Formulario de Matematica Superior, Apuntes de Matemáticas

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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AGUASCALIENTES

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

FORMULARIO BÁSICO

DE

MATEMÁTICAS

SUPERIORES

UNIDAD COSIO

EDICIÓN FEBRERO – JUNIO 2009

ÍNDICE

• Geometría
• Trigonometría
• Números Complejos
• Geometría Analítica del Espacio
• Reglas Generales de Derivación
• Tablas de Integrales
• Vectores
• Integrales Múltiples
• Fórmulas Misceláneas
• Tabla de Transformadas de Laplace

Trigonometría

IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

FUNCIONES DE UN ANGULO

              

              

 

 

 

 

 

 

     

     

Cos Cos Cos Cos Sen Sen Cos Sen Cos Sen Cos Sen Sen

Sen Sen Cos Cos Cos Sen Cos Cos Cos Sen Sen Sen Sen

Cot Cot

Cot Cot

Cot

Tan Tan

Tan Tan

Tan

Cos Cos Cos Sen Sen

Sen Sen Cos Cos Sen

Cotx Co x

Tanx Sec x

Cosx Sen x

Senx Cos x

Senx Cos x

Sen x

Cos x

Cot x

Cos x

Sen x

Tan x

TanxCot x

CosxSec x

SenxCo x

     

     



 



 

 

  

 

 

 

 

 











( )

( )

1

1

1 sec

1

1

1

1

1

1

sec 1

2 2

2 2

2

2

2 2







Sumaodiferenciade 2 ángulos :

IdentidadesPitagóricas :

FUNCIONES DE ANGULOS MULTIPLES

Cot x

Cot x

Cot x

x

x

x

x x

x x

x x x

x x x

2

1

2

1 tg

2 tg

tg 2

cos 2 1 2 sen

cos 2 2 cos 1

cos 2 cos sen

sen 2 2 sen cos

2

2

2

2

2 2









 

 

 



ángulodoble :

Identidadestrigonométricas del

IDENTIDADES DE ÁNGULO TRIPLE:

3 tg 1

tg 3 tg

tg 3

1 3 tg

3 tg tg

tg 3

cos 3 4 cos 3 cos

sen 3 3 sen 4 sen

2

3

2

3

3

3













 

 



 





 



  

  

c

c c

c

Identidades de ángulo cuádruple:

 

 



 

 



  

    

4 tg 4 tg

tg 6 tg 1

tg 4

1 6 tg tg

4 tg 4 tg

tg 4

cos 4 8 cos 8 cos 1

sen 4 8 cos sen 4 cos sen

3

4 2

2 4

3

4 2

3

c c

c c

c



 



 





  

 

Generalizando, para cualquier múltiplo de ángulo:

(teorema de Moivre)

( )!!

!

sen cos sen cos sen cos sen ....

cos cos cos sen cos sen cos sen ...

1 3 3 3 5 5 5

2 2 2 4 4 4 6 6 6

n r r

n

C

n n C C

n C C C

r

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





   

    

  

  

donde :

      

       

















1 cos

sen

sen

1 cos

1 cos

1 cos

2

cot

1 cos

sen

sen

1 cos

1 cos

1 cos

2

tg

2

1 cos

2

cos

2

1 cos

2

sen













 













 



 



 

x

x x

x

x x

x x

x x

delángulo mitad :

Identidades trigonomét ricas

SUMA Y DIFERENCIA DE FUNCIONES

 

 

 

 

 

 

cos cos cos  cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

sen sen cos cos( ) cos( ) cos( ) cos( )

sen cos cos sen( ) sen( ) sen( ) sen( )

sen sen sen sen( ) sen( ) sen( ) sen( )

sen cos sen( ) sen( )

cos cos cos( ) cos( )

sen sen cos( ) cos( )

4

1

4

1

4

1

4

1

2

1

2

1

2

1

              

              

              

              

     

     

     

POTENCIAS DE FUNCIONES

cos (cos 4 4 cos 2 3 )

sen (cos 4 4 cos 2 3 )

cos (cos 3 3 cos )

sen ( 3 sen sen 3 )

cos ( 1 cos 2 )

sen ( 1 cos 2 )

8

4 1

8

1

4

4

1

3

4

1

3

2

1

2

2

1

2

sen  A sen A

cos  A cos A

tan   A  tan A

Las leyes siguientes son validas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.

Ley de los senos

a

A

b

B

c

sen sen sen C

Ley de los cosenos

c a b a b C

2 2 2

   2 cos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

a b

a b

tan A B

tan A B











1

2

1

2

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

A

B

C

a

c

b

Números Complejos

Siendo p un número real cualquiera, el teorema de De Moivre establece que

 r i  r  p i p 

p

p

cos   sen   cos   sen 

Sea n cualquier entero positivo y

p

n

, entonces

 

   

r i r i

n

n

k

n

k

n

cos  sen  cos sen

  

1 1

donde k es un entero positivo. De aquí se pueden obtener las n raíces n -ésimas distintas de un número

complejo haciendo

k  0 , 1 , 2 ,, n  1

Geometría Analítica del Espacio

Considerando P  x y z 

1 1 1 1

 , , y P  x y z 

2 2 2 2

 , ,

Vector que une P 1

y P 2

P P  x x   y y   z z   l m n 

1 2 2 1 2 1 2 1

  ,  ,   , ,

Distancia entre dos puntos:

d   x  x    y  y    z  z   l  m  n

2 1

2

2 1

2

2 1

2

2 2 2

Recta que pasa por dos puntos:

• Forma Paramétrica:

x  x  l t

1

y  y  mt

1

z  z  n t

1

-Forma Simétrica:

t

x x

l





1

t

y y

m

1

t

z z

n

1

Cosenos Directores:

cos  

x x

d

l

d

2 1

cos  

y y

d

m

d

2 1

cos  

z z

d

n

d

2 1

donde

denotan los ángulos que forman la línea que une los puntos P 1

y P 2

con la parte positiva de

los ejes x, y, z respectivamente.

Ecuación del Plano:

• Que pasa por un punto P 1

(x 1

, y 1,

z 1

) y tiene vector normal a a a a





1 2 3

, ,

a  x x  a  y y  a  z z 

1 1 2 1 3 1

      0

-Forma General:

Ax  By  Cz  D  0

cos cos cos

2 2 2

     1 o l m n

2 2 2

Distancia del punto P 0

(x 0

, y 0

, z 0

) al plano Ax+By+Cz+D=

d

Ax By Cz D

A B C

0 0 0

2 2 2

d

dx

u nu

du

dx

n n

 1

dF

dx

dF

du

du

dx

(Regla de la cadena)

du

dx

dx

du

dF

dx

dF

du

dx

du

Derivadas de las Funciones Exponenciales y Logarítmicas

d

dx

u

e

u

du

dx

a a

a

a

log

log

d

dx

u

d

dx

u

u

du

dx

e

ln  log 

d

dx

a a a

du

dx

u u

 ln

d

dx

e e

du

dx

u u

d

dx

u

d

dx

e e

d

dx

v u vu

du

dx

u u

dv

dx

v v u v u v v

ln ln 

ln ln

1

Derivadas de las Funciones Trigonométricas y de las Trigonométricas Inversas

d

dx

u u

du

dx

sen cos

d

dx

u u

du

dx

cot  csc

2

d

dx

u u

du

dx

cos  sen

d

dx

u u u

du

dx

sec sec tan

d

dx

u u

du

dx

tan sec

2

d

dx

u u u

du

dx

csc csc cot

d

dx

u

u

du

dx

sen sen u

 

1

2

2

1

2

 

d

dx

u

u

du

dx

cos cos u

 

1

2

1

d

dx

u

u

du

dx

tan tan u

 

1

2 2

1

2

 

d

dx

u

u

du

dx

cot cot u

 

1

2

1

d

dx

u

u u

du

dx

u u

du

dx

si u

si u

sec

sec

sec

















  

  

















1

2 2

1

2

2

1

1

1

1

1

0







d

dx

u

u u

du

dx

u u

du

dx

si u

si u

csc

csc

csc

















  

   

















1

2 2

1

2

2

1

1

1

1

1

0

0







Derivadas de las Funciones Hiperbólicas y de las Hiperbólicas Recíprocas

d

dx

u u

du

dx

senh cosh

d

dx

u u

du

dx

coth  csch

2

d

dx

u u

du

dx

cosh senh

d

dx

u u u

du

dx

sec h sec h tanh

d

dx

u u

du

dx

tanh sec h

2

d

dx

u u u

du

dx

csc h csc h coth

d

dx

u

u

du

dx

sen h

2

d

dx

u

u

du

dx

si u u

si u u

cos

cosh ,

cosh ,

h







  

  





















1

1

0 1

0 1

2

1

1

d

dx

u

u

du

dx

tanh u



1

2

d

dx

u

u

du

dx

coth u o u



1

2

d

dx

u

u u

du

dx

si u u

si u u

sec

sec ,

sec ,

h

h

h







   

   





















1

1

0 0 1

0 0 1

2

1

1

d

dx

u

u u

du

dx

u u

du

dx

csc h si u , si u

2 2

Tablas de Integrales

u dv  uv  v du

csc u cot u du  csc u  C

u du

n

u C n

n n





1



tan u du ln sec u  C

du

u

  ln u  C

cot u du ln sen u  C

e du e C

u u

 

u du  u  u  C



sec lnsec tan

a du

a

a

C

u

u



ln

csc u du ln csc u  cot u  C

sen u du  cos u  C

du

a u

u

a

C

2 2

1





sen



cos u du  sen u  C



 





C

a

u

a u a

du

1

2 2

tan

1



sec u du  tan u  C

2

du

u u a

a

u

a

C

2 2

1



 sec

csc cot

2

u du  u  C

du

a u a

u a

u a

C

2 2

1

 2







 

ln

 

u du

a bu b

a bu a a bu a a bu C

2

3

2 2



ln

du

u a bu a

a bu a

a bu a

C a





 

 

 

1

ln , si 0



1

a

a bu

a

tan C , si a

du

u a bu a

u

a bu

C







 

1

ln

a bu

u

du a bu a

du

u a bu



  



 2 

du

u a bu au

b

a

a bu

u

C

2 2



ln

a bu

u

du

a bu

u

b du

u a bu











 

2

2

udu

a bu

a

b a bu b

a bu C

 2 2

ln

 

 

 

u a bu du

b n

u a bu na u a bu du

n n n



 

3

2

1

du

u a bu

a a bu a

a bu

u

C

 2 2

ln

u du

a bu

u a bu

b n

na

b n

u du

a bu

n n n











 

 



2

2 1

2

2 1

1

 



















 



  



a a bu C

a bu

a

a bu

b a bu

u du

2 ln

1

2

2 3

2

du

u a bu

a bu

a n u

b n

a n

du

u a bu

n

n n













 

 

 

1

2 3

2 1

1 1

u a budu

b

  bu  a a  bu  C 

2

15

3 2

2

3

2

udu

a bu

b

bu a a bu



2











 



2

1

2

2

4

2

4

2

ac b

ax b

tg

ac b

ax bx c

dx

C

ax b b ac

ax b b ac

b ac

ax bx c

dx



















  

  





 

2 4

2 4

ln

4

1

2

2

2

2

 

  ax bx c

dx

a

b

ax bx c

ax bx c a

xdx

2

2

2

ln( )

 

  ax bx c

dx

a

b ac

ax bx c

a

b

a

x

ax bx c

x dx

2 2

2

2

2 2

2

ln( )

 



 







 

  

ax bx c

x dx

a

b

ax bx c

x dx

a

c

m a

x

ax bx c

x dx

m m m m

2

1

2

1 2

2

( 1 )

 

 



















 



  ax bx c

dx

c

b

ax bx c

x

xax bx c c

dx

2 2

2

2

2

ln

2

1

( )

 

 



 















  



  ax bx c

dx

c

b ac

x cx

ax bx c

c

b

x ax bx c

dx

2 2

2

2

2

2 2 2

2

1 2

ln

( ) 2

 



 





 

 

  

( 1 ) ( ) ( )

1

( )

2 1 1 2 2 2

x ax bx c

dx

c

a

x ax bx c

dx

c

b

x ax bx c n cx

dx

n n n n

  



  





  ax bx c

dx

ac b

a

ac b ax bx c

ax b

ax bx c

dx

2 2 2 2 2 2

4

2

( 4. )( )

2

( )

  



  



 

  ax bx c

dx

ac b

b

ac b ax bx c

bx c

ax bx c

xdx

2 2 2 2 2 2

( 4 )( ) 4

2

( )

 

  



  

 



  ax bx c

dx

ac b

c

a ac b ax bx c

b acx bc

ax bx c

x dx

2 2 2 2

2

2 2

2

4

2

( 4 )( )

( 2 )

( )

   





   





   

 

 

 





n

m

n

m

n

m

n

m

ax bx c

x dx

n m a

n m b

ax bx c

x dx

n m a

m c

n m aax bx c

x

ax bx c

x dx

( 2 1 ) ( )

( )

2 1 ) ( )

( 1 )

( ) ( 2 1 ) ( )

2

1

2

2

2 1

1

2

 



 



 



 

 



 

n

n

n

n

n

n

n

n

ax bx c

x dx

a

b

ax bx c

x dx

a

c

ax bx c

x dx

ax bx c a

x dx

( ) ( ) ( )

1

( )

2

2 2

2

2 3

2 1

2 3

2

2 1

 



 



 



  ( )

1

2 ( ) 2 ( )

1

( )

2 2 2 2 2 2

xax bx c

dx

ax bx c c

dx

c

b

xax bx c cax bx c

dx

 



 



 

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2

( )

2

( )

3

( )

1

( ) xax bx c

dx

c

b

ax bx c

dx

c

a

x ax bx c cxax bx c

dx

  

 

 



 

 



  

 

 

m n m  n  m  n m 

x ax b

dx

m c

m n b

x ax bx c

dx

m c

m n a

x ax bx c m cx ax bx c

dx

( 1 ) (

( 2 )

( 1 ) ( )

( 2 3 )

( 1 ) ( )

1

( )

2 1 2 1 2 2 1 2

sen sen

2 1

2

1

4

 u du  u  2 u  C csc csc cot ln csc cot

3 1

2

1

2

 u du  u u  u  u  C

cos sen

2 1

2

1

4

u du  u  2 u  C 

sen sen cos sen

n

n

n n

u du u u

n

n

  u du

 

 

1 1 2



tan u du  tan u  u  C

2

cos cos sen cos

n

n

n n

u du u u

n

n

  u du

 

 

1 1 2



cot u du  cot u  u  C

2

 





 u udu

n

u du

n n 1 n 2

tan tan

1

1

tan

sen  sen cos

3 1

3

2

u du  2  u u  C 

cot cot cot

n n n

u du

n

 u u du

 

 

1 2

cos cos sen

3 1

3

2

 u du  2  u u  C

sec sec sec

n n n

u du

n

tanu u

n

n

 u du

 

 

2 2

tan u du  tan u lncos u  C

2

2

1

3

csc cot csc csc

n n n

u du

n

u u

n

n

 u du

 

 

2 2

cot cot ln sen

3 1

2

2

u du  u  u  C 

sen sen

sen sen

au bu du

a b u

a b

a b u

a b

 C

 

sec sec ln sec

3 1

2

1

2

u du  u tanu  u  tanu  C 

cos cos

sen sen

au bu du

a b u

a b

a b u

a b

 C

 

sen cos

cos cos

au bu du

a b u

a b

a b u

a b

 C



u u du u u n u u du

n n n

cos  sen  sen



1

 u sen u du sen u  u cos u  C

sen cos

n m

 u u du

 





sen cos

sen cos

n m

n m

u u

n m

n

n m

u u du

1 1

2

 





sen cos

sen cos

n m

n m

u u

n m

m

n m

u u du

1 1

2

u cos u du cos u  u sen u  C

u u du

u

u

u u

cos cos C

 









 

1

2

1

2

2 1

4

1

4

u u du u u n u u du

n n n

sen  cos  cos



1

 





 

C

u

u

u

u u du

2

tan

2

1

tan

1

2

1

donde  es el ángulo formado por A y B

A  B  A B  A B  A B

1 1 2 2 3 3

donde A  A i  A j  A k

1 2 3

B  i  j  k

  

B B B

1 2 3

Son resultados fundamentales:

Producto cruz:

AxB

i j k



  

A A A

B B B

1 2 3

1 2 3

  i   j   k

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

 A B  AB  AB  AB  AB  AB

Magnitud del Producto Cruz

AxB  A B sen 

El operador nabla se define así:

x y  z











  

  i  j  k

En las fórmulas que vienen a continuación vamos a suponer que U=U(x,y,z) , y A = A ( x,y,z ) tienen derivadas

parciales.

Gradiente de U = grad U

     

  

















  i  j  k i j k

z

U

y

U

x

U

U

x y z

U

























Divergencia de A = div A 











  

















    

     

A i j k i j k

1 2 3

A A A

x y  z











A

x

A

y

A

z

1 2 3

Rotacional de A = rot A













 

















   

     

xA i j k x i j k

1 2 3

A A A

x y  z











1 2 3

i j k

A A A

x y  z











  



 













 













 













  

























A

y

A

z

A

z

A

x

A

x

A

y

3 2 1 3 2 1

i j k

Laplaciano de U =

2

2

2

2

2

2

2

z

U

y

U

x

U

U U













     

Integrales Múltiples

 

 

F x y dydx

y f x

f x

x a

b

( )

 

 

1

2

 

 

 

 

 

F x y dy dx

y f x

f x

x a

b

( )

1

2

donde

y  f x

1

e

y  f x

2

son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que a y

b son las abscisas de los puntos P y Q. Esta integral también se puede escribir así:

 

 

F x y dxdy

x g y

g y

y c

d

( )

 

 

1

2

 

 

 

  F x y dx dy

x g y

g y

y c

d

( )

1

2

donde

x  g y

1

x  g y

2

son las ecuaciones de las curvas HPG y PGQ respectivamente, mientras que c y

d son las ordenadas de H y G.

Estas son las llamadas integrales dobles o integrales de área. Los anteriores conceptos se pueden ampliar para

considerar integrales triples o de volumen así como integrales múltiples en más de tres dimensiones.

s s t r t dt

a

t

 

Es la longitud de curva correspondiente al intervalo paramétrico

a , t .

En parámetro arbitrario: En parámetro s:

Vector tangente unitario

t t

r t

r t





t ( s ) r s



 ( )

Vector normal principal n ( t ) b ( t ) t ( t )







 x







n s

r s

r s

( )



( )



( )



Vector binormal ()

( )

( )

r r t

r r t

b t

 

  



 

 



x

x



 



b s

r s r s

r s

( )



( )



( )



( )



x

Los vectores unitarios

 



t , n , b forman un triedo positivo  



  



  



b  t x n , n  b x t , t  n x b

Recta tangente en

t

0

Ecuación vectorial: Ecuación paramétrica

   

r   r t   r  t

0 0

x x

x

y y

y

z z

x

0

0

0

0

0

0

Plano osculador

 

t , n en

t

0

Ecuación vectorial Ecuación paramétrica

       

r  r t  r t xr t  

0 0 0

x x y y z z

x y z

x y z

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Curvatura y Torsión

      

 t 

r t r t

r t

t

r t r t r t

r t r t

x x

x

3 2

     s  r s





Plano Normal

Área de la superficie generada al girar la gráfica f alrededor de x

S F x  f x  dx

b

a

2

 2 ( ) 1  ( )



Volumen del sólido de revolución generado al girar la gráfica de f alrededor del eje

y



b

a

V 2  tF ( t ) dt

Cálculo del volumen



b

a

V A ( x ) dx

  





b

a

V f x dx

2

Ecuación diferencial de primer orden

y   P ( x ) y  Q ( x )

Solución ye Q x e dx k

P ( x ) dx P ( x ) dx

( )

 

 



Ecuación del resorte helicoidal r t t t

t



( ) cos ,sen ,

2 

Derivada direccional

   

D f x y z f x y z

u





, ,   , ,  u

(



u

vector unitario)

Ecuación satisfecha por la carga de un circuito LRC

Lq Rq

C

q E t 

Fuerza ejercida por un fluído

F y L ydy

b

a

  ( )



Fuerza que actúa sobre un líquido encerrado en un tubo F   A 2 x g  A 2 x g

0

TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE

f ( t ) L  f ( t )  F ( s )

1

s

1

t

2

s

n

t

1

n 

s

n

,

n

es entero positivo

2

1



t

s



2

1

t

2

3

2 s



t

1





s

sen kt

2 2

s k

k

cos kt

2 2

s k

s

sen kt

2

( 4 )

2

2 2

2

ss k

k



kt

2

cos

( 4 )

2

2 2

2 2

s s k

s  k

at

e

s  a

1

senh kt

2 2

s k

k

cosh kt

2 2

s k

s

senh kt

2

( 4 )

2

2 2

2

ss k

k



kt

2

cosh

( 4 )

2

2 2

2 2

ss k

s k





at

te 2

( )

1

s  a

n at

t e 1

( )

!





n

s a

n

,

n

es entero positivo

e sen kt

at

2 2

( s a ) k

k

 

e kt

at

cos

2 2

( s a ) k

s a

 



e senh kt

at

2 2

( s a ) k

k

 