Función Vectorial: Regla de correspondencia que trasforma elementos del conjunto ℝ en
vectores del conjunto ℝ𝑛.
Alejandro Soto Beltrán Cálculo Vectorial
9 de octubre de 2021 Tema: Funciones Vectoriales y Triedro Móvil
Ficha No.2
Funciones Vectoriales
Vector →Vector
T
(𝑥,𝑦,𝑧)= 5𝑥 + 12𝑦,−7𝑧
Escalar →Vector 𝑟(𝑡) = (𝑓(𝑡),𝑔(𝑡),ℎ(𝑡))
Sea 𝒓
(𝒕) una función vectorial, se dice que su
derivada está dada por:
𝑟´(𝑡)=(𝑑𝑓(𝑡)
𝑑𝑡 ,𝑑𝑔(𝑡)
𝑑𝑡 ,𝑑ℎ(𝑡)
𝑑𝑡 )
Derivada de una función Vectorial: Será el vector
formado por las derivadas de sus funciones
componentes.
Longitud de Arco como valor: Es la longitud de
una curva 𝑟(𝑡) contenida en un intervalo [𝑎,𝑏].
𝑠 = ∫|𝑟´(𝑡)|
𝑏
𝑎
Longitud de arco como parámetro: Permite saber
la longitud recorrida por la partícula mientras avanza el
tiempo.
Triedro Móvil: Terna de vectores ortogonales y
unitarios asociados a una partícula que se mueve
sobre una curva 𝑟(𝑡).
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑁
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑏𝑖𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐵
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑇
𝑇𝑟𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑚ó𝑣𝑖𝑙
Fórmulas de Frenet-Serret para cuervas en
función del tiempo
𝑇
=𝑟′(𝑡)
|𝑟′(𝑡)|; 𝑁
=𝑇
′(𝑡)
|𝑇
′(𝑡)|; 𝐵
= 𝑇
𝑋 𝑁
𝑁
=[𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)] 𝑋 𝑟′(𝑡)
|[𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)] 𝑋 𝑟′(𝑡)|; 𝐵
=𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)
|𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)|
Vectores tangente, normal y binormal:
Alternativa:
Curvatura y torsión:
𝑘 = |𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)|
|𝑟′(𝑡)|3; 𝜌 = 1
𝑘
𝜏 = [𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)] ∙ 𝑟′′′(𝑡)
|𝑟′(𝑡) 𝑋 𝑟′′(𝑡)|2; 𝜎 = 1
𝜏
Derivadas del triedro móvil en función de 𝑠:
𝑑𝑇
(𝑡)
𝑑𝑠 = 𝑘𝑁;
𝑑𝑁
(𝑡)
𝑑𝑠 = −𝜏𝑁
; 𝑑𝐵
(𝑡)
𝑑𝑠 = 𝜏𝐵
−𝜅𝑇
Ecuaciones de los planos osculador, rectificador y
normal
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑠𝑜𝑠𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑎𝑙
𝑡𝑟𝑖𝑒𝑑𝑟𝑜 𝑚ó𝑣𝑖𝑙
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑜𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑇
𝑦 𝑁
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑇
𝑦 𝐵
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝐵
𝑦 𝑁
Cinemática de una partícula
𝐶𝑖𝑛𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎
𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑟′(𝑡)
𝑅𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 |𝑟′(𝑡)|
𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟′′(𝑡)
Componentes de la aceleración:
𝑎𝑇(𝑡)=𝑣(𝑡)∙𝑎(𝑡)
|𝑣(𝑡)| ; 𝑎𝑁(𝑡)=|𝑣(𝑡) 𝑋 𝑎(𝑡)|
|𝑣(𝑡)|
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑂𝑠𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝐵
∙(𝑝−𝑝0)= 0
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑁𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 → 𝑇
∙(𝑝−𝑝0)= 0
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑅𝑒𝑐𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟 → 𝑁
∙(𝑝−𝑝0)= 0
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑛𝑒𝑠
Re-parametrización de una curva:
Sean 𝑟(𝑡) 𝑦 𝑠 = 𝑘𝑡 ; al aplicar la re-parametrización
queda:
𝑡 = 𝑠
𝑘 𝑦 𝑟 (𝑠
𝑘)