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Clasificación de los números reales
ARITMETICA
FORMULARIO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ALGEBRA
Propiedades de los números reales
Signos de agrupación
Leyes de los signos
Jerarquía de operaciones
Cerradura
Distributiva
Elemento Neutro
Inverso
Propiedad
Conmutativa
Asociativa
a + b ∈ 𝑅
Suma
a + b = b + a
a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = a
a + (-a) = 0
a (b+c) = ab + ac
a * b ∈ 𝑅
Multiplicación
a * b = b * a
a (b * c) = (a * b) c
a * 1 = a
a *
1
𝑎
= 0
Números Racionales
− − = (+)
− + = (−)
Fracciones Propias Fracciones Impropias Fracciones Mixtas
Suma – resta
Multiplicación
Radicación
Teoremas
Signos de agrupación
Potencia y raíz
Multiplicación y división
Suma y resta
Suma - resta
Multiplicación
División
Racionalización
Racionales
(Q)
Irracionales
(I)
Enteros (Z)
Naturales(N)
Decimales
Decimales
puros
Signos de operación
Suma
Resta
Multiplicación
División
Potencia
Raíz
𝑛
Signos de relación
Paréntesis
Corchetes
Llaves
Criterios de divisibilidad
Divisibilidad entre 2
Divisibilidad entre 3
Si termina en números pares
Si la suma de sus dígitos es múltiplo
de 3
Si sus últimos dos dígitos son 0 o
múltiplo de 4
Si su ultimo digito es 0 o 5
Si es divisible entre 2 y 3
Si su ultimo digito es 0
Divisibilidad entre 4
Divisibilidad entre 5
Divisibilidad entre 6
Divisibilidad entre 10
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
Con mismo denominador Con diferente denominador
División
÷
÷
Potenciación
𝑎
𝑛
= 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑦 𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒
−𝑛
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚+𝑛
𝑚
𝑛
𝑚−𝑛
𝑚
𝑚
𝑚
0
𝑚
𝑛
𝑚𝑛
𝑚
𝑚
𝑚
𝑚
𝑛
𝑎
𝑚
= 𝑎
𝑚
𝑛 ,
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒, 𝑚 𝑒𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦
𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒
𝑛
1
𝑛
1
𝑎
𝑛
1
𝑏
𝑛
1
𝑐
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
1
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑚
𝑚
1
𝑛 = (𝑎
1
𝑚 )
1
𝑛
𝑛𝑚
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑐
𝑛
𝑎
𝑚
=
𝑐
𝑛
𝑎
𝑚
∙
𝑛
𝑎
𝑛−𝑚
𝑛
𝑎
𝑛−𝑚
=
𝑐∙
𝑛
𝑎
𝑛−𝑚
𝑛
𝑎
𝑚+𝑛−𝑚
=
𝑐∙
𝑛
𝑎
𝑛−𝑚
𝑛
𝑎
𝑛
=
𝑐∙
𝑛
𝑎
𝑛−𝑚
𝑎
𝑛
= 𝑏 ÷ 𝑎 𝑥 10
𝑛
𝑎
𝑥
=
100
%
Enteros Negativos
Cero
exactos
Decimales
periódicos
mixtos
Operaciones
Teoremas
Operaciones con raíces
Regla de tres simple
Notación científica
Suma - resta
Multiplicación
División
Potencias - raíces
𝑛
𝑛
𝑛
Razones y proporciones
𝑛
𝑛
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚𝑥𝑎
Razón
Tanto por ciento
Proporción
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑏 =
𝑎𝑑
𝑏
Directa Inversa
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
𝑚
𝑛
𝑚+𝑛
𝑎 𝑥 10
𝑚
𝑏 𝑥 10
𝑚
= 𝑎 ÷ 𝑏 𝑥 10
𝑚−𝑛
𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛
𝑛
𝑚
𝑛
𝑛
𝑚
𝑛
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑎
𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 10
Reales
(R)
Expresión Algebraica
Clasificación
Signo
División Ecuaciones de Primer grado(lineal)
2
Exponente
Coeficiente Variable
Expresión
Algebraica
Según el
numero
de
términos
Según el
grado
Monomio
Binomio
Trinomio
Polinomio
Un termino
Absoluto
Relativo
Dos términos
Tres términos
Mas de un termino
El mayor de los grado
de sus términos
Mayor exponente
de una variable
Suma
Multiplicación
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑎 = 2𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Se efectúa la suma en forma vertical u horizontal y se reducen
términos semejantes
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑎
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐
Resta
(2𝑎 + 𝑏 + 𝑐) − (𝑎 + 𝑏) = 𝑎 + 𝑐
Identificar minuendo y sustraendo y realizar la reducción de
términos semejantes
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐
−𝑎 − 𝑏
𝑎 + 𝑐
Monomio por monomio
Polinomio por monomio
Polinomio por Polinomio
Monomio entre monomio
Polinomio entre monomio
Polinomio entre Polinomio
Productos Notables
𝑎
2
− 𝑏
2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
𝑎 ± 𝑏
2
= 𝑎
2
± 2 𝑎𝑏 + 𝑏
2
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
= 𝑎
2
2
2
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = (𝑎 )
2
− 𝑏
2
𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥
2
𝑎 − 𝑏
3
= 𝑎
3
− 3 𝑎
2
𝑏 + 3 𝑎𝑏
2
− 𝑏
3
𝑚𝑥 + 𝑎 𝑛𝑥 + 𝑏 = 𝑚𝑛𝑥
2
Cuadrado de un binomio
Cuadrado de un trinomio
Cubo de un binomio
Binomio de la forma
Binomio con termino común
𝑎 + 𝑏
3
= 𝑎
3
2
𝑏 + 3 𝑎𝑏
2
3
Factor común
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de exponentes impares
Teorema: Sea la ecuación lineal 𝑎𝑥 = 𝑏
Se multiplican los coeficientes y después las bases
Se multiplica cada uno de los términos del polinomio por el
monomio.
Se multiplica cada uno de los términos del primer polinomio
por cada uno de los términos del segundo polinomio. Se
reducen términos semejantes.
Se realiza la división de los coeficientes y después la de las
bases, aplicando leyes de los exponentes.
Se divide cada termino del polinomio entre el monomio
𝑎
2
± 2𝑎𝑏 + 𝑏
2
= 𝑎 ± 𝑏
2
𝑎
3
3
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎
2
− 𝑎𝑏 + 𝑏
2
)
Si 𝑎 ≠ 0 , 𝑥 =
𝑏
𝑎
es solución única
Si 𝑎 = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑏 ≠ 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑎𝑥 = 𝑏 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛
Si 𝑎 = 0 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑏 = 0 , 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑘 ∈ 𝑅 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑥 = 𝑏
Métodos de solución
Reducción (suma-resta)
Sustitución
Igualación
Cramer (Determinantes)
Trinomio de la forma
𝑎
3
− 𝑏
3
= (𝑎 − 𝑏)(𝑎
2
2
)
2
2
+3xy
- Multiplicar las ecuaciones dadas por algún numero.
- Sumar las ecuaciones equivalentes para eliminar una incógnita.
- Resolver la ecuación y sustituir su valor en la otra ecuación.
- Despejar una de las variables y sustituir en la ecuación restante.
- Se resuelve la ecuación de 1 er grado, se obtiene valor de la
incógnita.
- El valor de la incógnita se sustituye en el despeje.
- Se elige una variable y se despeja de ambas ecuaciones.
- Los despejes se igualan y se resuelve la ecuación.
- El valor que se obtiene se sustituye en cualquiera de los despejes.
𝑐 1
𝑏 1
𝑐
2
𝑏
2
𝑎 1
𝑏 1
𝑎
2
𝑏
2
𝑎
1
𝑐
1
𝑎 2
𝑐 2
𝑎
1
𝑏
1
𝑎 2
𝑏 2
1
1
2
2
Operaciones algebraicas
2
2
2
2
Sistemas de ecuaciones.
Grafico
Ecuaciones de segundo grado (cuadráticas)
Factorización
𝑥
2
- 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)
𝑎𝑐𝑥
2
- 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 𝑥 + 𝑏𝑑 = (𝑎𝑥 + 𝑏)(𝑐𝑥 + 𝑑)
𝑎
𝑛
𝑛
=
(𝑎 + 𝑏)(𝑎
𝑛− 1
− 𝑎
𝑛− 2
𝑏 + 𝑎
𝑛− 3
𝑏
2
− ⋯ − 𝑎𝑏
𝑛− 2
𝑛− 1
)
𝑎
𝑛
− 𝑏
𝑛
=
(𝑎 − 𝑏)(𝑎
𝑛− 1
𝑛− 2
𝑏 + 𝑎
𝑛− 3
𝑏
2
𝑛− 2
𝑛− 1
)
La ecuación de la forma 𝑎𝑥
2
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠ 0
Propiedades de las raíces o soluciones de una ecuación
Discriminante: 𝐼 = 𝑏
2
− 4𝑎𝑐
Si 𝐼 > 0 , las raíces son reales y diferentes
Si 𝐼 = 0 , entonces las raíces son reales e iguales, 𝑥 = −
𝑏
2𝑎
Si 𝐼 < 0 , entonces las raíces son complejas
Métodos de solución
Completando Trinomio Cuadrado Perfecto
Se suma en ambos miembros de la igualdad
𝑏
2
2
Formula General
𝑥 =
−𝑏 ± 𝑏
2
− 4𝑎𝑐
2𝑎
Se sustituyen valores de a, b y c en:
Factorización
Se factoriza la expresión y se iguala a cero cada factor
8 𝑥
3
2𝑥
3 − 1
2
8 𝑥
3
2
−2𝑥
8 𝑥
3
−2𝑥
6 𝑥
2
−2𝑥
2
2
2
Binomio conjugado
que satisfacen
ambas ecuaciones
FORMULARIO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
ALGEBRA
ALGEBRA
Circunferencia y circulo
Ángulos notables
Angulo Central Angulo Inscrito Angulo Seminscrito
Angulo Interior
Angulo Exterior
Angulo Circunscrito
Perímetros y superficies
Triángulos
Circunferencia y circulo
𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝛽 = 𝑐𝑜𝑠 𝛼 cos 𝛽 − 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛽
𝑠𝑒𝑛 𝛼 + 𝛽 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼 cos 𝛽 + 𝑠𝑒𝑛 𝛽 cos 𝛼
Identidades trigonométricas
Reciprocas
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
1
csc 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
1
sec 𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
1
ctg 𝜃
𝑐𝑡𝑔 𝜃 =
1
tan 𝜃
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
1
cos 𝜃
De cociente
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
= tan 𝛼
sen 𝛼
= ctg 𝛼
Pitagóricas
𝑠𝑒𝑛
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
= 1
𝑡𝑎𝑛
2
𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐
2
𝛼
1 + 𝑐𝑡𝑔
2
𝛼 = 𝑐𝑠𝑐
2
𝛼
Identidades trigonométricas de suma de ángulos
𝑡𝑎𝑛 𝛼 + 𝛽 =
tan 𝛼 + tan 𝛽
1 − tan 𝛼 tan 𝛽
Identidades trigonométricas de diferencia de ángulos
Ángulos dobles
𝑠𝑒𝑛 2 𝛼 = 2 (𝑠𝑒𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼 )
cos 2 𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 − 1
tan 2 𝛼 =
2 tan 𝛼
1 − 𝑡𝑎𝑛
2
𝛼
Triangulo Oblicuángulo
𝑎
𝑠𝑒𝑛 𝐴
=
𝑏
𝑠𝑒𝑛 𝐵
=
𝑐
𝑠𝑒𝑛 𝐶
Ley de los senos
Ley de los cosenos
𝑎
2
= 𝑏
2
2
− 2 𝑏𝑐 cos 𝐴
𝑏
2
= 𝑎
2
2
− 2 𝑎𝑐 cos 𝐵
𝑐
2
= 𝑎
2
2
− 2 𝑎𝑏 cos 𝐶
𝑃 = 3 𝑏
𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝑃 = 2 𝑎 + 𝑏
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝐴 =
𝑏ℎ
2
𝐴 = 𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐)
𝑆 =
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2
𝑃 = 2 𝜋𝑟 = 𝐷𝜋
𝐴 = 𝜋𝑟
2
𝑃 = 𝑎 + 2𝑟
𝐴 =
𝜋𝑟
2
𝑛
360°
=
𝑎𝑟
2
𝑃 = 𝑎 + 𝑚
𝐴 =
𝜋𝑟
2
𝑛
360°
−
𝑚ℎ
2
< 𝐴𝑂𝐵 =
𝐴𝐵
< 𝐴𝐵𝐶 =
𝐴𝐶
2
< 𝐴𝐶𝐵 =
𝐴𝐶
2
< 𝐴𝐵𝐶 =
𝐴𝐶+
𝐷𝐸
2
< 𝐴𝐵𝐶 =
𝐷𝐸−
𝐴𝐶
2
< 𝐴𝐵𝐶 =
𝐴𝐸𝐶−
𝐴𝐺𝐶
2
Área (fórmula de Herón):
Cuadriláteros
𝑃 = 4𝑎
𝐴 = 𝑎
2
P=2(a+b)
A= ab
𝑃 = 2 (𝑏 + 𝑐 )
𝐴 = ℎ𝑐
𝑃 = 4 𝑎
𝐴 =
𝐷𝑑
2
𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
𝐴 =
𝑎 + 𝑏 ℎ
2
𝑃 = 𝑛𝑏
𝐴 =
𝑃𝐶
2
TRIGONOMETRIA
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ
Funciones trigonométricas
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
𝑐𝑜𝑡 𝜃 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
ℎ
𝑐𝑎
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
ℎ
𝑐𝑜
Cofunciones
𝑠𝑒𝑛 𝛼 = cos 90° − 𝛼 = cos 𝛽
𝑐𝑜𝑠 𝛼 = sen 90° − 𝛼 = sen 𝛽
𝑡𝑎𝑛 𝛼 = ctg 90° − 𝛼 = ctg 𝛽
𝑐𝑡𝑔 𝛼 = tan 90° − 𝛼 = tan 𝛽
𝑠𝑒𝑐 𝛼 = csc 90° − 𝛼 = csc 𝛽
𝑐𝑠𝑐 𝛼 = sec 90° − 𝛼 = sec 𝛽
Seno
I cuadrante II cuadrante III cuadrante IV cuadrante
Coseno
Tangente
Cotangente
Secante
Cosecante
Triangulo Rectángulo
Grados Rad Sen
Cos Tan Csc Sec
Cot
0 °
30 °
45 °
60 °
90 °
0
𝜋
6
𝜋
4
𝜋
3
𝜋
2
0
1
2
1
3
2
0
𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
3
3
2
2 3
3
3
2
2
2
2
1 2 2
1
3
2
1
2
3
2 3
3
2
3
3
1 0
𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 1
0
Distancia entre dos puntos
GEOMETRIA ANALITICA BIDIMENSIONAL
LINEA RECTA
División de un segmento en una razón dada
Punto de división dados los extremos y la razón
Punto medio de un segmento de recta
Área de un polígono
Pendiente de una recta que pasa por dos puntos
PENDIENTE DE UNA RECTA
2
1
2
1
Condición de paralelismo
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
Condición de perpendicularidad
𝟏
𝟐
Angulo entre rectas
FAMILIA DE RECTAS
Ecuación general de la recta
Ecuación punto-pendiente
Ecuación punto-punto
Ecuación pendiente-ordenada al origen (forma ordinaria o
reducida
Ecuación en forma simétrica
Distancia de un punto a una recta
Rectas paralelas
Con b como parámetro
Rectas concurrentes
Con m como parámetro
Definición y elementos
Ecuación en su forma ordinaria
Ecuación en su forma general
Ecuación en su forma canónica
Análisis de la ecuación de una circunferencia
Si r es positivo la circunferencia es real
Si r es negativo la circunferencia es imaginaria
Si r es igual a cero entonces representa un punto
FAMILIA O HAZ DE CIRCUNFERENCIAS
Con p como parámetro
COORDENADAS POLARES
LUGAR GEOMETRICO
Intersecciones con los ejes ……...
Simetría con los ejes y el origen.
Extensión de la curva………………
Asíntotas
Grafica
Con eje “x”, y=0 eje “y”, x=
f(x,-y), f(-x,y), f(-x,-y)
Valores reales “x” e “y”
RECTAS NOTABLES EN EL TRIANGULO
CIRCUNFERENCIA
Rectas paralelas Rectas concurrentes
Sistema Polar
Relación entre las coordenadas polares y rectangulares
Por el Teorema de Pitágoras
En el triangulo rectángulo OAP
FORMULARIO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
GEOMETRIA ANALITICA
RELACIONES Y FUNCIONES
Relación
Trigonométricas
Inversas trigonométricas
Exponenciales
Logarítmicas
DERIVADA
Función
Clasificación
Trascendentes
Algebraicas
Función
LIMITES
Teoremas
lim
x→a
lim
x→a
𝑐 ∙ 𝑓(𝑥 = 𝑐 ∙ lim
𝑥→𝑎
lim
x→a
𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑎
lim
x→a
lim
x→a
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥 = lim
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 ∙ lim
𝑥→𝑎
lim
𝑥→𝑎
𝑛
= lim
𝑥→𝑎
𝑛
Función composición (función de funciones)
Derivada por definición
lim
ℎ→ 0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥 )
ℎ
Notación:
Una función se denota o escribe como 𝒚=𝒇(𝒙), donde:
x: variable independiente
y: variable dependiente
f: función, regla de asignación o correspondencia
Dominio, contra dominio y rango de una función
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b, c ∈ 𝑅
Si a > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 > 𝑐
Si a > 𝑏, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 𝑦
𝑎
𝑐
>
𝑏
𝑐
Tabla de intervalos
Operaciones con funciones
CONTINUIDAD
Una función 𝑓 𝑥 es continua en el punto 𝑥 0
∈ 𝑅 si
cumple con las siguientes condiciones:
Limites Indeterminados:
Son aquellos cuyo resultado es de la forma
𝟎
𝟎
por
consiguiente es necesario eliminar la indeterminación.
Limites cuando x tiende al infinito
Casos de factorización (para recordar)
Dada una función:, se dice :
𝐴 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 (𝐷 ൯
𝑓
𝑦 𝐵 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 (𝐶 ൯
𝑓
𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 (𝑅 𝑓)
𝑆𝑖 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 < 0 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 𝑦
𝑎
𝑐
<
𝑏
𝑐
Constante
Lineal
Cuadrática
Identidad
Racional
Raíz Cuadrada
Valor Absoluto
Mayor Entero
Característica
lim
x→a
) 𝑓(𝑥
𝑔(𝑥 )
=
lim
𝑥→𝑎
) 𝑓(𝑥
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
𝑠𝑖 lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0
𝑛
𝑛− 1
𝑛− 1
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
Sea 𝑓 𝑥 una función , se define a su 𝑓` 𝑥 :
Interpretación geométrica de la derivada
FORMULARIO
UNIDAD DE APRENDIZAJE
CALCULO DIFERENCIAL
Derivadas de funciones trascendentes
Trigonométricas
tan 𝑣 = 𝑠𝑒𝑐
2
Inversas Trigonométricas
Logarítmicas
Exponenciales
Recta Tangente y normal a la curva
Recta Tangente
Derivadas de funciones algebraicas
Regla de la cadena
Angulo entre curvas
Recta normal
APLICACIONES
Máximos y mínimos de una función
Criterio de la 1era derivada
Criterio de la 2da derivada
Intervalos de crecimiento
Intervalos de concavidad:
a) Si la derivada cambia de + a – es un máximo local
b) Si la derivada cambia de - a + es un mínimo local
c) Si la derivada no cambia de signo no existe
máximo ni mínimo
a) Si la 2da derivada es mayor que 0 es un mínimo
b) Si la 2da derivada es menor que 0 es un máximo
𝐶𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑠𝑖 𝑓´(𝑥) > 0
𝑛
𝑛− 1
𝑛
𝑛− 1
𝑛
𝑛
𝑛− 1
2
2
sen 𝑣 = cos 𝑣 ∙
cos(𝑣) = −sen 𝑣 ∙
cot 𝑣 = −𝑐𝑠𝑐
2
sec 𝑣 = sec 𝑣 ∙ tan 𝑣 ∙
csc 𝑣 = −csc 𝑣 ∙ cot(𝑣) ∙
2
2
2
𝑣
𝑣
𝑣
𝑣
∙ ln 𝑎
𝑣
𝑣− 1
𝑣
𝑏
𝑏
2
2
2
a)
b)
𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 < 0 ∴ 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎
a)
b) 𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 > 0 ∴ 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
c) 𝑆𝑖 𝑓´´ 𝑥 = 0 ∴ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖𝑜𝑛
𝐷𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑎, 𝑏 𝑠𝑖 𝑓´(𝑥) < 0
Identidades trigonométricas (para recordar)
Reciprocas
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
1
csc 𝜃
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
1
sec 𝜃
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
1
ctg 𝜃
𝑐𝑡𝑔 𝜃 =
1
tan 𝜃
𝑠𝑒𝑐 𝜃 =
1
cos 𝜃
De cociente
𝑠𝑒𝑛 𝛼
cos 𝛼
= tan 𝛼
Pitagóricas
𝑠𝑒𝑛
2
𝛼 + 𝑐𝑜𝑠
2
= 1
𝑡𝑎𝑛
2
𝛼 + 1 = 𝑠𝑒𝑐
2
𝛼
1 + 𝑐𝑡𝑔
2
𝛼 = 𝑐𝑠𝑐
2
𝛼
Ángulos dobles
𝑠𝑒𝑛 2 𝛼 = 2 (𝑠𝑒𝑛𝛼)(𝑐𝑜𝑠𝛼 )
cos 2 𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠
2
𝛼 − 1
tan 2 𝛼 =
2 tan 𝛼
1 − 𝑡𝑎𝑛
2
𝛼
Donde:
𝑢 es una función fácil de derivar
𝑑𝑣 es una función fácil de integrar
𝑣𝑑𝑢 es mas sencilla que la integral inicial
Integración por partes
Integración por fracciones parciales
Integrales de la forma:
Donde 𝑃(𝑥) y 𝑄 𝑥 son polinomios
tales que el grado 𝑃(𝑥) es menor
que el grado de 𝑄 𝑥.
Caso I.
El denominador tiene solo factores de primer grado
que no se repiten.
A cada factor de la forma: 𝒂𝒙 + 𝒃, le corresponde una
fracción de la forma
𝐴
𝑧𝑥+𝑏
. Donde 𝐴 es una constante
por determinar.
Caso II.
Los factores del denominador son todos de 1 er grado y
algunos se repiten. Si se tiene un factor de la forma
𝑛
, se desarrolla una suma como sigue:
𝑨
(𝒂𝒙+𝒃)
𝒏
𝑩
(𝒂𝒙+𝒃)
𝒏−𝟏
𝑪
(𝒂𝒙+𝒃)
𝒏−𝟐
𝒁
(𝒂𝒙+𝒃)
𝒏
Donde 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝑍 son constantes por determinar.
Caso III
El denominador contiene factores de segundo grado y
ninguno de ellos se repite. A todo factor de la forma
𝑎𝑥
2
- 𝑏𝑥 + 𝑐, le corresponde una fracción de la forma:
𝟐
Donde 𝐴 y 𝐵son constantes por determinar.
Caso IV
Los factores del denominador son todos de segundo
grado y algunos se repiten. Si existe algún factor de
segundo grado de la forma (𝒂𝒙
𝟐
𝒏
, se
desarrolla una suma de 𝑛 fracciones parciales, de la
forma:
𝑨𝒙+𝑩
𝒂𝒙
𝟐
+𝒃𝒙+𝒄
+
𝑪𝒙+𝑫
𝒂𝒙
𝟐
+𝒃𝒙+𝒄
𝟐
+…+
𝑽𝒙+𝑾
𝒂𝒙
𝟐
+𝒃𝒙+𝒄
𝒏−𝟏
+
𝒀𝒙+𝒁
𝒂𝒙
𝟐
+𝒃𝒙+𝒄
𝒏
Constante de integración
Dada la integral indefinida
𝒇´ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑭 𝒙 + 𝑪 donde 𝐶 recibe el nombre
de constante de integración.
Integral definida
Representa el área que forma la función 𝑓 𝑥 con el
eje X en el intervalo 𝑎, 𝑏
Calculo de una integral definida
- Se integra la diferencial de la función
- Se sustituye la variable de la integral que se
obtuvo y los resultados se restan para obtener
el valor de la integral definida.
Longitud de arco
Sea la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 continua en el intervalo
𝑎, 𝑏 , entonces la longitud de arco se define como:
𝑎
𝑏
2
Área bajo la curva
El área limitada por la curva 𝑦 = 𝑓 𝑥 continua en
𝑎, 𝑏 , el eje 𝑋 y las rectas 𝑥 = 𝑎, 𝑥 = 𝑏, es:
El área limitada por la curva 𝑥 = 𝑓 𝑦 continua en
𝑐, 𝑑 , el eje 𝑌 y las rectas 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑, es:
Área entre curvas planas
Á𝑟𝑒𝑎 = න
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
Á𝑟𝑒𝑎 = න
𝑐
𝑑
𝑎
𝑏
El área comprendida entre las curvas 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 ,
tomando rectángulos de base 𝑑𝑥, está definida
como:
𝑎
𝑏
Volumen de solidos de revolución
Método de discos
Se utiliza cuando el eje de rotación forma parte del
contorno del área plana.
Método de arandelas
Método de capas
Propiedades de la integral definida
𝑎
𝑏
𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
donde 𝑐 es una
constante
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑐
𝑐
𝑏
Con
𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Se utiliza cuando el eje de rotación forma parte del
contorno del área plana.
El volumen de la capa se expresa en función de la
circunferencia media, la altura y el espesor de la capa
cilíndrica, generada al girar el rectángulo.
𝑎
𝑏
2
𝑎
𝑏
2
𝑎
𝑏
2
2
