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TRANSFORMACIONES LINEALES
Una transformación lineal T U : → V es una función
o aplicación, con la particularidad de que su dominio y
codominio son espacios vectoriales, y debe satisfacer
los siguientes axiomas:
i) Linealidad:
T u + v = T u + T v , u v , U
ii)Homogeneidad:
T ku = kT u , u U , k
La transformación lineal también es llamada aplicación
lineal u homomorfismo del espacio vectorial.
En el caso que U = V , la transformación L U : → U
es denominada operador lineal sobre U.
MATRIZ ASOCIADA A UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL
Una transformación lineal T U : → V con
dim U = n y
dim V = m , podemos representarla
en su forma matricial como
T u = A u , donde A es
la matriz asociada a la transformación lineal de
orden m n , y u es una matriz de orden n 1.
La matriz A también es llamada matriz estándar.
NÚCLEO O KERNEL DE UNA
TRANSFORMACIÓN LINEAL
N T = ker T = u U / T u = , V
La dimensión del subespacio núcleo es denominado
nulidad.
IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN
LINEAL
Im T = v V / T u = v , v V
La dimensión del subespacio imagen es llamado rango
o recorrido.
Si una transformación lineal T es expresada en forma
matricial, es decir
T u = A u , entonces la
dimensión de la imagen es el rango de la matriz A
transpuesta.
( ( )) ( )
dim Im
T
T = A
TEOREMA DE LA DIMENSIÓN
Para una transformación lineal T U : → V se cumple:
( )
( )
dim U = dim N T +dim I T
o escrito de otra forma: ( )
dim U = Nulidad +Rango
VECTOR Y MATRIZ DE COORDENADAS
Para una base
1 2 3
n
B = u u u u y un vector x
que pertenecen al mismo espacio vectorial se cumple:
1 1 2 2 3 3
n n
x = k u + k u + k u + + k u
entonces el vector de coordenadas de x con respecto
a la base B está dado por:
1 2 3
n
B
x = k k k k
y la matriz de coordenadas de x con respecto a la
base B está definida como:
1
2
3
B
n
k
k
x k
k
MATRICES DE TRANSICIÓN
Sean
1 1 2 3
n
B = u u u u y
2 1 2 3
n
B = v v v v
bases pertenecientes a un mismo espacio vectorial.
Escribimos cada vector de la base 1
B como
combinación lineal de la base 2
B :
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n n
u v v v v
u v v v v
u v v v v
Hallamos la matriz de coordenadas de cada vector de
la base 1
B con respecto a la base 2
B :
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 2
n
B B B
n n n
u u u
Entonces, la matriz de transición de la base 1
B con
respecto a la base 2
B es aquella matriz formada por
las matrices de coordenadas de cada vector de la base
1
B
con respecto a la base 2
B
:
2
1 2 2 2
1 2
u
B
n B
B B B
n n
Mat I u u
Escrito de otra forma:
2
1
1 1 1
B 2 2 2
B
n n n n n
Mat I
( )
2
1
B
B
Mat I : matriz de transición de la base 1
B con
respecto a la base 2
B.
De manera similar definimos la matriz de transición
de la base 2
B con respecto a la base 1
B :
1
2
1 1 1
1 2
B
n B
B B B
n n
Mat I v v v
( )
2
1
B
B
Mat I : matriz de transición de la base 2
B con
respecto a la base 1
B.
Observación:
2 1
1 2
1
B B
B B
Mat I Mat I
−
,
1 2
2 1
1
B B
B B
Mat I Mat I
−
REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE
TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea la transformación lineal T U : → V y las bases
1 2 3
n
B = u u u u U y
1 2 3
, , ,...,
m
C = v v v v V
Hallamos las matrices de coordenadas de las imágenes
de cada vector de la base B con respecto a la base C :
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
m m
m m
n m m
T u v v v v
T u v v v v
T u v v v v
Luego:
( ) ( ) ( )
1 1 1
2 2 2
1 2
, , ... ,
n
C C C
m m m
T u T u T u
= = =
Definimos a la representación matricial de la base B
con respecto a la base C , como aquella matriz cuyas
columnas son las matrices de coordenadas de las
imágenes de cada vector de la base B con respecto a la
base C:
( ) ( ) ( ) 1 2
C
T u
C
B n
C C m n
Mat T T u T u
=
Es decir:
1 1 1
2 2 2
C
B
m m m m n
Mat T
Donde:
dim
dim
m V
n U
Nota:
Para hallar la representación matricial de una
transformación lineal del tipo T U : → U (operador
lineal), solo se requiere una base
1 2 3
n
B = u u u u U
Entonces:
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n n
T u u u u u
T u u u u u
T u u u u u
De donde se obtiene:
T U : → V en forma matricial
T x = A x
L V : → W en forma matricial
T y = B y
Donde A y B son matrices estándar.
Definimos la composición L T U : → W como
L T x = B A x
INVERSA DE TRANSFORMACIONES
LINEALES
Sea T U : → V un isomorfismo, en forma matricial
T x = A x
Donde A es la matriz estándar.
Definimos
1
T : V U
−
→ como
1 1
T x A x
− −
=
CAMBIO DE BASE
Sea una transformación lineal T U : → V.
De la transformación T se conoce que la
representación matricial respecto a las bases
1 1 2 3
n
B = u u u u U y
1 1 2 3
n
C = v v v v V es
1
1
C
B
Mat T.
También se conoce el par de bases
2 1 2 3
n
B u u u u U
= y
2 1 2 3
n
C v v v v V
Con las bases 1
B y 2
B calculamos la matriz de
transición de
1
B respecto a
2
B :
2
1
B
B
Mat I
Con las bases
1
C y
2
C calculamos la matriz de
transición de 1
C respecto a 2
C :
2
1
C
C
Mat I
Entonces podemos hallar la matriz de transformación
respecto de las bases 2
B y 2
C con la expresión:
2 2 1 1
2 1 1 2
C C C B
B C B B
Mat T = Mat I Mat T Mat I
Si
2 2
2 1
1 1
1 2
C C
B C
C B
B B
B Mat T Q Mat I
A Mat T P Mat I
tenemos la ecuación de semejanza de matrices:
B = Q A P
Cambio de base para un endomorfismo
Para un endomorfismo T U : → U se conoce la base
1 1 2 3
n
B = u u u u U y la representación
matricial a esta base, es decir
1
1
B
B
Mat T.
También se conoce la base
2 1 2 3
n
B u u u u U
= con la cual
calcularemos las matrices de transición
2
1
B
B
Mat I y
1
2
B
B
Mat I
Entonces calculamos la matriz de transformación
respecto a la base 2
B con la expresión:
2 2 1 1
2 1 1 2
B B B B
B B B B
Mat T = Mat I Mat T Mat I
Si
2
2
B
B
B = Mat T ,
1
2
B
B
P = Mat I entonces
2
1
1 B
B
P Mat I
−
1
1
B
B
A = Mat T , luego tenemos
la ecuación de semejanza de matrices:
1
B P A P
−
AUTOVALORES Y AUTO VECTORES
n n
T u A u
Autovalores: A − I = 0
Polinomio característico: ( )
P = A − I
Espectro: conjunto de autovalores
1 2 3
n
1 2 3 1 2 3
Traza A = + + A =
Autovectores: i
A − I X =
Matriz de paso:
1
1 2 3 P x x x P?
−
= =
Matriz diagonal:
1
D P A P
−
Matriz función:
1
f A P f D P
−
Matriz exponencial
1 t Dt
e P e P
−
TEOREMA DE CAYLEY HAMILTON
2
0 1 2
n
n
P = a + a + a + + a
2
0 1 2
...
n
n
P = a I + a A + a A + + a A , Multiplicado por la
matriz pedida.
