Resum f´ormules de m`etodes num`erics
Les f´ormules marcades en groc es donaran a l’enunciat de l’examen.
Zeros funcions
Error en xk(respecte α)
Error relatiu aproximat: ˜rk= (xk+1 −xk)/xk+1
Error absolut aproximat: ˜
Ek=xk+1 −xk
Error relatiu exacte: rk= (α−xk)/α
Error absolut exacte: Ek=α−xk
Criteris de converg`encia
|xk+1 −xk|<tolx· |xk+1|+E ,
f(xk)
<tolf
xk+1 −xk
xk+1
<tolx,
f(xk)
<tolf
Ordre de converg`encia
idem amb errors relatius i aproximats
|xk−α| ≈ λ|xk−1−α|p⇐⇒ |Ek| ≈ λ|Ek−1|p
M`etode d’ordre pamb FAC λ
M`etode de la bisecci´o
|Ek| ≈ |Ek−1|/2|rk|≈|rk−1|/2|Ek| ≤ 2|˜
Ek|
|˜
Ek|=|˜
Ek−1|/2|˜rk|≈|˜rk−1|/2
p= 1, λ = 1/2
OUTPUT: α∈interval{xk+1, a}
C`
ALCUL: xk+1 = (xk+a)/2, si f(xk+1)f(a)>0→a=xk
INPUT: α∈interval{xk,a}
M`etode de Newton
idem amb errors relatius i errors aproximats
arrel de multiplicitat m|Ek| ≈ λ|Ek−1|p= 1, λ = 1 −1/m
arrel simple |Ek| ≈ λ|Ek−1|2p= 2
xk+1 =xk−f(xk)
f0(xk)
M`etode de la secant
idem amb errors relatius i errors aproximats
arrel simple |Ek| ≈ λ|Ek−1|1.6p= 1.6
xk+1 =xk−f(xk)
sk
sk=f(xk)−f(xk−1)
xk−xk−1
Aproximaci´o de piλ
λ≈|Ek|
|Ek−1|≈|rk|
|rk−1|≈|˜
Ek|
|˜
Ek−1|≈|˜rk|
|˜rk−1|si p= 1
p≈log |Ek|
log |Ek−1|≈log |rk|
log |rk−1|≈log |˜
Ek|
log |˜
Ek−1|≈log |˜rk|
log |˜rk−1|
Predicci´o de l’error
idem amb errors relatius i errors aproximats
M`etode d’ordre p= 1 i FAC λ:|Ek+1| ≈ λ|Ek|,|Ek+2 | ≈ λ2|Ek|... |Ek| ≈ λk|E0|
M`etode d’ordre p > 1: |Ek+1|≈|Ek|p,|Ek+2 |≈|Ek|p2... |Ek|≈|E0|pk
