Punto Mínimo: Punto con la imagen con menor valor dentro de la función.
Punto Silla: Punto que adquiere características de mínimo o máximo dependiendo de la
perspectiva en que sea visto.
𝑓𝑥 = 0
𝑓𝛼 = 0
⋮
𝑓𝑦 = 0
Donde los valores de las variables formarán los puntos críticos,
siendo 𝑃𝑛(𝑥,𝑦,…,𝛼).
ℎ(𝑥,𝑦)=(𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦) ; después se obtiene el polinomio característico para cada punto: 𝑝(𝜆)= |(𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦)−(𝜆 0
0 𝜆)|
Por último, se evalúan las raíces de 𝑝(𝜆):
𝑆𝑖 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛> 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑆𝑖 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛< 0, 𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑆𝑖 𝑢𝑛 𝜆 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠,𝑠𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑙𝑙𝑎
𝐿𝑦 = 0
𝐿𝑥 = 0
⋮
𝐿𝛼 = 0
𝐿𝜆 = 0
Por último, se obtienen los puntos críticos con las
soluciones del sistema.
Problemas de aplicación:
Optimización de funciones: Maximizar o minimizar funciones.
Tipos de puntos críticos:
Punto Crítico: Punto aquel en que el 𝛻𝑓(𝑥, 𝑦,…,𝛼) = 0
Cálculo de puntos críticos:
Obtener las derivadas parciales de primer orden de "𝑓(𝑥,𝑦,…,𝛼)"
e igualarlas a cero, formando un sistema:
Naturaleza de puntos críticos:
Obtener las derivadas parciales de segundo orden de "𝑓(𝑥,𝑦,…,𝛼)", al igual que las mixtas, formando una matriz denominada como
matriz de Hess o Hessiana:
Optimización de funciones con restricción :
Cálculo Vectorial
Tema: Optimización de Funciones de varias variables
Ficha No.1
Alejandro Soto Beltrán
10 de septiembre de 2021
Puntos Críticos
Punto Máximo: Punto con la imagen mayor valor dentro de la función.
Teniendo a nuestra función "𝑓(𝑥,𝑦,…,𝛼)" y nuestra restricción "𝑔(𝑥, 𝑦,…, 𝛼) = 𝑐".
Se debe igualar "𝑔(𝑥, 𝑦,…, 𝛼) = 0"
Posteriormente formar a la función de Lagrange:
𝐿(𝑥,𝑦,…,𝛼,𝜆)= 𝑓(𝑥,𝑦,…,𝛼)−𝜆[𝑔(𝑥,𝑦,…,𝛼)= 0 ]
Y obtener un sistema con sus derivadas parciales de primer orden igualadas a
cero:
Preguntarse:
• ¿Qué quiero optimizar?
• Plantear un boceto del problema
• ¿Qué datos tengo?
• ¿Puedo reducir variables?
