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1. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x^4 – x^2 – 12 = 0 b) x^4 – 8 x^2 – 9 = 0
a) x^2 = = 2 y –
b) x^2 = = 3 y –
2. Resuelve:
a) x^4 + 10 x^2 + 9 = 0 b) x^4 – x^2 – 2 = 0
a) x^2 = =
No tiene solución. b) x^4 – x^2 – 2 = 0
x^2 = = =
Hay dos soluciones: x 1 = – ; x 2 =
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3. Resuelve:
a) – + 1 = x b) – = 4 c) 2 + = x
d) 2 – = x e) – 1 =
a) 1 – x = 1 + x^2 – 2 x = 2 x – 3; x^2 – 4 x + 4 = 0; x = 2 (no vale) No tiene solución.
b) 2 x – 3 = 16 + x + 7 + 8
x – 26 = 8 x^2 + 676 – 52 x = 64 ( x + 7) x^2 + 676 – 52 x = 64 x + 448
x^2 – 116 x + 228 = 0; x =
x = 114
2 8 (no vale)
√ x + 7
√ x + 7
√ 2 x – 3
√ x √ 3 x + 3 √ 8 – 2 x
√ 2 x – 3 √ 2 x – 3 √ x + 7 √ x
x^2 = –1 8 No vale x^2 = 2 8 x = ± √ 2
–1 8 (no vale) –9 8 (no vale)
9 8 x = ± –1 8 (no vale)
4 8 x = ± –3 8 (no vale)
Unidad 3. Álgebra
c) = x – 2; x = x^2 + 4 – 4 x ; 0 = x^2 – 5 x + 4
x = =
x = 4
d) 2 – x = ; 4 + x^2 – 4 x = x ; x^2 – 5 x + 4 = 0
x =
x = 1
e) – 1 =
3 x + 3 = 1 + 8 – 2 x + 2
5 x – 6 = 2 25 x^2 + 36 – 60 x = 4(8 – 2 x ) 25 x^2 – 52 x + 4 = 0
x =
Así, x = 2.
4. Para ir de A hasta C hemos navegado a 4 km/h en línea recta hasta P , y hemos caminado a 5 km/h de P a C****. Hemos tardado, en total, 99 minutos (99/60 horas). ¿Cuál es la distancia, x , de B a P****?
AP^2 = x^2 + 9 = t
PC = 6 – x = (^) ( – t (^) )
t =
t = – +
+ =^99
6 – x 5
√ x^2 + 9
6 – x 5
√ x^2 + 9
6 – x 5
√ x^2 + 9
3 km
6 km
x
A
P
B
ARENA
MAR
C
x = 2 x = 0,08 8 no vale
√8 – 2 x
√8 – 2 x
√ 3 x + 3 √8 – 2 x
4 8 (no vale) 1
√ x
1 8 (no vale)
√ x
Unidad 3. Álgebra
UNIDAD 3
6 – x 5
√ x^2 + 9
6. Resuelve:
a) + = 3 b) + = c) – =
a) x ( x + 1) + 2 x ( x – 1) = 3 ( x^2 – 1) x^2 + x + 2 x^2 – 2 x = 3 x^2 – 3 x = 3
b) 10 ( x + 3) + 2 x ( x + 2) = 3 ( x^2 + 5 x + 6) 10 x + 30 + 2 x^2 + 4 x = 3 x^2 + 15 x + 18 0 = x^2 + x – 12
x = = =
x 1 = 3; x 2 = –
c) 35 ( x + 3) ( x + 1) – 35 ( x^2 + 1) = 26 ( x^2 – 1) 35 ( x^2 + 4 x + 3) – 35 ( x^2 + 1) = 26 ( x^2 – 1) 35 x^2 + 140 x + 105 – 35 x^2 – 35 = 26 x^2 – 26 26 x^2 – 140 x – 96 = 0
x = = =
x 1 = 6; x 2 =
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7. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2 3 x^ = 0,5 3 x^ + 2^ b) 3 4 –^ x^^2 =
c) = 186 d) 7 x^ + 2^ = 5 764 801
a) 2^3 x^ = 2 –3 x^ – 2^ ; 3 x = –3 x – 2; 6 x = –2; x =
b) 3 4 –^ x^^2 = 3 –2; 4 – x^2 = –2; x^2 = 6; x = ±
x 1 = √ 6 ; x 2 = – √ 6
4 x^ – 1 2 x^ + 2
x^2 + 1 x^2 – 1
x + 3 x – 1
x x + 3
x + 2
2 x x + 1
x x – 1
Unidad 3. Álgebra
UNIDAD 3
c) = 186; 22 x^ – 2 –^ x^ – 2^ = 186; 2 x^ – 4^ = 186
log 2 x^ – 4^ = log 186; ( x – 4) log 2 = log 186
x = 4 + = 11,
d) 7 x^ + 2^ = 7 8 ; x = 6
8. Resuelve:
a) 3 x^ + 3 x^ + 2^ = 30 b) 5 x^ + 1^ + 5 x^ + 5 x^ – 1^ =
c) 2 log x – log ( x + 6 ) = 3 log 2 d) 4 log (^) 2 ( x^2 + 1) = log (^) 2 625
a) 3 x^ + 3 x^ · 9 = 30 3 x^ (10) = 30; 3 x^ = 3; x = 1
b) 5 · 5 x^ + 5 x^ + =
5 x^ · = ; x = 0
c) log = log 8
x^2 = 8 x + 48; x^2 – 8 x – 48 = 0; x = =
x = 12
d) log 2 ( x^2 + 1) 4 = log 2 54 ; x^2 + 1 = 5; x^2 = 4; x = ± x 1 = 2; x 2 = –
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1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a) b) c)
a)
x^2 – 9 = 2 x – 1; x^2 – 2 x – 8 = 0
y = 2 x – 1 y = x^2 – 9
x = 2 y + 1
x + y – √
x – y = 2
x y xy xy = 6
2 x – y – 1 = 0 x^2 – 7 = y + 2
–4 (no vale)
x^2 x + 6
5 x 5
log 186 log 2
22 x^ – 2 2 x^ + 2
Unidad 3. Álgebra
c) log = 1
5 x^ + 1^ = 5 2 y^ + 2
x = 2 y + 1 4 y^2 + 1 + 4 y + y = 20 y + 10 – 20 y 4 y^2 + 5 y – 9 = 0
y = = =
x 1 = 3; y 1 = 1
x 2 = ; y 2 =
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1. Reconoce como escalonados y resuelve:
a) b)
c) d)
x = – y = 4 z = 4
x = – y = 4 z = 2 x + y + 2 = –2 + 4 + 2 = 4
3 x = – 5 y = 20 2 x + y – z = –
c)
x = 4 y = – z = 0
y = —^ = – 3 2 –4 y x = —^ = 4 3 z = 5 x + y – 17 = 20 – 3 – 17 = 0
3 x + 4 y = 0 2 y = – 5 x + y – z = 17
b)
x = 7 y = 2 z = 11
x = 7 y = 2 x – 8 = 2 3 z = 3 x + y – 12 = 21 + 2 – 12 = 11
x = 7 2 x – 3 y = 8 3 x + y – z = 12
a)
y = 4 x – z = 11 y – z = 7
3 x = – 5 y = 20 2 x + y – z = –
3 x + 4 y = 0 2 y = – 6 5 x + y – z = 17
x = 7 2 x – 3 y = 8 3 x + y – z = 12
–9/4 8 x = –7/ 1 8 x = 3
x^2 + y = 10 x – 20 y x + 1 = 2 y + 2
x^2 + y x – 2 y
Unidad 3. Álgebra
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EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
Factorización
1 Descompón en factores estos polinomios y di cuáles son sus raíces: a) x^3 – 2 x^2 – x + 2 b) x^4 – 5 x^2 + 4 c) 2 x^3 – 3 x^2 – 9 x + 10 d) x^5 – 7 x^4 + 10 x^3 – x^2 + 7 x – 10 e) 6 x^4 – 5 x^3 – 23 x^2 + 20 x – 4 f ) x^5 – 16 x g) 4 x^2 – 25 h)4 x^2 + 4 x + 1
a) ( x + 1) ( x – 1) ( x – 2) 8 Raíces: –1, 1, 2 b) ( x – 1) ( x + 1) ( x – 2) ( x + 2) 8 Raíces: 1, –1, 2, –
c) ( x – 1) ( x + 2) (4 x – 10) 8 Raíces: 1, –2,
d) ( x – 1) ( x – 2) ( x – 5) ( x^2 + x + 1) 8 Raíces: 1, 2, 5
e) ( x + 2) ( x – 2) (2 x – 1) (3 x – 1) 8 Raíces: –2, 2, ,
f) x ( x – 2) ( x + 2) ( x^2 + 4) 8 Raíces: 0, 2, –
g) (2 x + 5) (2 x –5) 8 Raíces: , –
h) (2 x + 1)^2 8 Raíz: –
2 Halla, en cada uno de los siguientes casos, el máx.c.d. [ A ( x ), B ( x )] y el mín.c.m. [ A ( x ), B ( x )]: a) A ( x ) = x^2 + x – 12; B ( x ) = x^3 – 9 x b) A ( x ) = x^3 + x^2 – x – 1; B ( x ) = x^3 – x c) A ( x ) = x^6 – x^2 ; B ( x ) = x^3 – x^2 + x – 1
a) A ( x ) = ( x – 3) ( x + 4); B ( x ) = x ( x – 3) ( x + 3) máx.c.d. = ( x – 3) mín.c.m. = x ( x – 3) ( x + 3) ( x + 4)
b) A ( x ) = ( x – 1) ( x + 1)^2 ; B ( x ) = x ( x – 1) ( x + 1) máx.c.d. = ( x – 1) ( x + 1) mín.c.m. = x ( x – 1) ( x + 1)^2
PARA PRACTICAR
Unidad 3. Álgebra
d) x 1 = 1; x 2 = 2; x 3 =
e) x ( x^4 – 16) = 0; x ( x^2 – 4) ( x^2 + 4) = 0 x 1 = 0; x 2 = 2; x 3 = –
f) x ( x^2 – 3 x + 2) = 0; x ( x – 1) ( x – 2) = 0 x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 2
g) x = 1
Fracciones algebraicas
4 Simplifica las fracciones:
a) b)
a) =
b) =
5 Opera y simplifica el resultado:
a) : b) ·
c) –^ –^ d) –^ : 1 +
e) 1 –^ · : 1 ) x + 2
x + 3 x + 2
x + 1 ( x + 2
)
x ) ( x + 2
x x + 2
x + 1 ( x
x x^2 – 3 x + 2
x x – 1
x x – 2
( x – 2) 2 x^2 – 1
x^2 + 2 x – 3 ( x – 2)^3
( a + 1)^2 a^2 – 1
3 a + 3 12 a – 12
3 x^2 + 4 x + 1 x^2 + 2 x
( x – 2) ( x + 1) (3 x + 1) x ( x – 2) ( x + 2)
(3 – x ) (3 + x ) x ( x – 3)
3 x^3 – 2 x^2 – 7 x – 2 x^3 – 4 x
9 – x^2 x^2 – 3 x
Unidad 3. Álgebra
a) =
b) =
c) = = 0
d) : = · =
e) · ( x + 2) =
6 Demuestra las siguientes identidades:
a) + – 1) =
b) : = 1
c) –^ : –^ = 2 x – 5
a) (^) ( ) · (^) ( ) = (^) ( ) · (^) ( ) = (^) ( ) · =
b) : = = 1
c) (^) ( ) : (^) ( ) =
= : = = 2 x – 5
Ecuaciones de primer y segundo grado
7 Entre estas ecuaciones de primer grado, hay dos que no tienen solución, dos que tienen infinitas soluciones y dos que tienen solución única. Identi- fica cada caso y resuelve las que sean posible:
(2 x – 5) ( x – 3) ( x – 2) ( x – 3) ( x – 2)
( x – 3) ( x – 2)
(2 x – 5) ( x – 3) ( x – 2)
x – 2 – x + 3 ( x – 3) ( x – 2)
( x – 2 + x – 3) ( x – 2 – x + 3) ( x – 3) ( x – 2)
( x – 2) – ( x – 3) ( x – 3) ( x – 2)
( x – 2)^2 – ( x – 3)^2 ( x – 3) ( x – 2)
( a + 1) ( a – 2) ( a – 2) ( a + 1)
( a + 1) 2 ( a – 2) ( a + 1)
( a + 1) ( a – 1) ( a – 2) ( a – 1)
x
1 – x x
1 – x
1 – x x
1 + x (1 – x ) (1 + x )
1 – x x
1 – x + 2 x 1 – x^2
)
x – 2
) ( x – 3
x – 3 x – 2
x – 2 ( x – 3
a^2 + 2 a + 1 a^2 – a – 2
a^2 – 1 a^2 – 3 a + 2
x
)( x
2 x 1 – x^2
( 1 + x
x + 2
x^2 + 4 + 4 x – x^2 – 4 x – 3 ( x + 2) 2
3 x + 2 2 x ( x + 1)
3 x + 2 x (2 x + 2)
x + 2 2 x + 2
3 x + 2 x ( x + 2)
x + 2 + x x + 2
( x + 1) ( x + 2) – x^2 x ( x + 2)
x^2 – x – x^2 + 2 x – x ( x – 2) ( x – 1)
x ( x – 1) – x ( x – 2) – x ( x – 2) ( x – 1)
x + 3 ( x – 2) ( x + 1)
( x + 3) ( x – 1) ( x – 2)^2 ( x – 2)^3 ( x + 1) ( x – 1)
3 ( a + 1) ( a + 1) ( a – 1) 12 ( a – 1) ( a + 1)^2
Unidad 3. Álgebra
UNIDAD 3
e) + = + 1
f) 0,
x^2 – x – 1,
☛ Expresa los decimales periódicos en forma de fracción y obtendrás soluciones enteras. a) 2 x^2 – 2 + 6 ( x^2 + 4 – 4 x ) = 3 x^2 + 6 2 x^2 – 2 + 6 x^2 + 24 – 24 x = 3 x^2 + 6 5 x^2 – 24 x + 16 = 0
x = =
x 1 = 4; x 2 =
b) 0,5 ( x^2 + 1 – 2 x ) – 0,25 ( x^2 + 1 + 2 x ) = 4 – x 0,5 x^2 + 0,5 – x – 0,25 x^2 – 0,25 – 0,5 x = 4 – x 0,25 x^2 – 0,5 x – 3,75 = 0 x^2 – 2 x – 15 = 0
x = =
x 1 = –3; x 2 = 5
c) 0,25 x^2 – 1 = x^2 + 1 + 2 x – 9 0 = 0,75 x^2 + 2 x – 7
x = =
x 1 = 2; x 2 = –
d) (^) ( + 4 – 2 x ) – = –
3 x^2 + 48 – 24 x – x – 1 = 1 – 2 x + 2; 3 x^2 – 23 x + 44 = 0
x = =
x 1 = 4; x 2 =
e) 4 x ( x – 3) + 2 x ( x + 2) = 9 x^2 + 4 – 12 x + 8 4 x^2 – 12 x + 2 x^2 + 4 x = 9 x^2 + 4 – 12 x + 8 0 = 3 x^2 – 4 x + 12 8 No tiene solución.
2 x – 2 8
x + 1 8
x^2 4
(3 x – 2) 2 8
x ( x + 2) 4
x ( x – 3) 2
Unidad 3. Álgebra
UNIDAD 3
Ecuaciones con radicales
12 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones:
a) = 3 + 2 x b) x + = 1
c) + x = 0 d) + = 0
a) 5 x + 6 = 9 + 4 x^2 + 12 x ; 0 = 4 x^2 + 7 x + 3
x = = =
x 1 = –1; x 2 = –
b) 7 – 3 x = 1 + x^2 – 2 x ; 0 = x^2 + x – 6
x = = =
x = – c) 2 – 5 x = 3 x^2 ; 0 = 3 x^2 + 5 x – 2
x = = =
x = – d) 2 x + 3 = x – 5; x = –8 (no vale) No tiene solución.
13 Resuelve:
a) + = 4 b) = c) + = 3
a) 5 x – 6 = 16 + 2 x – 8
3 x – 22 = –
9 x^2 + 484 – 132 x = 64 · 2 x ; 9 x^2 – 260 x + 484 = 0
x = =
x = 2
b) =
63 x + 9 = 25 x^2 + 49 – 70 x ; 0 = 25 x^2 – 133 x + 40
x = =
x = 5
8/25 (no vale)
25 x^2 + 49 – 70 x 36
7 x + 1 4
484/18 = 242/9 (no vale) 2
√ 2 x
√ 2 x
5 x – 7 √ x – 2 √ x + 1
7 x + 1
√ 2 x √ 5 x – 6
1/3 (no vale)
2 (no vale)
√ 2 – 5 x √ 3 √ 2 x + 3 √ x – 5
√ 5 x + 6 √ 7 – 3 x
Unidad 3. Álgebra
b) = 1; 3 x^2 + 5 x – 100 = 0
x = =
x = 5
c) log x = = =
d) x^2 – 7 x + 110 = 100; x^2 – 7 x + 10 = 0
x = = =
x 1 = 2; x 2 = 5
e) log = 1
x^2 + 3 x + 36 = 10 x + 30; x^2 – 7 x + 6 = 0
x = = =
x 1 = 1; x 2 = 6
f) ln x + ln 2 x + ln 4 x = 3
ln ( x · 2 x · 4 x ) = 3
ln (8 x^3 ) = 3 8 8 x^3 = e^3 8 x^3 =
x =
3 = = 8 x =
Sistemas de ecuaciones
20 Resuelve:
a) b)
c) d)
☛ Suma las dos ecuaciones.
( x + y ) ( x – y ) = 7 3 x – 4 y = 0
x^2 + y^2 – 5 x – 5 y + 10 = 0 x^2 – y^2 – 5 x + 5 y + 2 = 0
—^1 1
+ —^ = —
x y 6 2 x + 3 y = 2
x · y = 15 —^ x^ 5 = — y 3
e 2
e √ 2
e^3 8
e^3 8
x^2 + 3 x + 36 x + 3
1; x 1 = 10 –18/4 = –9/2; x 2 = 10–9/
–40/6 (no vale)
log ( x (3 x + 5)) 2
Unidad 3. Álgebra
a) x =
= 15; y^2 = 9
x 1 = 5, y 1 = 3; x 2 = –5, y 2 = –
b) 6 y + 6 x = 5 xy 4 – 4 x + 6 x =
y = 6 x + 12 = 10 x – 10 x^2 10 x^2 – 4 x + 12 = 0 5 x^2 – 2 x + 6 = 0 No tiene solución.
c) 2 x^2 – 10 x + 12 = 0; x^2 – 5 x + 6 = 0
x = = =
x^2 + y^2 – 5 x – 5 y + 10 = 0
- x^2 + y^2 + 5 x – 5 y – 2 = 0 2 y^2 – 10 y + 8 = 0 y^2 – 5 y + 4 = 0
y = = =
x 1 = 3, y 1 = 4; x 2 = 3, y 2 = 1; x 3 = 2, y 3 = 4; x 4 = 2, y 4 = 1
d) x =
y^2 = 9; y = ± x 1 = 4, y 1 = 3; x 2 = –4, y 2 = –
21 Resuelve:
a)
b)
c)
d) √
x + y + 2 = x + 1 2 x – y = 5
3 ( x + y ) + x = 12 2 x – y = 6
x + 1 = y + 1 2 x – 3 y = 1
y^2 – 2 y + 1 = x
x + y = 5
y 3
7 y 3
4 y 3
2 – 2 x 3
5 x (2 – 2 x ) 3
y = 3 8 x = 5 y = –3 8 x = –
5 y^2 3
5 y 3
Unidad 3. Álgebra
UNIDAD 3
