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ESTADÍSTICA APLICADA A LA PSICOLOGÍA 1. GRUPOS C Y E
PROF. ROSARIO MARTÍNEZ ARIAS.
FORMULARIO BÁSICO DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA.
I.- ESTADÍSTICA UNIVARIANTE: ESTADÍSTICOS RESUMEN PARA UNA
SOLA VARIABLE.
A. POSICIÓN-TENDENCIA CENTRAL.
1.- Moda (Mo).
- Variables cualitativas: Clase o modalidad con la frecuencia máxima
- Variables cuantitativas no agrupadas: Valor con mayor frecuencia
- Variables cuantitativas agrupadas: Marca de clase del intervalo con mator frecuencia.
2.- Mediana (Me): Valor que divide la distribución de frecuencias en dos partes conteniendo cada una el 50% de las observaciones. Estadístico basado en ordenación.
- Distribuciones no agrupadas: Tras la ordenación de las n observaciones: , si n es impar, la mediana es el valor central. Si n es par, es la semisuma de los dos valores centrales.
- Distribuciones agrupadas:
donde: límite inferior del intervalo en que se encuentra la Me (m) n: número total de casos Nm-1 : frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo anterior al De la mediana (Intervalo m-1) Nm : frecuencia absoluta no acumulada del intervalo de la Mediana Am : Amplitud del intervalo en que se encuentra la Mediana.
3.- Media aritmética (): Estadístico basado en sumas
- Datos no agrupados:
- Distribuciones de frecuencias, con los datos no agrupados en intervalos:
donde m es el número de valores distintos de la variable X
- Distribuciones de frecuencias con datos agrupados en k intervalos o clases (j=1,2,...k) y donde Xcj es la marca de clase o punto medio del intervalo j.
donde fj es la frecuencia relativa del intervalo j-ésimo.
4.- Otras medias de uso menos frecuente en Psicología.
4.1. Media geométrica : G (escalas de razón).
- Variables con m valores distintos:
4.2. Media armónica. H (escalas de razón).
Cuando hay m valores distintos, frecuencias absolutas:
y en frecuencias relativas fi :
5.- Medidas de posición , no necesariamente de tendencia central: Percentiles. El percentil Pk es un valor de la distribución de valores de la variable que deja por debajo el k% de las observaciones. La Me es el P (^) 50. Para su cálculo puede usarse una fórmula similar a la de la Me, sustituyendo n/2 (que es el 50%) por k%(n).
donde: límite inferior del intervalo en que se encuentra el Pk (intervalo k) n: número total de casos Nk-1 : frecuencia absoluta acumulada hasta el intervalo anterior al Intervalo k en el que se encuentra el percentil buscado (Intervalo k-1) nk : frecuencia absoluta no acumulada del intervalo del percentil k
Ak: Amplitud del intervalo en que se encuentra el percentil k Algunos percentiles son muy importantes, ya que con frecuencia forman parte de otros análisis de datos, y reciben nombres propios:
a) Cuartiles : Tres valores de la distribución que dividen ésta en 4 partes, conteniendo cada una el 25% de los casos: Q1= P25; Q (^) 2=P (^) 50=Me; Q (^) 3=P 75 b) Deciles : 9 valores de la distribución que dividen ésta en 10 partes, conteniendo cada una el 10% de las observaciones. Suelen denotarse como D (^) m: D (^) 1=P10; D (^) 2=P (^) 20;..........., D (^) 9=P90.
6.- Medias “robustas”. 6.1. Media recortada (Trimmed) en un % de casos extremos: T(%), quedando definida por la proporción de casos () que son excluidos desde cada extremo de la muestra ordenada. Si es un número entero, la media recortada es el promedio o media artimética de los valores restantes. Si por el contrario no es un valor entero, se elimina un número entero de casos de cada extremo y al mayor y al menor valor restantes se les pondera mediante un peso determinado mediante:
La media se calcula entonces:
donde X (^) i es el extremo inferior y X (^) s el valor extremo superior.
- MEDA o Mediana de las desviaciones absolutas de la Mediana:
B.2. Medidas relativas (adimensionales).
B.2.1. Basadas en las puntuaciones.
- Coeficiente de apertura :
- Coeficiente de Variación : ( a veces se multiplica por 100)
B.2.2. Basadas en ordenaciones de las puntuaciones.
- Coeficiente de variación robusto CV (^) R :
C.- ESTADÍSTICOS DE FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN.
C.1. Asimetría.
c.1.1. Basados en las puntuaciones y sumas : Coeficiente de asimetría CA:
- Datos no agrupados: . Datos agrupados en k intervalos:
c.1.2. Basados en las ordenaciones de la variable.
- Indices de Yule :
- Índices de Kelley:
c.2. Apuntamiento o curtosis.
c.2.1. Basados en sumas.
- Coeficiente de Apuntamiento o Curtosis.
- Datos no agrupados.
(en algunos programas de ordenador se le resta la constante 3 para hacer que el de la distribución normal sea 0 y poder interpretar los diferentes valores con relación al 0),
c.2.2. Basados en ordenaciones :
Coeficiente K:
D.- ALGUNAS TRANSFORMACIONES DE VARIABLES.
d.1. Transformaciones lineales.
- Puntuaciones diferenciales o centradas en la media: ; Media=; Desv.típica= s
-Puntuaciones típicas o estandarizadas.
; Media: ; Desv. Tipica=1.
- Puntuaciones típicas derivadas: T (^) i:
- (^) Cambio de la escala X a T, directamente:
d.2. Transformaciones que alteran la forma de la distribución.
- Raiz cuadrada: =
- Logarítmica: Ti = log(X (^) i); T (^) i = ln(X (^) i);
- Inversa o recíproca: Ti = 1/Xi
- Potencias enteras positivas: Ti = X k^ (k=1,2,3,....)
II. ESTADÍSTICA BIVARIANTE: MEDIDAS DE ASOCIACIÓN/RELACIÓN
ENTRE DOS VARIABLES.
donde:
donde: m es el conjunto de empates (h=1,2,...,m)en X y t (^) k número de elementos en el empate.
r es el conjunto de empates (k=1,2,...,m)en Y y u (^) k número de elementos en el empate.
3.- Variables cuantitativas: Medidas de relación lineal.
3.1. Covarianza:
3.2. Coeficiente de correlación producto-momento de Pearson:
(covarianza en puntuaciones típicas) Otras expresiones del coeficiente son las siguientes, que se obtienen de la definición son las siguientes::
- Puntuaciones diferenciales o centradas en la media:
-En Puntuaciones directas:
3.3. Una variable cuantitativa (X) y la otra dicotómica Y (0,1). Coeficiente de Pearson se denomina Correlación biserial-puntual (). En la variable Y denominamos p a la proporción de casos con 1 y q , la proporción de casos con
0. ; ;.
donde: Media en X de los sujetos que tienen “1” en Y Media en X de los sujetos que tienen “0” en Y = Media en X de todos los sujetos = desviación típica en X de todos los sujetos.
4.- La recta de regresión.
4.1. Ecuaciones de regresión de Y sobre X en puntuaciones directas:
donde: a (^) yx = ordenada en el origen = byx= pendiente de la recta = 4.2. Ecuaciones de X sobre Y en puntuaciones directas.
donde: a (^) xy = ordenada en el origen = bxy= pendiente de la recta = (Normalmente se estudia solamente la de Y, ya que basta con llamar Y a la variable criterio o dependiente, y en adelante nos referiremos únicamente a la regresión de Y sobre X y hablaremos de a y b para referirnos a a (^) yx y b (^) yx****. Las rectas de regresión no son simétricas, ya que en general, a (^) yx y ).
4.3. Ecuaciones de regresión de Y sobre X en puntuaciones diferenciales y típicas.
**- En puntuaciones diferenciales. ()
- En puntuaciones típicas: ()**
( en general B; B=r (^) xy)
4.4. Algunos deducciones importantes:
SCuadrados total = SCuadrados residual + Scuadrados regresión.
**4. (Solamente en la recta de regresión, regresión lineal simple:
- Coeficiente de determinación:**
= (proporción de variación de Y asociada a X, explicada por X, común con X).
En la recta de regresión o regresión lineal simple solamente:
6. Error típico de estimación, desviación típica de los errores:
