = 1000 litres = 10^3 L
1 hL = 100 litres = 10^2 L
1 daL = 10 litres = 10 L
El litre és la unitat
1 dL = 0,1 litres = 10-^1 L
1 cL = 0,01 litres = 10-^2 L
1 mL = 0,001 litres = 10-^3 L
Relació entre les mesures de volum i capacitat Unitats de massa
1 m^3 = 1000 L
1 dm^3 = 1 L
1 cm^3 = 1 mL = 10-^3 L
1 tm = 1000 kg = 10^6 g
1 kg = 1000 grams = 10^3 g
1 hg = 100 grams = 10^2 g
1 dag = 10 grams = 10 g
1 dg = 0,1 grams = 10-^1 g
1 cg = 0,01 grams = 10-^2 g
1 mg = 0,001 grams = 10-^3 g
El sistema mètric decimal va ser establert a finals del segle XVIII, i va evolucionar, posteriorment, cap al sistema internacional d'unitats en introduir-se el segon com a unitat bàsica de temps i la resta d'unitats de les magnituds fonamentals, per tal de configurar, així, un sistema coherent d'unitats per a les ciències físiques. Val a dir que en el SI no es va conservar el gram com a unitat bàsica de massa, sinó un múltiple seu, el quilogram, ja que el gram era una quantitat massa petita. Per tant, si bé a la taula anterior apareix el gram com a unitat de massa, cal recordar que la unitat de massa en el SI és el quilogram.
longitud d'ona escalar l metre (m) L
Radioactivitat
activitat radioactiva escalar A becquerel (Bq): 1 Bq = 1 s-^1 T-^1
dosi de radiació absorbida escalar^ D^ gray (Gy): 1 Gy = 1 J/kg^ L
2 ·T- 2
dosi equivalent escalar H sievert (Sv): 1 Sv = 1 J/kg L^2 ·T-^2
Taula 4. Algunes magnituds físiques derivades de les magnituds fonamentals.
A. L'equació dimensional
Tenint en compte que les magnituds derivades s'expressen com combinacions de les magnituds fonamentals, si en la definició d'una magnitud derivada substituïm cadascuna de les magnituds que la componen per la seva dimensió, obtenim una combinació de les dimensions de les magnituds fonamentals de les quals deriven i que anomenem equació dimensional de la magnitud derivada.
Aquesta equació posa de manifest el càlcul a partir de les magnituds fonamentals. Si representem la longitud, el temps, la massa i la intensitat de corrent elèctric amb les lletres L, T, M i I, respectivament (taula 2), les equacions dimensionals de la resta de magnituds són combinacions d'aquestes lletres (taula 4).
Sabem, per exemple, que la velocitat és la relació entre la distància o longitud i el temps: v = l / t ; per tant, l'equació dimensional d'aquesta magnitud serà [ l ]/ [ t ] = L·T-^1 , ja que l'equació dimensional de la distància és L i la del temps és T.
Les magnituds físiques que s'anomenen de forma diferent però que tenen equacions dimensionals iguals són magnituds equivalents, les quals, lògicament, han de tenir la mateixa unitat.
Algunes de les unitats derivades s'expressen a partir de les unitats fonamentals i suplementàries del SI. Altres han rebut un nom i un símbol particular.
L' anàlisi dimensional consisteix a buscar les equacions de dimensions dels dos membres de l'equació associada a una llei física i comprovar que coincideixen. Aquesta és una condició necessària però no suficient perquè l'expressió sigui correcta.
Exemple 1
Troba l'equació dimensional de l'expressió següent corresponent a l'energia cinètica: Ec = 1/2 m · v^2
Substituïm cada magnitud per la seva dimensió: [ m ] [ v^2 ] = M · L^2 · T-^2
Efectivament, aquesta expressió correspon a l'equació de dimensions de la magnitud energia de la taula 4.
Exemple 2
Expressa el volum d'una ampolla d'aigua d'un litre i mig en unitats del SI.
En un instant determinat, un automòbil va a una veloci-tat de 72 km/h. Expressa aquesta velocitat en unitats del SI (m/s).
La densitat del ferro és 7,8 g/cm^3. Escriu-la en unitats del SI.
Converteix una temperatura de 86 °F a unitats del SI. Primer passem de graus Fahrenheit a graus centígrads:
Ara expressem els graus Celsius en graus kelvin:
T (K) = T (°C) + 273 = 30 + 273 = 303 K
5. Magnituds escalars i magnituds vectorials
A continuació considerarem un altre criteri important que cal tenir present a l'hora de distingir unes magnituds de les altres.
Anomenen magnituds escalars aquelles magnituds que queden completament especificades donant el seu valor, que sempre és un nombre real.
Són exemples de magnituds escalars la temperatura o el temps.
No obstant això, certes magnituds necessiten més dades per estar completament caracteritzades. Si diem, per exemple, que un vent bufa a una velocitat de 100 metres per segon, estem ometent una dada bàsica: la direcció en què bufa. O bé, si un controlador aeri observa que un avió s'ha desplaçat 1 km en un temps determinat, cal saber en quina direcció ho ha fet.
Les magnituds que, a més a més del seu valor, estan determinades per una direcció i un sentit en l'espai són les magnituds vectorials.
Són exemples de magnituds vectorials la força, la velocitat, el desplaçament, l'acceleració, el camp gravitatori o el camp elèctric. Les magnituds vectorials es representen amb vectors (fig. 4). Un vector és un segment orientat que queda definit per tres característiques, mòdul, dirección i sentit:
El mòdul. És la longitud del segment i correspon al valor absolut (sense signe) de la magnitud.
La direcció o línia d'acció. És la recta que conté el segment.
El sentit. Està indicat per una punta de fletxa i determina l'orientació dins la línia d'acció. Si dos vectors tenen el mateix mòdul i la mateixa direcció (estan sobre la mateixa línia d'acció) però tenen sentits contraris, es diu que són vectors oposats (fig. 5). El vector oposat a un vector a s'escriu - a. L' origen o punt d'aplicació d'un vector és el punt sobre la línia d'acció on actua o se situa el vector. Segons el punt d'aplicació podem classificar els vectors en fixos, lliscants i lliures.
Per entendre què és un vector, recordem que el nostre espai és tridimensional, ja que tot cos té una llargada, una amplada i una alçada; per tant, qualsevol objecte defineix un determinat volum. Geomètricament, podem representar l'espai amb tres eixos de coordenades perpendiculars X, Y, Z (fig. 6).
La projecció rs d'un vector sobre una recta s es calcula com el producte del mòdul del vector pel cosinus de l'angle 𝛼 que formen la direcció del vector i la direcció de la recta s rs = r · cos 𝛼
Moltes vegades ens serà útil obtenir les projeccions d'un vector r sobre els eixos de coordenades cartesians X, Y, és a dir, els components cartesians rx, ry del vector:
rx = r cos 𝛼 i ry = r sin 𝛼
on r és el mòdul del vector i 𝛼 l'angle que forma amb el semieix X positiu.
6. Mesura i error
Quan es realitza un treball experimental i es mesuren magnituds físiques, cal tenir present que totes les mesures directes de les magnituds tenen associats certs errors, originats o bé pels aparells o instruments de mesura o bé per causes aleatòries inherents al mateix procés de mesura. Això vol dir que és totalment impossible de conèixer el valor exacte de la magnitud. Comentem a continuació aquests dos tipus d'errors.
A. Error instrumental
Quan mesurem, per exemple, la longitud d'un full amb el regle graduat en mil·límetres, només podem apreciar valors fins al mil·límetre. Si obtenim una mesura de 23,1 cm, qui ens assegura que la longitud és aquesta i no, per exemple, 23,12 cm? Haurem de dir que la longitud del full és d'aproximadament 23,1 cm. Si, en canvi, utilitzem el calibrador o peu de rei, el valor mesurable més petit val 0,01 cm. Si ara la lectura és de 23,13 cm, també podria ser que el valor real fos, per exemple, 23,127 cm. Per tant, hi ha sempre una incertesa causada per l'instrument emprat en la mesura.
L' error instrumental és el valor més petit que pot apreciar un instrument de mesura. La sensibilitat d'un aparell és aquesta divisió mínima.
Un aparell serà més precís com més petit sigui el seu error instrumental. Es pot disminuir aquest error perfeccionant els aparells, però mai no es podrà anul.lar.
La sensibilitat o error instrumental determina el nombre de xifres significatives del valor d'una mesura; és a dir, les xifres que es poden determinar amb un aparell donat. En l'exemple anterior, la mesura de la longitud del full amb un regle té tres xifres significatives, mentre que la mesura amb el peu de rei en té quatre. Aleshores escrivim, respectivament, (23,1 ± 0,1) cm i (23,13 ± 0,01) cm.
El problema de l'error va lligat al problema de la precisió: com més precisa sigui una mesura (és a dir, com més xifres significatives tingui el seu valor numèric), menys error tindrà el seu valor. Quan fem operacions amb quantitats mesurades directament, cal tenir en compte que algunes de les xifres obtingudes poden ser no significatives. Per exemple, si hem de sumar dos volums de 12 cm^3 i 11, cm^3 (fig. 14), com que el primer valor només té dues xifres significatives, la suma no pot tenir més precisió. Per tant, el volum total val 23 cm^3. La raó per seguir aquest criteri ens la dona el fet que la primera mesura té un error més gran que la segona; com que l'error final ha d'abastar totes les mesures obtingudes, és clar que ens hem de quedar amb l'error de la primera mesura, i així, el resultat de sumar els dos volums també ha de tenir aquest últim error, és a dir, 1 cm^3 : deduïm que el resultat de la
suma també ha de tenir dues xifres significatives en concordança amb l'error (1 cm^3 ).
Com a regla general, el resultat d'una operació no pot tenir més xifres significatives que el valor amb un nombre més petit de xifres significatives. Així, s'haurà d'arrodonir el resultat seguint el procediment següent, tot observant la sèrie de xifres que es vol eliminar:
Si la primera xifra de la sèrie que hem d'eliminar és més petita que 5, eliminarem aquesta sèrie i deixarem el nombre resultant igual. Per exemple, passem a tres xifres significatives: 1,34 297 → 1,34.
Si la primera xifra de la sèrie que hem d'eliminar és igual o més gran que 5, eliminarem aquesta sèrie i sumarem 1 a l'última xifra a conservar. Per exemple, passem a cinc xifres significatives: 54,945 67 → 54,946; 112,99 659 → 113,00; o a quatre xifres significatives: 61,89 997 → 61,90; 437,7 572 → 437,8; 98,74 56 → 98,75.
B. Error de mesura
A més a més de l'error instrumental, lligat a la precisió dels aparells de mesura, hi ha l' error del procés de mesura. Si, per exemple, fem diverses mesures d'un interval de temps amb un cronòmetre, no obtindrem cada vegada els mateixos valors, ja que depenen dels nostres reflexos.
L' error de mesura és l'error lligat a causes aleatòries que es produeixen quan estem mesurant alguna magnitud física.
Per tal de minimitzar l'efecte d'aquest error, es mesura la magnitud les vegades que calgui i es pren com a resultat de la mesura la mitjana aritmètica dels valors obtinguts. Cada mesura particular té, en principi, un error vers la mitjana aritmètica més gran que l'error instrumental.
Per anul.lar aquest error s'hauria de realitzar un nombre infinit de mesures. Com que això és impossible, per assignar un error a aquest tipus de mesures fixem un nombre de mesures màxim n i seguim el procediment següent:
- Efectuem una sèrie n de mesures que siguin al més semblants possible (si algun valor s'aparta molt de la mitjana, no es té en compte i es repeteix la mesura); ordenem els valors obtinguts des del més petit fins al més gran: m 1 , ..., mn.
- Calculem la mitjana aritmètica de les mesures:
- Calculem l'error particular del valor de mesura més petit i l'error particular del valor més gran, tot restant cada valor de la mitjana aritmètica i agafant el valor absolut.
- Prenem com a error absolut de mesura el valor màxim dels errors particulars obtinguts en el punt anterior-
- Calculem l'error relatiu (error en tant per cent)
- El resultat de la mesura.
Una mesura és més precisa com més petit és l'error relatiu que hi està associat.
Exemple 3 S'ha mesurat l'interval de temps t que tarda una bola a recórrer un pla inclinat. El cronòmetre utilitzat té un error instrumen-tal de 0,01 s, s'han efectuat 10 mesures i s'han obtingut els valors següents en segons: 3,43; 3,51; 3,45; 3,47; 3,44; 3,43; 3,42; 3,44; 3,46; 3,47. Indica quin és l'error absolut i quin és l'error relatiu de la mesura. Sabries dir també quin és el resultat de la mesura?
Els resultats que hom pot obtenir en un experiment determinat s'han d'ajustar a allò que a priori prediuen les hipòtesis i els models que s'han fet del fenomen, si volem que aquests donin una interpretació vàlida del fenomen estudiat; si alguna dada o conjunt de dades contradiuen les hipòtesis, aquestes han de ser refutades i hem de proposar-ne de noves. En aquest sentit, els experiments són crucials.
Establiment d'una llei científica. Si no hi ha cap experiment que les contradigui, considerarem que les hipòtesis han estat confirmades i que tenen el rang de lleis de la natura. És a dir, analitzant les observacions realitzades durant l'experimentació (amb dades, gràfics, operacions, etc.), podem comprovar si les hipòtesis que hem fet són correctes i les podem considerar lleis científiques.
Un conjunt de lleis físiques configuren una teoria científica, que, en general, proposa un model que pretén explicar el funcionament d'uns determinats sistemes físics, tot descri-vint la seva evolució en el temps. Per tant, qualsevol predicció que es vulgui fer a priori de qualsevol fenomen natural s'ha d'ajustar sempre a qualsevol comprovació experimental a posteriori, si volem que les lleis físiques siguin d'aplicació universal.
Si apareixen noves observacions i experiments que contradiuen les lleis científiques, aquestes han de ser rebutjades, i cal proposar noves hipòtesis que han de ser corroborades o refutades per les observacions experimentals, fins que es puguin enunciar unes noves lleis científiques.
Ara emprarem l'esquema que acabem de donar per al mètode científic en un exemple concret.
Exemple 4
Com sabeu, la densitat és una propietat característica dels materials. Per arribar a aquesta conclusió, que podem enunciar mitjançant una llei física, podem seguir les fases del mètode científic.
Observem: Com és sabut per tothom, com més gran és un objecte, més gran és, en general, la seva massa. Considerem diversos objectes sòlids construïts amb un mateix material, de formes i volums diferents. Una observació directa ens diu que, com més voluminós és l'objecte, més gran és la seva massa. A partir d'aquesta observació directa podem plantejar algunes hipòtesis.
Centrem-nos, per exemple, en diversos objectes de ferro: segurament podem aixecar sense dificultat una petita esfera de ferro, però no podem dir el mateix d'una biga d'aquest material com les que s'utilitzen en la construcció.
Emetem hipótesis: D'acord amb el problema plantejat mitjançant l'observació directa anterior, podem formular les hipòtesis següents:
- Per a un material determinat, com, per exemple, el ferro, la massa i el volum estan relacionats entre si, de manera que, si un augmenta, l'altre també ho fa.
- L'augment de la massa és proporcional a l'augment de volum.
Experimentem: Per tal de comprovar les hipòtesis anteriors, podem dissenyar un senzill experiment: prenem diversos objectes petits de ferro, de formes diferents, i mesurem els valors dels seus volums (mitjançant una proveta que conté una determinada quantitat d'aigua) i de les seves masses (mitjançant una balança). Suposarem en tot moment que la temperatura es manté constant.
V (cm^3 ) 0,8 1,6 2,3 3,
Podem recollir els valors en una taula, i contrastar-los efectuant un gràfic amb el volum V en abscisses i les masses m en ordenades. En un exemple concret, es van obtenir els valors següents.
Si observem el gràfic lateral, podem veure que els volums dels objectes de ferro i les seves masses corresponents depenen els uns de les altres, de manera que són directament proporcionals. Fixeu-vos que aquestes eren precisament les dues hipòtesis que hem formulat, de manera que han quedat validades.
Per acabar la nostra experimentació, podem trobar la constant de proporcionalitat entre V i m efectuant els quocients m/V, i obtenim el valor 7,8 g/cm^3 en tots els casos. Recordeu que aquest quocient correspon a la densitat.
Enunciem la llei física; Podem generalitzar el resultat obtingut anteriorment i afirmar que la densitat de qualsevol objecte de ferro val aproximadament 7,8 g/cm^3. D'aquesta manera, com que les nostres hipòtesis han quedat validades, conformen una llei de la naturalesa que podem enunciar així: la massa i el volum d'un material determinat són magnituds directament proporcionals, essent la constant de proporcionalitat la densitat del material.
La llei que acabem d'enunciar es pot escriure de forma matemàtica de la manera següent: m = d V ↔ d = m/V
Si repetim l'experiment anterior amb un altre material, veurem que també s'obté un va-lor constant per a la seva densitat. Així doncs, no hi ha cap experiment que contradigui aquest fet, per la qual cosa podem generalitzar la llei física anterior i enunciar-la de la manera següent: la densitat és una propietat característica de cada material.
Activitats finals
Qüestions
- L'alegria és una magnitud? I la força muscular del braç d'un atleta? I la intel.ligència? I la velocitat d'una línia ADSL? Raoneu les respostes.
- Tot allò que és mesurable té un patró?
- Escriviu les definicions de les unitats de longitud, de temps i de massa del SI que es donen a la pàgina oficial de l'Ofici-na Internacional de Pesos i Mesures, http://www.bipm.org/. Discutiu en grup quina relació tenen aquestes definicions amb el que s'ha explicat al text, i redacteu un petit escrit amb les vostres conclusions.
- Per què és important la utilització del sistema internacional d'unitats quan es mesuren les magnituds? Expliqueu-ho detalladament.
- Quin prefix (múltiple o submúltiples) és el més adequat per expressar les següents quantitats?
4,5·10^10 m 3,53·10^8 kg 8,99·10-^9 s 5,7·10^5 N 4,5·10-^11 m 1,2·10^9 W
- Si bé es considera que la longitud és una magnitud fonamental, per què no podem dir el mateix de la superfície? I la velocitat, és una magnitud fonamental? Raoneu les respostes.
- Penseu en el procediment que fem servir per mesurar la densitat, per exemple, d'un objecte esfèric. Discutiu i redacteu un petit informe en què es detalli el procediment que seguim per mesurar la seva densitat i, en
m (g) 6,24 12,48 17,94 24,
- Si un aparell mesura amb una precisió de mil·lèsimes de centímetre, quants decimals ha expressat en el SI?
- Suposeu que s'ha mesurat el diàmetre d'un filferro amb un peu de rei i hem obtingut diferents mesures semblants. Comenteu entre vosaltres de manera raonada quins tipus d'error té associada aquesta mesura, i redacteu un petit text amb les vostres conclusions.
- Debateu en petits grups, i discutiu-ho després entre tota la classe, per què és decisiva la fase d'experimentació en el mètode científic?
Problemes
Sistemes d'unitats. Notació científica. Factors de conversió
- Escriviu amb notació científica els nombres següents:
2 000 000 000, 765 000, 0,000 034, 36 000 000 000, 0,0 000 023, 0,000 000 000 152, 0,00 000 001
- Efectueu les operacions següents amb ajut de la calculadora científica, mantenint el mateix nombre de xifres significatives i arrodonint el resultat:
(5,2·10^15 ) (8,7·10^5 )
(7,3·10^8 ) (2,5·10-^6 )
4,38 + 5,
6,23 - 3,
(5,2·10^15 ) (1,5·10^10 )
65,55 + 0,
- Quin és el significat de les paraules següents?
Nanosegon (ns), microgram (m g), m il.lilitre (mL), gigavolt (GV), quilòmetre (km), picofaraday (pF), megavolt (MV)
- Efectueu els canvis d'unitats següents:
- 200 g a kg
- 0,25 m^3 a cm^3
- 70000 m^2 a hm^2
- 100000 mm a km
- 8·10^5 mg a Mg
- 6·10-^4 mL a L
- 28 mm^3 a m^3
- 36 km/h a m/s
- 2,7 g/cm^3 a kg/m^3
- 7 kg·m/s a g·cm/s
- Expresseu en unitats del SI:
- 1 L
- 365 dies
- 4,2·10^10 mm^2
- 300 pg
- 3·10^6 dam^3
- 1 km/h
- 36 m/min^2
- 103 hm·h-^2
- 100 mg/dm^3
- 105 dg·cm/h
- Realitzeu els canvis d'unitats següents:
- 36 km/h a m/s
- 60 km/h a cm/min
- 2,7 g/cm^3 a kg/m^3
- 20 m/s a km/h
- 7000 kg/m^3 a g/cm^3
- 7 kg·m/s a g·cm/s
- Passeu al sistema internacional:
- 1 km/h
- 6·10^6 cm/min
- 8·10-^2 dam/s
- 106 dm/dia
- 103 hm·h-^2
- 1,6 kg/m^3
- 0,02 dg·cm-^3
- Calculeu la densitat de l'aigua líquida en unitats del siste-ma internacional, sabent que 1 cm^3 d'aigua té una massa d'1 gram. R: 103 kg/m^3
- Trobeu la massa de 62 hL de vi de densitat 0,97 g/cm^3. Expresseu-la en dag. R: 6,0·10^5 dag
- El valor de la gravetat en un punt de la Terra és de 9,81 m/s^2. Si fem servir el valor aproximat 10, quin error absolut i quin error relatiu tenim associat? R: 0,19, 1,94%
- Una balança té una càrrega màxima de 100 g i aprecia el mil·ligram. Calculeu l'error absolut i el relatiu de les pesades següents: 20 g, 10 g, 5 dg, 4 cg, 3 mg.
- Suposeu que s'han mesurat les distàncies de la Terra al Sol ( RTS ) i de Mart al Sol ( RMS ), i que els resultats obtinguts són RTS = (1,5 ± 0,4)·10^8 km, RMS = (22,8 ± 0,4)·10^8 km. Quina mesura és més precisa? Raoneu la resposta.
- Per a les mesures de longitud següents i els seus errors, justifiqueu quina és la més precisa: (4,3 ± 0,4) cm, ( 51 ± 1)km, (15,5 ± 0,5) m, (2,4 ± 0,1) mm
- Amb un peu de rei hem efectuat diverses mesures del diàmetre d'un conductor elèctric de coure, tot obtenint els resultats següents expressats en cm: 2,23; 2,25; 2,21; 2,23; 2,24; 2,26; 2,24; 2,22. Calculeu els errors absolut i relatiu, i doneu el resultat de la mesura tenint-los en compte. R: (2,24 ± 0,03) cm; 2,24 cm ± 1,3%
- La massa d'un cos petit s'ha mesurat per sis persones diferents amb una balança de precisió. Els valors que han obtingut, expressats en g, són els següents: 1,34; 1,36; 1,33; 1,33; 1,35; 1,37. Com hem de donar el valor de la mesura, tant amb un error absolut com amb error relatiu? R: (1,35 ± 0,02) g; 1,35 g ± 1,5%
- S'ha mesurat el temps de caiguda de tres pedres per un precipici amb un cronòmetre manual i s'hi han llegit els valors: t 1 = 3,42 s, t 2 = 3,50 s, t 3 = 3,57 s. Quin és el resultat d'aquesta mesura de t? Expresseu-lo com: (valor de t ) ± (incertesa de t ). R: (3,50 ± 0,08) s
- Un grup de vuit alumnes han mesurat, amb una balança de braços iguals i cada un separadament, la massa d'una mostra de mineral i han obtingut els valors següents expressats en grams: 12,43, 12,45, 12,44, 14,32, 12,43, 12,44, 12,42, 12,45. Algú ha efectuat una mesura errònia? Si s'han de posar d'acord per donar un valor per a la massa de la mostra mesurada, quin serà? R: (12,44 ± 0,02) g
- Per tal de calcular la velocitat angular d'una roda, deu alumnes han mesurat alhora, amb sengles cronòmetres, el temps que aquesta roda triga a fer cinc voltes i han obtingut els valors següents, expressats en s: 14,34; 14,25; 14,31; 14,29; 14,32; 14,31; 14,33; 14,29; 14,32; 14,30. Quin valor han d'assignar a la mesura? R: (14,31 ± 0,06) s, o bé 14,31 s ± 0,4%
Recapitulem
- La Terra és a 150000000 km del Sol i l'estrella més propera és a una distància superior a 250000 vegades la distància Terra-Sol (valors aproximats). Escriviu aquestes quantitats en notació científica i determineu la distància aproximada mínima en quilòmetres de la Terra a l'estrella més propera. R: b) 3,75·10^13 km
- L'any llum es defineix com la distància que recorre la llum en un any. Si sabem que la velocitat de la llum és de 300000 km/s, calculeu quants metres són un any llum i expresseu totes les quantitats en notació científica. Si recordeu el resultat obtingut en el problema anterior sobre la distància a l'estrella més propera, expresseu-la ara en anys llum. R: 9,46·10^15 m; 4 anys llum
- Volem fer una estimació de la densitat d'una partícula fonamental com és el protó i comparar-la amb la densitat de dos materials presents a la nostra vida quotidiana com són l'aigua i el plom. Actualment se sap que la massa d'un protó val 1,67·10-^24 g, i es pot suposar que té una forma aproximadament esfèrica de radi 1,2·10-^13 cm. Amb aquestes dades, calculeu en primer lloc el volum i la densitat del protó. A continuació, trobeu la massa aproximada d'1 cm^3 d'un hipotètic material que estigués format per protons i compareu-la amb la massa d'1 cm^3 d'aigua i d'1 cm^3 de plom buscant en alguna enciclopèdia la densitat d'aquests dos últims materials. Discutiu en grup a quina conclusió s'arriba. R: a) 7,24·10-^45 m^3 ; 2,31·10^17 kg/m^3 ; b) 2,31·10^14 ; 2,04·10^13
- Un vaixell que es troba a 500 m d'un far veu la seva llum i toca la sirena. Calculeu el temps que tardarà la llum a anar del far al vaixell i el temps invertit pel so a anar del vai-xell al far. Velocitat del so: 340 m/s. Velocitat de la llum: 3·10^8 m/s. R: 1,67 ms, 1,47 s
- De les figures següents , indiqueu quina magnitud física s'ha mesurat i quin aparell s'ha emprat, i escriviu els resultats de les mesures amb el seu error absolut i relatiu:
- La taula següent representa un cas experimental de determinació de la densitat d'un mineral en què s'ha mesurat la massa i el volum de 6 mostres d'aquest.
m (g) 2,70 5,15 8,93 10,62 12,7 14,
V (cm^3 ) 1,2 2,3 3,9 4,7 5,6 6,
Amb les dades de la taula anterior us proposem un petit treball per tal de trobar el valor de la densitat del mineral. En primer lloc heu de representar gràficament els volums en abscisses i les masses en ordenades, tot comentant què se n'obté. A continuació, discutiu si es pot establir una relació matemàtica entre la massa i el volum, i, en cas afirmatiu, quina. Finalment, i amb els resultats que hàgiu obtingut dels dos passos anteriors, heu de donar el valor de la densitat del mineral amb 3 xifres significatives i amb el seu error corresponent; doneu el resultat en unitats del SI. R: 2,26·10^3 kg·m-^3 ± 1,3%
Pràctiques
El pèndol senzill. Mesura de l'acceleració de la gravetat
En el desenvolupament d'aquesta unitat hem il.lustrat el mètode científic amb un exemple sobre la densitat. Com a segon exem-ple, proposem la realització de l'experiment següent: es tracta d'estudiar de quins factors depèn el període d'oscil.lació d'un pèndol senzill, tot determinant el valor de l'acceleració de la gravetat.
1. Observació del fenomen
Un pèndol senzill (fig. 17) es construeix de la manera següent: agafem una corda de longitud r i fixem un dels seus extrems; de l'altre extrem pengem un objecte pesant de massa m, i el fem oscil.lar separant-lo un cert angle a de la seva posició d'equilibri vertical. Si deixem anar el pèndol des d'una certa posició, direm que aquest ha fet una oscil.lació completa quan torna a la mateixa posició amb les mateixes condicions de moviment.
