Alejandro Soto Beltrán
28 de octubre de 2021
Cálculo Vectorial
Tema: Campos Vectoriales
Ficha No.4
𝑪𝒂𝒎𝒑𝒐 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍: 𝐸𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝐹(𝑥))𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜(𝑥)𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝐷 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜
𝑒𝑢𝑐𝑙𝑖𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜. 𝐹:𝐷⊆ℝ𝑛→ℝ𝑛
,
𝑮𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: Apunta a los puntos con mayor crecimiento
del campo vectorial
∇𝑓=𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖+𝜕𝑓
𝜕𝑦𝑗+𝜕𝑓
𝜕𝑧𝑘
𝑹𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍: Muestra la tendencia de un campo vectorial a
inducir rotación alrededor de un punto.
𝑟𝑜𝑡(𝐹)=∇×𝐹=
|
|
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥 𝜕
𝜕𝑦 𝜕
𝜕𝑧
𝑓1𝑓2𝑓3
|
|
𝑆𝑖 ∇×𝐹=0,𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑖𝑟𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜.
𝑫𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂: Mide el grado de “expansión” o divergencia del
campo en un punto.
𝑑𝑖𝑣(𝐹)=∇∙𝐹=𝜕𝑓1
𝜕𝑥+𝜕𝑓2
𝜕𝑦+𝜕𝑓3
𝜕𝑧
𝑆𝑖 ∇∙𝐹=0,𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑒𝑛𝑜𝑖𝑑𝑎𝑙 𝑜 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒.
𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒊𝒂𝒏𝒐:Muestra la divergencia del gradiente
∇2𝑓=∇∙(∇𝑓)=𝜕2𝑓
𝜕𝑥2+𝜕𝑓
𝜕𝑦2+𝜕𝑓
𝜕𝑧2
𝑆𝑖 ∇2𝑓=0,𝑓 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑎𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎.
𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒊𝒍í𝒏𝒅𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
𝑓=𝑓(𝜌,𝜃,𝑧)
𝐹(𝜌,𝜃,𝑧)=𝐹1(𝜌,𝜃,𝑧)𝑒𝜌+𝐹2(𝜌,𝜃,𝑧)𝑒𝜃
+𝐹3(𝜌,𝜃,𝑧)𝑒𝑧
𝑮𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆:
∇𝑓=𝜕𝑓
𝜕𝜌𝑒𝜌+1
𝜌𝜕𝑓
𝜕𝜃𝑒𝜃+𝜕𝑓
𝜕𝑧𝑒𝑧
𝑫𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂:
∇∙𝐹=1
𝜌[𝜕
𝜕𝜌[𝜌𝐹1]+𝜕𝐹2
𝜕𝜃+𝜌𝜕𝐹3
𝜕𝑧]
𝑹𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍:
∇×𝐹=1
𝜌
|
|
𝑒𝜌𝜌𝑒𝜃𝑒𝑧
𝜕
𝜕𝜌 𝜕
𝜕𝜃 𝜕
𝜕𝑧
𝐹1𝜌𝐹2𝐹3
|
|
𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒊𝒂𝒏𝒐:
∇2𝑓=1
𝜌[𝜕
𝜕𝜌[𝜌𝜕𝑓
𝜕𝜌]+1
𝜌𝜕2𝑓
𝜕𝜃2+𝜌𝜕2𝑓
𝜕𝑧2]
𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒆𝒔𝒇é𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
𝑓=𝑓(𝜌,𝜃,𝜑)
𝐹(𝜌,𝜃,𝜑)=𝐹1(𝜌,𝜃,𝜑)𝑒𝜌+𝐹2(𝜌,𝜃,𝜑)𝑒𝜃+𝐹3(𝜌,𝜃,𝜑)𝑒𝜑
𝑮𝒓𝒂𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆:
∇𝑓=𝜕𝑓
𝜕𝜌𝑒𝜌+1
𝜌𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝜕𝑓
𝜕𝜃𝑒𝜃+1
𝜌𝜕𝑓
𝜕𝜑𝑒𝜑
𝑫𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂:
∇∙𝐹=1
𝜌2𝑠𝑒𝑛(𝜑)[𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝜕
𝜕𝜌[𝜌2𝐹1]+𝜕
𝜕𝜃[𝜌𝐹2]+𝜌𝜕
𝜕𝜑[𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝐹3]]
𝑹𝒐𝒕𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍:
∇×𝐹=1
𝜌2𝑠𝑒𝑛(𝜑)
|
|
𝑒𝜌𝜌𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝑒𝜃𝜌𝑒𝜑
𝜕
𝜕𝜌 𝜕
𝜕𝜃 𝜕
𝜕𝜑
𝐹1𝜌𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝐹2𝜌𝐹3
|
|
𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒊𝒂𝒏𝒐:
∇2𝑓= 1
𝜌2𝑠𝑒𝑛(𝜑)[𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝜕
𝜕𝜌[𝜌2𝜕𝑓
𝜕𝜌]+1
𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝜕2𝑓
𝜕𝜃2+𝜕
𝜕𝜑[𝑠𝑒𝑛(𝜑)𝜕𝑓
𝜕𝜑]]
𝑶𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂𝒔
𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍: Función que describe la tendencia del gradiente del campo vectorial.
Descrita por el sistema de ecuaciones diferenciales:
𝐸𝐷 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠→𝑓=
{
𝜕𝑓
𝜕𝑥=𝑓1
𝜕𝑓
𝜕𝑦=𝑓2
𝜕𝑓
𝜕𝑧=𝑓3
