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Edwin Gutiérrez E. - 1 -
FORMULARIO DE MATEMÁTICA PARA EL EXAMEN DE
INGRESO A LA U.S.F.X.
PRODUCTOS NOTABLES
1. Cuadrado de un binomio:
( a b )^2 a^2^ 2 ab b^2 ( a b )^2 a^2^ 2 ab b^2
2. Cubo de un binomio:
3 3 2 2 3
( a b ) a 3 a b 3 ab b
3 3 2 2 3
( a b ) a 3 a b 3 ab b
3. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades:
2 2
( a b )( a b ) a b
4. Producto de dos binomios que poseen un término común (x + a)(x + b):
( x a )( x b ) x^2 ( a b x ) ab
5. Cuadrado de un trinomio:
2 2 2 2
( a b c ) a b c 2( ab ac bc )
6. Cuadrado de un trinomio:
2 2 2 2
( a b c ) a b c 2( ab ac bc )
7. Binomio de Newton.-
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COCIENTES NOTABLES
1. Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades:
a^2 b^2
a b
a b
2 2
a b
a b
a b
2. Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades:
3 3
a b 2 2
a ab b
a b
3 3
a b 2 2
a ab b
a b
3. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades:
4 4
a b 3 2 2 3
a a b ab b
a b
4 4
a b 3 2 2 3
a a b ab b
a b
5 5
a b 4 3 2 2 3 4
a a b a b ab b
a b
5 5
a b 4 3 2 2 3 4
a a b a b ab b
a b
4. Caso general:
1 2 3 2 1
n n
x y n n n n
x x y x y y
x y
Donde: n N
x y
x y
No genera cociente notable, puesto que 5 N
x y
x y
5 3
5
No genera cociente notable, puesto que N 3
5. Suma y diferencia de cubos:
3 3 2 2
a b ( a b )( a ab b )
3 3 2 2
a b ( a b )( a ab b )
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DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
I. Factor común:
a) Factor común monomio : Ejem: 5 a^2 15 ab 10 ac 5 a a 3 b 2 c
b) Factor común polinomio: Ejem:
1 ^3 y ^ x^ ^1 ^ ^2 y x ^ ^1 ^ ^3 ^ x^ ^1 ^ ^ x^ ^1 ^1 ^3 y^ ^2 y^ ^3 ^ ^ x^ ^1 ^ y ^4
II. Factor común por agrupación de términos: Ejem:
3 abx^2^ 2 y^2 2 x^2^ 3 aby^2^ 3 abx^2^ 3 aby 2^ 2 y^2^ 2 x^2
^
2 2 2 2 2 2 3 ab x y 2 y x 3 ab 2 x y
III. Trinomio cuadrado perfecto: a^2^ 2 ab b^2^ ( a b )^2
Ejemplo: Factorizar:
4 2 2
4 x 12 xz 9 z ( 2 x 3 z )
IV. Diferencia de cuadrados perfectos: Toda diferencia de cuadrados se descompone en dos factores uno es la suma de las raíces y el otro la diferencia de raíces cuadradas.
2 2
a b ( a b )( a b )
Ejemplo: Factorizar: y^2 9 (^) y (^3) y (^3)
V. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción:
Ejemplos:
Factorizar: 4 x^4 8 x y^2^2 9 y^4
La raíz cuadrada de 4x^4 es 2x^2. La raíz cuadrada de 9y^4 es 3y^2
El doble producto de estas raíces es 12x 2 y 2 , luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que 8x 2 y 2 se convierta en 12x 2 y 2 le sumamos 4x 2 y 2 y para que el trinomio no varíe restamos 4x 2 y 2 y tendremos:
4x 4
4x 4
- 4x 2 y 2 = (4x 4 + 12x 2 y 2 + 9y 4 ) – 4x 2 y 2
Edwin Gutiérrez E. - 5 -
Factorizando el trinomio cuadrado perfecto, queda: = (2x^2 + 3y^2 )^2 – 4x^2 y^2
Factorizando la diferencia de cuadrados, nos da: = (2x^2 + 3y^2 – 2xy)(2x^2 + 3y^2 + 2xy)
Ordenando: 4 x^4^ 8 x y^2 2^ 9 y^4 (^) 2 x^2^ 2 xy 3 y^2 2 x^2^ 2 xy 3 y^2
VI. Suma de dos cuadrados: En general una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, pero hay sumas de cuadrados que, sumándoles o restándole una misma cantidad, pueden llevarse al caso anterior:
Ejemplo:
1) Factorizar: 64 x^8^ y^8
La raíz cuadrada de 64x 8 es 8x 4 y de y 8 es y 4 .
Para que la expresión dada sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta que tenga un segundo término de 2(8x^4 )(y^4 ) = 16x^4 y^4 entonces al igual que en los casos anteriores, a la expresión dada le sumamos y restamos 16x^4 y^4 y tendremos:
64x^8 + y^8
64x^8 + 16x^4 y^4 + y^8 – 16x^4 y^4 = (64x^8 + 16x^4 y^4 + y^8 ) – 16x^4 y^4
Finalmente: 64 x^8^ 8 y^8 (^) 8 x^4^ 4 x y^2 2^ y^4 8 x^4^ 4 x y^2 2^ y^4
VII. Trinomio de la forma 2
x bx c .- Se convierte a dos binomios de suma y se
completa con dos números cuyo producto es “c” y cuya suma sea “b”.
x 2
x^2 – bx + c = ( – ) ( – )
1° Identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos.
2° Calcular las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno)
3° Transformar la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases.
Ejemplos:
1) Factorizar: x^2^ 7 x 10 x 5 x 2
5 x 2 = 10 y 5 + 2 = 7
2) Factorizar: x^2 10 x 9 x 9 x 1
9 x 1 = 9 y 9 + 1 = 10
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IX. Cubo perfecto de binomios.- Recuerda “cubo de un binomio”
3 3 2 2 3
( x y ) x 3 x y 3 xy y
Se calculan sus raíces cúbicas; dichas raíces serán las bases. Luego se determina el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda, y el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segunda.
Ejemplos:
3) Factorizar: 27 a^3^ 27 a b^2 9 ab^2^ b^3
Raíz cúbica de 27a 3 = 3 a
Raíz cúbica de b^3 = b
El 2º término: 3(3 a) 2 .b = 3(9 a 2 ).b = 27a 2 b
El tercer término: 3(3 a) (b) 2 = 9ab 2
3 2 2 3 3
27 a 27 a b 9 ab b 3 a b
4) Factorizar: 8 m^3^ 96 mn^2^ 64 n^3^ 48 m n^2
Ordenarlo con relación a la letra m:
8 m 3^ 48 m n^2 96 mn^2^ 64 n^3
Los signos van alternados, se trata del cubo de una diferencia:
3 2 2 3 3
8 m 48 m n 96 mn 64 n 2 m 4 n
X. Suma o diferencia de cubos perfectos.- Se denomina “suma de cubos” a la suma de dos cantidades donde ambas tienen raíz cúbica exacta.
De los productos notables: (a + b)(a^2 – ab + b^2 ) = a^3 + b^3
(a – b)(a 2
a) Suma de cubos: a^3^ b^3^ (^) a b (^) a^2^ ab b^2
b) Diferencia de cubos: a^3^ b^3^ (^) a b (^) a^2^ ab b^2
Ejemplos:
1) Factorizar: 8 x^3^ 27 y^3 (^) 2 x (^) 3 (^) 3 y (^) 3 (^) 2 x 3 y (^) 2 x^2 6 xy 9 y^2
2) Factorizar: 5 x (^3) 3 (^) x (^5) 3 5 x (^3) (^) x (^5) (^5) x (^3) 2 (^) 5 x (^3) x (^5) (^) x (^5) ^2
2 2 2
6 x 2 ^25 x 30 x 9 5 x 25 x 3 x 15 x 10 x 25
2 3 x 1 21 x^2^ 42 x 49 ^ 14 3 x 1 3 x^2 6 x 7
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3) Factorizar: 3 x (^2) 3 125 x^3 (^) 3 x (^2) 3 5 x ^3
2 2
3 x 2 5 x ^3 x 2 3 x 2 5 x 5 x
2 x 2 9 x^2 12 x 4 15 x^2 10 x 25 x^2 2 x 1 49 x^2 22 x 4
4 ) Factorizar: x 1 3 1 x 3 x 1 1 x (^) x 1 2 x 1 1 x 1 x ^2
x 1 1 x x 2^ 2 x 1 x x^2 1 x 1 2 x x^2
2 2 3 2 x 2 ^ x 2 x 1 2 x 1 x 1 2 x 1
XI. Suma o diferencia de dos potencias iguales.- Este criterio se emplea para
descomponer en factores, expresiones de la forma x n^ yn , donde n es entero y positivo,
por cocientes notables las expresiones de la forma:
an bn
a b
Siempre es divisible 2)
an bn
a b
Es divisible si n es impar
n n
a b
a b
Es divisible si n es par 4)
n n
a b
a b
Nunca es divisible
Ejemplos:
1) Factorizar: x^5^ 32 y^5
La raíz quinta de x 5 es x, de 32y 5 es 2y, entonces:
5 5 5 5 4 3 2 2 3 4
x 32 y x 2 y x 2 y x x (2 ) y x (2 ) y x (2 ) y (2 ) y
4 3 2 2 3 4
x 2 y x 2 x y 4 x y 8 xy 16 y
2) Factorizar: x^7^ y^14 desarrollando se tiene:
7 14 7 2 7 2 6 5 2 4 4 3 6 2 8 10 12
x y x y x y x x y x y x y x y xy y
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1º Descomponer en factores primos:
2º Se toman los factores comunes con el menor exponente y se multiplican.
40 = 2x2x2x5 = 2^3 x M.C.D. = 2 2 x5= 20 60 = 2x2x3x5 = 2 2 x3x
Mínimo común múltiplo (m. c. m).- El mínimo común múltiplo (m. c. m.) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.
Ejemplo.- Averiguar el m.c.m. de 20 y 10:
Nros. Factores:
m.c.m. = 20 10: 10, 20 , 30,…..
Ejemplo.- Calcular el m. c. m. de 4, 5 y 6.
Se descompone en factores: 4 = 2x2 = 2 2 5 = 5 6 = 2x
Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y se multiplican: 22 x 3 x 5 = 60.
El m.c.m. de 4, 5 y 6 es 60.
Máximo común divisor de monomios.- Se halla el M. C. D. de los coeficientes y a continuación se escriben las letras comunes , dando a cada letra el menor exponente que tengan las expresiones dadas.
Ejemplos:
1) Halla el M. C. D. de: a^2 x^2 y 3 a^3 bx
Resp: M. C. D. = a^2 x
2) Halla el M.C.D. de 36 a b^2 4^ , 48 a b c^2 3 y 60 a^4 b^3 m
36 a 2 b^4 = 22. 32. a^2 b^4
48 a^2 b^3 c = 24. 3. a^2 b^3 c 60 a^4 b^3 m = 22. 3. 5. a^4 b^3 m
M. C. D. = 22. 3. a^2 b^2 12 a^2 b^2
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Máximo común divisor de polinomios.- El M. C. D. de dos o más polinomios, es el polinomio de mayor grado posible contenido en cada uno de ellos.
Para determinar el M. C. D. de dos o más polinomios se factorizan , y estará formado por todos los factores comunes con el menor exponente.
Ejemplos:
1) Halla el M. C. D. de: 2
4 a 4 ab
4 2 2
2 a 2 a b
4 a^2^ 4 ab 4 a a b 22 a a b
2 a^4^ 2 a b^2 2^ 2 a^2^ a^2^ b^2 2 a^2 a b a b
M. C. D: = 2 a ( a b )
2) Halla el M. C. D. de: x^2 4 , x^2 x 6 y x^2 4 x 4
x^2 4 x 2 x 2
x^2^ x 6 x 3 x 2
2 2 x 4 x 4 x 2
M. C. D. =(^ x ^2 )
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.- El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es toda expresión que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.
Mínimo común múltiplo de monomios.- Se halla el m. c. m. de los coeficientes y a continuación se escriben las letras comunes y no comunes , dando a cada letra el mayor exponente que tengan las expresiones dadas.
Ejemplos:
1) Halla el m.c.m. de: 8 ab^2 c y 12 a^3 b^2
8 ab^2 c = 23 ab^2 c
12 a^3 b^2 = 22. 3. a^3 b^2 m.c.m =^23.^3. a^^3 b^2 c ^24 a^3 b^2 c
2) Halla el m.c.m. de: 10 a^3 x , 36 a^2 mx^2 y 24 b^2 m^4
10 a^3 x = 2. 5. a^3 x
36 a^2 mx^2 = 22. 32. a^2 mx^2
24 b^2 m^4 = 23. 3. b^2 m^4
m.c.m. = 2 .3 .5.^3 2 a m x^3 4
m.c.m. = 360 a m x^3 4
Mínimo común múltiplo de polinomios.- El m. c. m. de dos o más polinomios, es el polinomio de menor grado posible que contiene un número entero de veces como factor a cada uno de los polinomios a intervenir.
Edwin Gutiérrez E. - 13 -
Verificación: 3 x = 8 – 15 3(3) = 8(3) – 15 9 = 9
Verificación: y – 6 = 3y – 26 10 – 6 = 3(10) - 26 4 = 4
Problemas sobre ecuaciones enteras de primer grado con una incógnita.- En la resolución de un problema mediante ecuaciones de primer grado, conviene seguir cuatro pasos:
1. Comprender el enunciado. 2. Plantear el problema mediante una ecuación. 3. Resolver la ecuación. 4. Comprobar que la solución cumple las condiciones del problema.
Algunas palabras ayudarán la traducción de enunciados a expresiones algebraicas:
Adición: La suma de, sumado a, se aumenta en, más Sustracción: La diferencia de, restado a, se disminuye en, menos Multiplicación: El producto de, multiplicado por, veces, por División: El cociente de, dividido entre Igualdad: Es igual a, es lo mismo que, son iguales, es equivalente a
Ejemplos:
1) Tres veces un número menos 12 es igual a 24. ¿Cuál es ese número?
Solución: Sea x el número, entonces:
3x – 12 = 24 3x = 24 + 12 3x = 36 x = 12
Respuesta: El número es 12.
2) ¿36 es qué porcentaje de 80?
Solución: Sea x el porcentaje, por lo tanto:
x
Despejamos x: 36(100)^45 80
x
Respuesta: 36 es el 45% de 80.
ECUACIONES SIMULTÁNEAS DE
PRIMER GRADO CON DOS Y TRES INCÓGNITAS
1º Eliminación por adición o sustracción.- Ejemplo: Resolver el sistema:
x – 3y = 9 (1), 2x + y = – 10 (2).
Solución: Multiplicando ambos miembros de (1) por 2, se obtiene: 2x – 6y = 18
2x – 6y = 18 2x + y = – 10 (- 1)
Multiplicando por (–1) cualquiera de las ecuaciones para cambiarle el signo de “x”, y sumando miembro a miembro:
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2x – 6y = 18
- 2x – y = 10
- 7y = 28 ; de donde se obtiene: y = – 4
Sustituyendo "y" por su valor en cualquiera de las ecuaciones dadas, y despejando "x":
x – 3y = 9 x – 3(–4) = 9 x + 12 = 9 x = – 3
Por tanto el conjunto solución es: x = – 3 ; y = – 4
2º. Eliminación por igualación.- Ejemplo: Resolver el sistema:
x + 2y = 22 (1), 4x – y = 7 (2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1) y (2):
x = 22 – 2y (3) x = (7 + y)/4 (4)
Iguálense las dos expresiones que representan el valor de "x":
22 – 2y = (7 + y)/
Resuélvase: 88 – 8y = 7 + y
- 9y = – 81 De donde: y = 9
Sustitúyase en (3) o en (4) el valor hallado para "y":
x = 22 – 2y x = 22 – 2(9) x = 4
El conjunto solución es: x = 4 ; y = 9.
3º. Eliminación por sustitución.- Ejemplo.- Resolver el sistema:
3x + y = 22 (1), 4x – 3y = – 1 (2).
Se va a eliminar "x". Despéjese el valor de "x" en (1):
3x = 22 – y x = (22 – y)/3 (3).
Sustitúyase (3) en (2): 4 [(22 – y)/3] – 3y = – 1
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Determinante de "y":
a 1 c 1 Δy = = (a 1 )(c 2 ) – (a 2 )(c 1 ) a 2 c 2
2º La solución del sistema es: x
s
x
; y s
y
Ejemplo:
1) Resolver por determinantes: 5x - 4y = 2 6x - 5y = 1 Determinante del sistema:
5 – 4 Δs = (5)(–5) – (–4)(6) = – 25 + 24 = – 1 6 – 5
Determinante de "x":
Δx = = (2)(–5) – (–4)(1) = – 10 + 4 = – 6 1 – 5
Determinante de "y":
Δy = = (1)(5) – (2)(6) = 5 – 12 = – 7 6 1
La solución del sistema es:^6 1
x s
x
7 7 1
y s
y
(^)
Resolución de tres ecuaciones con tres incógnitas.- El método de eliminación por suma o resta es la técnica más breve y fácil de hallar soluciones. Además, lleva la técnica de matrices que se estudia en esta sección.
Cualquier sistema de ecuaciones lineales con tres variables puede tener una solución única, un número infinito de soluciones o no tener solución.
a) Método de sustitución.- Resolver, por sustitución, el siguiente sistema:
3 x y 3 z 10
4 x 2 y z 3
2 x 3 y 2 z 2 (1) (2)
(3)
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1º Despejar una incógnita en una cualquiera de las ecuaciones (Si alguna incógnita tiene coeficiente unidad es la que debe despejarse pues así se evitan los denominadores)
Despejamos “y” en la ecuación (3): y 10 3 x 3 z y 10 3 x 3 z (4)
2º Sustituir el valor obtenido en las ecuaciones (1) y (2), formando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
x x z z
x x z z
3º Resolver el sistema de dos ecuaciones resultante por cualquiera de los procedimientos estudiados.
Efectuamos las operaciones:
x x z z
x x z z
x z
x z (5)
(6)
Siguiendo por el método de sustitución, despejar la “x” en la ecuación (6):
17 5 2 17 5 ; 2
z x z x
^ (7)
Sustituir “x” en la ecuación (5):
x z z z
z z z
^
^ ^ ^ ^
Sustituir el valor de “z” en la expresión (7):
x x
Sustituir los valores de “x” y “z” en la ecuación (4):
y 10 3 x 3 z 10 3(1) 3(3) 10 3 9 y 2
La solución del sistema de ecuaciones es: x = 1, y = 2, z = 3
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TEORÍA DE LOS EXPONENTES
Potenciación.- Es la operación que consiste en repetir un número llamado base tantas veces como indica otro número llamado exponente.
Se lee: a elevado a la n
n es un número natural que se llama exponente. a es un número cualquiera que se llama base.
Leyes de signos:
n
n
2
2
( )
2 1
2 1
( )
n
n
Leyes de los exponentes:
a) Producto de potencias de igual base:
am a n^ am n
Ejemplos: 1) x^6. x^9 x^6 ^9 x^15 2) 6 2 62 4
x. x x x
b) División de potencias de igual base:
m m n n
a
a
a
^
Ejemplos: 1) 5 115 6
11 x x x
x 2) 6 46 2
4 x ^ x x
x
c) Exponente uno: 1
a a
Ejemplos: 1) 51 = 5 2) ( 5 x )^1 5 x
d) Exponente cero:
a^0^ 1
Ejemplos: 1) 40 = 1 2) 6 4 61 6
0
3)^220
2
2 (^2 2) a a a
a a a O sea. a^0 1
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e) Exponente negativo:
n^1
a n
a
a 0
Ejemplos: 1) 5
5 1 x
(^) x 2)^5 5
b b
^ ^ 3)^231
3
2 2 3
a a
a
a
a a
f) Potencia de un producto:
( a b ) n^ an bn
Ejemplos: 1) ( x y )^7 x^7^ y^7 2)
(^3 3 3 )
abc a b c
g) Potencia de un cociente: n (^) n
n
a a
b b
Ejemplos: 1) 4
(^44)
y
x y
x
(^4 ) 4 4
y y y
^
h) Potencia negativa de un cociente:
n n (^) n
n
a b b
b a a
^
Ejemplos: 1) 64
3 3
2)
3 3 3 7 343 7 3 27
^
i) Potencia de potencia:
n m n m
a a
Ejemplos: 1)
4 ^3 4 .( 3 ) 12
x x x 2)
34 2 2 3 4 24
( a a a
j) Potencia para un exponente: Llamada también escalera de exponentes, se le reconoce por la ausencia de signo de colocación. Para efectuar esta operación se toma de dos en dos de arriba hacia abajo:
Ejemplos: 4 49 2621144 32
a a a
2 2 21 2 123 18
