GUIA DE MATEMATICA SUPERIOR, Diapositivas de Matemáticas

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Coordinación de Asignaturas

Generales de Ciencias

Presentación del curso y evaluación diagnóstica

NÚMEROS REALES

En las diversas actividades diarias siempre está presente la idea de cantidad.

Veamos algunos ejemplos.

Usualmente cuando se le pregunta a un niño, de aproximadamente tres

años, acerca de su edad, nos responderá usando los dedos, ello nos

representa una cantidad natural.

Cuando en verano pedimos una gaseosa helada, ¿a qué temperatura

estará? Responderemos usando un número entero negativo.

Supongamos que estamos en una pollería, cuando la mamá reparte las

partes del pollo, ¿qué parte nos tocó? A esta pregunta responderemos

usando los números fraccionarios.

Frecuentemente estos conjuntos numéricos están representados de la siguiente

forma:

Conjuntos numéricos

Conjunto de los números naturales ( )

Está formado por todos los números que utilizaremos para contar

 

= 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... , también tenemos

SEMANA

Pares  

= 2; 4; 6; 8; ... , los números pares se denota por 2 n , donde n .

Impares  

= 1; 3; 5; 7; ... , los números impares se denota por 2 n − 1 , donde n .

Conjunto de los números enteros ( )

 

Conjunto de los números racionales ( )

a

b

= a b ; b 0

Conjunto de los números irracionales ()

{x/x es un número decimal infinito no periódico que no se puede expresar

como una división de dos enteros}

Ejemplos

e =2,7182...

Conjunto de los números reales ( )

También tenemos

(reales positivos)

−

(reales negativos

Propiedades algebraicas

Ejercicio 2.

En el siguiente esquema ubica los elementos del conjunto A:

3

A e

Siendo: n el número de elementos de ; m el número de elementos de  y p el

número de elementos de . Calcula el valor de n + m – p.

Ejercicio 3.

Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

a) El número  es un número real y su valor es3,

b) El número e es un número racional y su valor es2,

c) El número − 9 es un número real y su valor es− 3

d) El número − 16 no es un número real

e) El número 64 es un número irracional

Ejercicio 4.

Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción.

b) Todos los números reales son racionales.

c) Un número irracional es real.

d) Existen números enteros que son irracionales.

e) Hay números reales que son racionales.

Ejercicio 5.

Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

a) Cualquier número decimal es racional.

b) Un número racional es entero.

c) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales.

d) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten.

e) Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones.

Ejercicio 6.

Escribe la propiedad de los números reales que se está usando en cada

enunciado.

a) 7 + 10 = 10 + 7

b) + e 

c)

 

 

d) ( )( ) ( ) ( )

x + a x + b = x + a x + x + a b

e) a + −( a ) = −( a ) + a = 0

Ejercicio 7.

Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

a) p y ( + z ) = ( y + z p ) …………… Propiedad asociativa

b) x + (5 y + z ) = ( x + 5 ) y + z …………… Propiedad conmutativa

c) 3 m + −( 3 m ) = 0 …………… Propiedad elemento neutro

d)

m

m

m

…………… Propiedad inverso aditivo

e) 2 ( x y − z ) = 2 xy − 2 xz …………… Propiedad distributiva

Ejercicio 8.

Escribe el nombre correcto de cada número decimal

a) 0,75 b) 0, 28 c) 0, 257 d)1, 45

e) 5, 23 f) 2,345 g) 2,315 h)12, 4987

UBICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números reales se pueden representar mediante puntos sobre una recta,

como se muestra en la figura:

Los números reales están ordenados. Decimos que 𝑎 es menor que 𝑏 y escribimos

𝑎 < 𝑏 si 𝑏 − 𝑎 es un número positivo. Desde el punto de vista geométrico, esto

quiere decir que 𝑎 queda a la izquierda de 𝑏 en la recta numérica. Es lo mismo

que decir que 𝑏 es mayor que 𝑎 y escribir 𝑏 > 𝑎.

Conjuntos e intervalos

Valor absoluto y distancia

El valor absoluto de un número a , denotado por a , es la distancia desde a

hasta 0 sobre la recta de los números reales. La distancia siempre es positiva o

cero, de modo que tenemos a  0 para cada número a.

Ejercicio 7.

Representa de manera exacta en la recta numérica, utilizando el teorema de

Pitágoras, los siguientes números Irracionales.

a) 14 b) 41

Ejercicio 8.

Exprese el intervalo en forma de desigualdad, y luego grafique el intervalo.

a) −3; 0 b)2; 8

c) −2; +

d) −; 6

Ejercicio 9.

Determina la distancia entre los números dados

a) 2 y 8 b) – 3 y 21 c) – 2, 8 y 3 ,8 d) – 2,5 y 1, 7

Ejercicio 10.

Envío por correo de un paquete. La oficina de correos sólo aceptará paquetes

para los cuales el largo más lo que mida alrededor no sea mayor que 108

pulgadas. Por consiguiente, para el paquete de la figura debemos tener:

L + 2 ( x + y ) 108

a) ¿La oficina de correos aceptará un paquete que mide 6 pulgadas de

ancho, 8 pulgadas de alto y 5 pies de largo? ¿Y un paquete que mide 2 por

2 por 4 pies?

b) ¿Cuál es el mayor largo aceptable para un ´paquete que tiene base

cuadrada y mide 9 por 9 pulgadas?

OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS Y MODELADO

a) En la adición de dos números:

• Si los signos son iguales se suman los valores y se mantiene el signo.
• Si los signos son diferentes se restan los valores y se mantiene el signo del

mayor.

Ejemplos:

Al efectuar: − 45 + 32 = − 13 (Debido a que son signos opuestos, se procede

a restar y se conserva el signo del mayor)

Al efectuar: − 81 − 7 = − 88 (Debido a que son signos iguales, se suman y se

mantiene el signo)

b) En la multiplicación de dos números:

• Si los signos son iguales el resultado es positivo
• Si los signos son diferentes el resultado es negativo.

Ejemplos:

Al efectuar:

×

= + 288 (Debido a que son signos iguales, el

resultado de la multiplicación es positivo)

Al efectuar:

× 2 = − 102 (Debido a que son signos diferentes, el resultado

de la multiplicación es negativo)

c) En la división de dos números:

• Si los signos son iguales el resultado es positivo.
• Si los signos son diferentes el resultado es negativo.

Ejemplos:

Al efectuar:

÷ 6 = − 3 (Debido a que son signos diferentes, el resultado

de la división es negativo)

SEMANA

Ejercicio 4.

Calcula el valor de: 4 A − 2 B + 1 si:

     

A = − 2 4 − 4 3 − 3(2 − 6) − 8 − (7 − 9) y B = − 5 − 30  2  20 − (5 − 8  2  3) + 2

Ejercicio 5.

Calcula el valor de: − M − 4 N

si:

   

    

M

N

Ejercicio 6.

Huancayo tuvo ayer una temperatura de 3° bajo cero por la mañana y en la

tarde subió 18°. ¿Cuál fue la temperatura alcanzada?

Ejercicio 7.

Un cardumen que está a 7 metros bajo el nivel del mar, primero baja 4 metros y

luego baja 3 metros ¿A qué nivel del mar se encuentra ahora?

Ejercicio 8.

Una depresión profunda del océano está a 10982 metros bajo el nivel del mar y

una montaña, a 7580 metros sobre el nivel del mar. ¿Cuál es la distancia entre

los extremos, suponiendo que una está debajo de la otra?

Ejercicio 9.

María Fernanda tiene 30 billetes de S/ 100 y 30 de S/ 50. Dado que tiene una

deuda de S/ 3 500, decide pagarla con 42 billetes de los que tiene. ¿Cuál es la

menor cantidad de billetes que usaría para comprar una Tablet , de valor S/ 700,

con el dinero que le queda?

Ejercicio 10.

Deseamos repartir una cantidad de soles entre cierto número de niños. Si

diéramos a cada niño S/ 15, nos faltarían S/ 70; pero si diéramos S/ 10, nos

sobrarían S/ 10. ¿Cuántos soles más necesitaríamos para dar S/12 a cada niño?

MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Máximo común divisor (MCD)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCD es aquel número que

cumple dos condiciones:

1. Es un divisor común del conjunto de dichos números.
2. Es el mayor valor posible.

Ejemplo

Dados los números 6; 12 y 18, determina el MCD de dichos números.

Observaciones:

▪ La cantidad de divisores comunes de dos o más números es igual a la

cantidad de divisores del MCD de dichos números.

▪ El MCD está contenido en los números.

Mínimo común múltiplo (MCM)

Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM es aquel número que

cumple dos condiciones:

1. Es un múltiplo común del conjunto de dichos números.
2. Es el menor valor posible.

Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides

Consiste en aplicar reiteradas veces el siguiente teorema

Para hallar el MCD de dos números, dividimos el mayor de los números entre el

menor; luego el divisor pasa a ser el dividendo y el residuo pasa a ser divisor,

efectuamos este proceso hasta que la división resulta exacta; el último divisor,

será el MCD de dichos números.

El procedimiento se representa mediante el siguiente esquema:

Ejemplo

Determina el MCD (403;91) por el método del algoritmo de Euclides.

Resolución:

Tenemos

Ejercicios de aplicación

Ejercicio 1.

Calcula el MCM de los siguientes números: 18; 40; 56 y 30

Ejercicio 2.

Calcula el valor de “n” en los números: 𝐴 = 12. 34

𝑛

𝑛

. 45 , para que el

MCM tenga 150 divisores.

Ejercicio 3.

Calcula el MCD de los siguientes números: 425, 800 y 950

Ejercicio 4.

Si MCD (A; B) = 600, además 𝐴 = 20

𝑛

𝑛

, determina el valor de “n”.

Ejercicio 5.

¿Cuántos múltiplos comunes de tres cifras tienen los números 12; 20 y 8?

Ejercicio 6.

Calcula el valor de AB si: MCD (34A; 51B) = 85 y MCM (16A; 24B) = 192

Ejercicio 7.

Si el MCD (15A; 25B) = 560 y MCD (25A; 15B) = 480. Determina el MCD (A; B)

Ejercicio 8.

Determinar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y

que su suma es 288.