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UNIVERSIDAD LA SALLE ESCUELA DE INGENIERÍA ÁREA DE MATEMÁTICAS
FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector:
u u u
n
u
2 2
2
2
1
Vector unitario:
u
u
Producto punto o producto escalar:
n
i
i i n n
u v u v uv uv uv
1
1 1 2 2
Cosenos directores:
cos ( ) cos ( ) cos ( ) 1
cos( ) ,cos( ) ,cos( ) ;
2 2 2
1 2 3
u
u
u
u
u
u
Angulo entre
dos vectores:
u v
u v
cos( )
Componente de v a lo largo de u:
cos( ) vcos( )
u
u v
u
u v
comp v
u
Producto cruz o producto vectorial:
2
2 2 2
( )
( )
u v u v u v
u v uv sen
Área del paralelogramo generado
por u y v:
A uv
Área del
triángulo es la
mitad del área
del
paralelogramo
generado por u
y v
Producto cruz o producto vectorial:
( ) ( ) ( )
23 2 3 13 13 12 12
1 2 3
1 2 3
iuv vu juv vu kuv v u
v v v
u u u
i j k
u v
Triple producto escalar:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
w w w
v v v
u u u
u v w
Volumen del paralelepípedo generado por
u, v, w:
V u( vw)
Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del
volumen del paralelepípedo generado por u,
v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta: r r tv
0
: donde v es
el vector dirección, r 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y t es un escalar.
Ecuaciones simétricas de la recta:
12 3
3
0
2
0
1
0
con vvv
v
z z
v
y y
v
x x
Ecuaciones paramétricas de la recta:
0 3
0 2
0 1
z z tv
y y tv
x x tv
Ecuación vectorial del plano: ( ) 0
0
n rr donde n es
el vector normal al plano, r 0
=(x 0
,y 0
,z 0
) y r =(x,y,z).
Ecuación escalar del plano que pasa por
P 0
=(x 0
,y 0
,z 0
) y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
0 0 0
a x x by y czz .
Ecuaciones paramétricas del plano:
0 3 3
0 2 2
0 1 1
z z tv su
y y tv su
x x tv su
Distancia de un punto Q a un plano:
2 2 2
0 0 0
( )
a b c
ax by cz d
n
PQ n
D comp PQ
n
Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por:
u
PQ u
D
, donde P es un punto cualquiera de
la recta.
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación:
x
2
+ y
2
= [r(z)]
2
girando en torno al eje z
y
2
+ z
2
= [r(x)]
2
girando en torno al eje x
x
2
+ z
2
= [r(y)]
2
girando en torno al eje y
Superficies cuadráticas:
Ax
2
+ By
2
+ Cz
2
+ Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K
= 0
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides
de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro
elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto,
cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide
hiperbólico.
DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales de orden superior: Gradiente de z=f(x,y) ( , ) ( , )
x y
f x y f f_._
Gradiente de w=f(x,y,z)
y yx x xy
x xx y yy
f f
x y
f
y
f x y
y x
f f
y x
f
x
f x y
x y
f f
y y
f
y
f x y
y
f f
x x
f
x
f x y
x
2 2
2
2
2
2
x y z
f x y z f f f
Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector
normal a la superficie z está dado por:
x y z
F x y z F F F
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la
dirección del vector unitario u=(u 1
,u 2
) en el punto
(x 0
,y 0
) está dada por:
1 2 0 0 0 0
0 0 0 0
u u f x y f x y
D f x y u f x y
x y
u
Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el
punto (x 0
,y 0
) entonces:
z dz f x y dx f x y dy
x y
0 0 0 0
La ecuación del plano tangente a la superficie
F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x 0
,y 0
,z 0
) está dada por:
( , , ) , , 0
0 0 0 0 0 0
F x y z xx y y z z
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del
plano tangente en el punto P=(x 0
,y 0
,z 0
) es:
0 0 0 0 0 0 0
f x y f x y x x y y zz
x y
La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)=
0 en el punto P=(x 0
,y 0
,z 0
) está dada por:
x x F x y z t y y F x y z t z z F x y z t
x y z
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la
recta normal en el punto P=(x 0
,y 0
,z 0
) es:
x x f x y t y y f x y t z z t
x y
0 0 0 0 0 0 0
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:
dy
y
z
dx
x
z
dz
REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t),
entonces:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=g 1
(s,t); y=g 2
(s,t), entonces:
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en
donde z=f(x,y), entonces:
z
F
y
F
F
F
y
z
z
F
x
F
F
F
x
z
z
y
z
x
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= f xx
(x 0
,y 0
)f yy
(x 0
,y 0
)- f
2
xy
(x 0
,y 0
), donde (x 0
,y 0
) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:
1. f(x 0
,y 0
) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y f xx
(x 0
,y 0
)<
2. f(x 0
,y 0
) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y f xx
(x 0
,y 0
)>
3. f(x 0
,y 0
) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<
4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción
h, se deberá resolver el sistema:
H
y
H
x
H
SEA H xy f x y h x y c
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.
0 ; 0 2
2 tan ( ) 0 , 0
tan ( ) 0
tan ( ) 0 , 0
cos( ); ( ); ; ;
( , , )
1
1
1
2 2 2
r
y x si x y
y x si x
y x si x y
x r y rsen z z x y r
CILINDRICAS r z
2
tan
; cos ( / );
( )cos( ); ( ) ( ); c
( , , )
2 2 2 1
x y z z
x sen y sen sen z
ESFERICAS
CAMBIO DE VARIABLE
C C
C C
b
C C a
rt xti yt j ztk ENTONCES F dr Mdx Ndy Pd
SIFESUNCAMPOVECTORIALDELAFORMAF x y z Mi N
rt xti yt j ENTONCES F dr Mdx Ndy
SIFESUNCAMPOVECTORIALDELAFORMAF x y Mi Nj Y
F dr F Tds F xt yt zt r t dt
INTEGRAL DE LÍNEA
C
b
a
C
b
a
f x y zds f xt yt zt x t y t z t dt
SI CESTADADAPORrt xti yt j zt k
f x yds f xt yt x t y t dtj
SI CESTADADAPORrt xti yt j
2 2 2
2 2
SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
x
N
y
M
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES
CONSERVATIVO SI
x
N
k
z
M
x
P
j
z
N
y
P
i
M N P
x y z
i j k
rot F
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL.
LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:
C
C
F dr PARATODACURVA C CERRADA
F dr ESINDEPENDIENTEDEL CAMINO
FESCONSERVATIVO ESTOESF f PARAALGUNA f
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.
k
v
z
j
v
y
i
v
x
k r
u
z
j
u
y
i
u
x
DONDE r
AREA DE LA SUPERFICE dS r r dA
u v
S D
u v
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO,
ENTONCES
F dr f dr f( x(b),y(b)) f(x(a),y(a ))
C C
DONDE
f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:
F ( x,y)f(x,y )
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
y
N
x
M
divF x y
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F
ES
z
P
y
N
x
M
divF x y z
TEOREMA DE GREEN
C R
C R R
C R
F Nds div F dA
dA rot F k dA
y
M
x
N
F dr
dA
y
M
x
N
Mdx Ndy
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS).
Relaciona una integral triple sobre una
región sólida Q, con una integral de
superficie sobre la superficie de Q
S Q
F NdS div(F) dV
INTEGRALES DE SUPERFICIE
R
u v
S
S D
R
x y
S
S R
x y
x y
F NdS F r r dA Forma vectorial
f x y zdS f xuv yuv zuv dS Forma escalar
Forma paramétric a
F NdS F g x y i g x y j kdA Formavectorial norm
f x y zdS f x yg x y g x y g x y dAForma esc
ds g x y g x y dA
z g x y
2 2
2 2
TEOREMA DE STOKES.
Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial
cerrada que constituye el borde de S.
C S
F dr (rot(F)) N dS
