Formulario de Trigonometría: Conceptos, Identidades y Aplicaciones, Apuntes de Trigonometría

¡Descarga Formulario de Trigonometría: Conceptos, Identidades y Aplicaciones y más Apuntes en PDF de Trigonometría solo en Docsity!

FORMULARIO DEFORMULARIO DE

TRIGONOMÉTRIATRIGONOMÉTRIA

MÁQUINAMÁQUINA

UNI LIMA

SAN MARCOS

CATÓLICA

UNSA

UNA PUNO

UNAJ

UNI LIMA

SAN MARCOS

CATÓLICA

UNSA

UNA PUNO

UNAJ

SERAPIO CALCINA CUEVAS

a

Makina^ b

MÁQUINA

SISTEMAS DE MEDICIÓN ÁNGULAR

L^ L 1

1

L 2

q

a

q

Número

entero

de vueltas

• a

q-a = 360°k ; Número

enterode vueltas

1442443 1442443

Sentido horario

L 2

Sentido de rotación del rayo (Convención)

Sentido antihorario

A todo ángulo trigonométrico le corresponde una

medida la cual puede expresarse por cualquier

numero REAL.

• ¥ < medida del ángulo trigonométrico < +¥

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

DE LOS ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO

Dos o mas ángulos trigonométricos son

COTERMINALES sí:

Tienen el mismo lado inicial y lado Final

Sin tener en cuenta su sentido y medida

SISTEMAS DE MEDICIÓN ÁNGULAR

SISTEMA

SEXAGESIMAL

(Inglés)

SISTEMA

CENTESIMAL

(francés )

SISTEMA

RADIAL

(internacional)

I

I II

1Vuelta 360

1 60 ; Minutos

1 60 ; Segundos

= °

° =

=

g

g m

m s

1Vuelta 400

1 100 ;Minutos

1 100 ;Segundos

=

=

=

I II

g

1Vuelta 2 ;valores que

Asume

22 355 10 7 113

Tambien :1rad 57 17 45

Entonces :1rad 1 1

= p

p

p » p » p »

» °

ñ ° ñ

I II I II

El ángulo en el sistema sexage sin al con grados

min utos y segundos se escribe como :

a b c° = a ° + b +c

g m s g m s Tambien : a b c = a + b +c

Para la conversión de grados a minutos y

segundos usamos lo siguiente.

Grados ×60 Minutos ×60 Segundos

60

60

3600

x 3600

Makina

Grados ×100 Minutos ×100 Segundos

100 100

10000

x 10000

Makina

RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS

S = 9k C = 10k

πK

R =

En una vuelta: También

De esta última ecuación garantizamos que:

De aquí ...!

o g , m ,, s

TRIGONOMETRÍA^ Mákina

(^01) Makina ...

S C 20R = = = K 9 10 p

S C R

Serapio C. Calcina Cuevas

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

1

45º

45º

2

1

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL

ÁNGULO AGUDO

A (^) C

B

b

c

a

a

b 1

30º

60º 2

3

3

37º

53º

4

5

2 2 2 = a + b

Por el Teorema de

Pitagoras

c

Seno

Coseno

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

C.O. sen = H

a

Nomenclatura Definición

C.A. cos = H

a

C.O. tan = C.A.

a

C.A. cot = C.O.

a

H sec = C.A.

a

H csc = C.O.

a

Nombre

sen

cos

tan

cot

sec

csc

DEFINICIÓN: Dato un triángulo rectángulo se

establece las siguientes relaciones. Respecto al

ángulo a.

c: Hipotenusa

a: Cateto Opuesto

b: cateto adyacente

seno coseno

tangente cotangente

secante cosecante

RT CO - RT

Si: a y b son ángulos complementarios

se cumple: RT(a) = CO - RT (b)

a + b = 90°

* sen10º = cos80º * sec5x = csc4x

Þ x=10º

seno cosecante

coseno secante

tangente cotangente

RT RT RECÍPROCAS

senacsca = 1

cosaseca =

tanacota =

*sen10ºcsc10º=

cos5x sec50 = 1

1

1

Þx=10º Þ x=20º

*tan4x cot80 = 1 20º

70º 4

11

137

5 2

8º

82º

1

7

16º

74º 25

24

7

36º

54º 4

5 + 1

10 - 2 5

5 - 1

18º

72º 4

10 + 2 5

35º

55º

7

10

149

40º

50º

5

6

61

23º

67º

12

5

13

14º

76º

1

4

17

LOS TRIÁNGULAS NOTABLES MAS

CONOCIDOS SON

6 - 2

6 + 2

15

75 4

o

o

10

37 /

1

3

o

5

53 /

1k

2k

o

21°

69°

117K

125K 44K

5K

3K

34 K

31°

59°

32°

58°

527K

625K 336K

3116K

237K

5°

85° 3125K

Mákina

03

k

Serapio C. Calcina Cuevas

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

MÉTODO PRACTICO PARA ENCONTRAR

EL ÁNGULO MITAD DE UN ÁNGULO.

Formamos un triangulo isósceles y así podemos

encontrar el ángulo mitad de cualquier ángulo

A

a

b

b

c

A/

A/

B

C

A a tan =

2 b + c

Þ

q

M

Mcotq

Mcsc

q

q

Msenq

Mcosq

M

IMPORTANTE: Sí conocemos la

Hipotenusa entonces los catetos son:

q

M

Msec Mtanq

q

Ahora si conoces

el C.A.

RAZONES TRIGONOMÉTRICOS DE

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL

ÁNGULOS CUADRANTALES

ÁNGULOS COTERMINALES:

Dos ángulos son coterminales si la diferencia es

igual a un número entero de vueltas.

q-a=360°n ó q-a= 2 pn.rad ; donde n e Z

SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

EN CADA CUADRANTE

Ahora si conoces

el C.O.

Sí dos ángulos son complementarios

entonces se cumple que:

tan(2x)=cot70° ; x=10°

sen40°=cos50° ; tan20°=cot70°

sec15°=csc75° ; cos30°=sen60°

tan10°=cot80° ; tan10°.tan80°=

tan40°=cot50° ; tan40°.tan50°=

RAZÓN TRIGO. CORAZÓN TRIGO.

sen A cosB ; A + B = 90°

cos x sen y ; x + y = 90°

tan M cot S ; M + S = 90°

cot w tan y ; w + y = 90°

sec csc ; + = 90°

csc sec ; + = 90°

= Þ

= Þ

= Þ

= Þ

= Þ

= Þ

q f q f

a b a b

q a

q a

q a

sen = sen

tan = tan

sec = sec

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

x

x

y y

m

r m

q a q

a r

a = r180°-q a =36r 0°-q

0°

0°

90°

90°

180°

180°

II C I C

III C (^) IV C

270°

270°

360°

360°

sen

csc

ü

ý

þ

Positivas

tan

cot

ü

ý

þ

Positivas

cos

sec

ü

ý

þ

Positivas

todos

son

ü

ý

þ

Positivas

Estos ángulos

son

sen(2x+20°)=cos(x+10°) ; 3x+30°=90° ;

x= 20° Rpta

Mákina

04

q

a

Siendo q y a ángulos

coterminales y en posi-

ción Normal, Entonces

se cumple que:

Serapio C. Calcina Cuevas

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

1er CASO: Para ángulos menores de 360º

RT

180º

360º

q RT(q)

RT

90º

270º

q CO-RT(q)

“ q ” S e a s u m e q u e e s a g u d o

• Indica el signo de la reducción y depende del

ángulo y la razón trigonométrica a reducir.

NOTA: Cuando el ángulo esta sobre el eje “x” su

equivalente es la misma Razón Trigonométrica

NOTA: Cuando el ángulo esta sobre el eje “y” su

equivalente es su Co-Razón Trigonométrico

2do CASO: Para ángulos negativos

sen(-q) = - senq

cos(-q) = cosq

tan(-q) = - tanq

cot(-q) = - cotq

sec(-q) = secq

csc(-q) = - cscq

si: a+b = 180º

si: a+b = 90º

(ángulos suplementarios)

( Complementarios)

sen a^ = senb

cos a^ = - cosb

tan a^ = - tanb

cot a^ = - cotb

sec a^ = - secb

csc a^ = cscb

sen a = cosb

cos a^ = senb

tan a^ = cot b

cot a^ = tanb

sec a^ = csc b

csc a^ = secb

III C II C

III C IVC

Ejemplos :

sen 3 sen ; cos 7 cos

tan 5 tan ; csc 8 csc

æ ö æ ö ç (^) p + q÷ = - q ç (^) p - q ÷= - q ç ÷ ç ÷ è ø è ø

æ ö (^) æ ö ç (^) p + q ÷= q ç p - q ÷= - q ç ÷ ç^ ÷ è ø è^ ø

123 123

123 123

Ejemplos :

sen120 sen

cos150 cos 30

tan135 tan 45

csc140 csc 40

sec110 sec 70

° = °

° = - °

° = - °

° = °

° = - °

Ejemplos :

sen60 cos 30

cos 20 sen

tan 35 co t 55

csc 50 sec 40

sec10 c sc 80

° = °

° = °

° = °

° = °

° = °

{

IVC^ II C

III C IVC

Ejemplos :

3 sen cos ; cos sen 2 2

7 tan 270 cot ; csc sec 2

æ ö æ^ ö ç (^) p ÷ ç (^) p ÷

ç + q^ ÷ = -^ q^ ç + q^ ÷= -^ q

ç ÷ ç ÷ è ø è ø

æ ö æ ö (^) ç ÷ p ç ° - q ÷= q (^) ç + q (^) ÷= - q ç ÷ è ø ç^ ÷ è ø

123

14243 123

y=sen

x=cos

IMPAR - q PAR

• q - q

• q + q

• q

IIC IC

IIIC IVC

• q

• q

( 4n 1 )

2

p

(4n 1 )

2

p

(2n + 1)p^ 2np

ÁNGULOS CUADRANTALES

EN FORMA GENERAL

Mákina

Máquina

Serapio C. Calcina Cuevas 06

( )

" x " n

n

" y " 2n 1 y " x " " y "

= p

p p

= + Ù =

En forma general los ejes son:

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

Puntos Notables en la Circunferencia

Trigonométrica

a P

R

E

U

r

M(x;y)

C.T.

x

y

C.T.

x=cos

x

y=sen

y

C.T.

C.T.

x

x

y

y

P(1;0) Origen de Arcos

R(0;1) Origen del Complemento

E(-1;0) Origen del Suplemento

U(0;-1) No tiene un nombre especial

2 2 x + y = 1

Su Ecuación

Mákina

VARIACIÓN DE LA LINEA SENO

VARIACIÓN DE LA LINEA COSENO

07

1

0

sena

cosa

"a Î ¡Þ - 1 £ sen a £ 1

"a Î ¡Þ - 1 £ cos a £ 1

UN RADIAN ES EQUIVALENTE A: 1rad=57°17 45

sen

sen

sen

sen

sen

sen cos3 (^) cos

cos

cos cos

cos

1

2

3

4

5

6

sen2 sen1 sen3 sen6 sen4 sen

cos 6 cos1 cos 5 cos 2 cos 4 cos 3

ñ ñ ñ ñ ñ

ñ ñ ñ ñ ñ

tan1 tan 4 tan 3 tan 6 tan 2 tan 5

cot 4 cot1 cot 5 cot 2 cot 6 cot 3

ñ ñ ñ ñ ñ

ñ ñ ñ ñ ñ

Ordenando de mayor a menor

Recta tangente

Recta cotangente

2 1

tan

tan

tan

tan

cot2 cot5 cot1 cot

RECTA TANGENTE Y COTANGENTE

3

L:cotx

L:tanx

-1 (^1)

Serapio C. Calcina Cuevas

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICOS

IDENTIDADES PITAGÓRICOS

IDENTIDADES POR COCIENTE

IDENTIDADES RECIPROCAS

2 2 sen x + cos x = 1; x

2 2 π 1+ tan x = sec x ; x - (2n +1) 2

2 2 1+ cot x = csc x ; x - nπ

2 2 TAMBIEN : cos x = 1 - sen x

cosx senx +

senx - 1 cosx

" Î

" Î

" Î

Þ

¡

¡

¡

senx π tanx = ; (^) x - (2n +1) cosx (^2)

cosx cotx = ; x - nπ senx

" Î

" Î

¡

¡

senx.cscx = 1; x - nπ

π cosx secx = 1;. x - (2n +1) 2

nπ tanx.cotx = 1; x - 2

" Î

" Î

" Î

¡

¡

¡

IDENTIDADES AUXILIARES

4 4 2 2 sen x + cos x = 1- 2sen x.cos x

4 4 3 + cos4x sen x + cos x = 4

6 6 2 2 sen x + cos x = 1- 3sen x.cos x

6 6 5 + 3cos4x sen x + cos x = 8

8 8 2 2 4 4 sen x + cos x = 1 - 4sen xcos x + 2sen xcos x

2 2 2 2 sec x + csc x = sec x.csc x

tanx + cotx^ = secx.cscx

2 (1+ senx.cosx) = 2(1+ senx)(1+ cosx)

4 4 2 2 Sec x + Tan x = 1+ 2Sec xTan x

4 4 2 2 Csc x + Cot x = 1+ 2Csc xCot x

tgx + ctgx = secx.cscx

2 2 2 2 Sec x + Csc x = Sec x .Csc x

ÁNGULOS COMPUESTOS

IMPORTANTE

Exsec a = sec a- 1

C.T.

1

a

a

sena

Cova=1-sena

cosa

Versa=1-cosa

x

y

sen(x ± y) = senx.cosy ± cosx.seny

seco cosido

cos(x ± y) = cosx.cosy senx.seny

coscos sensen

tanx + tany tan(x + y) = 1 - tanx.tany

tanx - tany tan(x - y) = 1+ tanx.tany

m

2 2 sen(x + y).sen(x - y) = sen x - sen y

2 2 cos(x + y).cos(x - y) = cos x - sen y

sen(x y) tanx tany = cosx.cosy

sen(y x) cotx coty = senx.seny

tan(x + y) = tanx + tany + tanx.tany.tan(x + y)

tan(x - y) = tanx - tany - tanx.tany.tan(x - y)

± ±

± ±

sen( ) tan tan cos( ) 1 tan tan ; sen( ) tan tan cos( ) 1 tan tan

2 2 asen ± bcos = a + b sen( ± )

b para encontrar el valor de se hace; tg = a

2 2 acos ± bsen = a + b cos( )

para encontrar el valor de se

a + q a + q a + q - a q = = a - q a - q a - q + a q

q q q a

a a

q q q a

a

m

b hace; tg = a

a

2 2 minimo valor = - a + b

2 2 maxmimo valor = a + b

Mákina

Serapio C. Calcina Cuevas 09

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

Sigue tus ciegas pasiones... la makina

Mákina

a 2 a

1

O B

x

cos

a

sen

a

a

a

A^ F

D E

2 2

2

2

2

4 4

cos2x = cos x - sen x

cos2x = 2cos x - 1

cos2x = 1 - 2sen x

1 - tan x cos2x = 2 1+ tan x

cos2x = cos x - sen x

2

sen2 2sen cos

2 tan sen 1 tan

a = a a

a a =

• a

sen(x y) senx cos y cos ysenx

x y ;Tenemos sen2 2sen cos

• = +

= = a a = a a

2 2

2 2

4 4

DE FB ; y DE FO OB

Entonces Tenemos :

cos sen cos 2

cos 2 cos sen

cos 2 cos sen

= = +

a = a + a

a = a - a

a = a - a

IDENTIDADES DE ARCOS DOBLES

SENO DEL ARCO DOBLE

TANGENTE DEL ARCO DOBLE

IDENTIDADES PARA DEGRADAR

a) Recordar que:

a) Recordar que:

b) Deducción gráfica:

b) Deducción gráfica:

2 2

cos(x + y) = cosx.cosy - senx.seny

si : x = y = a , tenemos : cos2 a = cos a - sena

DEL GRÁFICA OBSERVAMOS QUE:

2 2

4

4

2sen x = 1 - cos2x ; 2cos x = 1+ cos2x

8sen x = 3 - 4cos2x + cos4x

8cos x = 3+ 4cos2x + cos4x

2

2tan

tan2 =

1 - tan

a

a

a

2 a

2tana

1 - tan a

2

1 + tan

a

COSENO DEL ARCO DOBLE

DEL GRÁFICO: BC=

a) Recordar que:

a

a

2 a

2 a

1

1 O (^) B

C

y

x

2 2 x + y = 1

2cos

a

A

2cos a sena tanx + tany

tan(x + y) =.

1 - tanx.tany

si : x = y = a , tenemos :

2

2tan

tan2 =

1 - tan

a

a

a

a

2 a

C

y

Sí: OEBC es un cuadrilátero inscriptible:

El triángulo EBC es isósceles.

a

O E x

cos

a

B

A

a

a

a

a

D

tana

2 2

2

EC 2ED y ED AB tan

EC 2 tan ;Del triangulo EAB :

EA tan ; OE 1 tan

EC 2 tan tan 2 ; tan 2 OE 1 tan

= = = a

Þ = a

= a \ = - a

a Þ a = \ a =

• a

Exsec2x = tan2x.tanx

tan2x 1+ sec2x = tanx

2csc2x = cotx + tanx

2cot2x = cotx - tanx

Tan2x 1+ Sec2x = Tanx

2Csc2x = Cotx + Tanx

2Cot2x = Cotx - Tanx

sen2a = 2sen a cosa

b) Deducción gráfica:

OEBC:

Cuadrilátero

Inscriptible C

y

2

2

x +

y =

Serapio C. Calcina Cuevas 10

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

IDENTIDADES ADICIONALES

PROPIEDADES IMPORTANTES: Sí en un triángulo

x+y+z=180° , Entonces se cumple que:

2 2 2

2 2 2

Sí: X Y Z 90º Se cumple :

Tan xTan y Tan yTanz TanxTanz 1

Cotx Coty Cotz Cotx Coty Cotz

Sen x Sen y Sen z 1 – 2SenxSenySenz

Cos x Cos y Cos z 2(1 SenxSenySenz)

+ + = Þ

Tan x Tan y Tanz TanxTanyTan z

CotxCoty CotyCotz CotxCot z 1

2 2 2 Sen x Sen y – Sen z 2SenxSenySen z

2 2 2 Cos x Cos y Cos z 1 – 2CosxCosyCos z

x y z cosx + cosy + cosz = 4sen .sen .sen + 2 2 2

sen2x + sen2y + sen2z = 4senx.seny.sen

• • =
• • =

• =

• • =

z

cos2x + cos2y + cos2z = -4cosx.coxy.cosz - 1

m s

x s

m s

AHORA SI :

Obervación:

( )( )( )( )

( )

n+ n Sen 2 Cos Cos2 Cos4 ... Cos2 = n+ 2 Sen "n 1" Factores

n n-1 Sen 2 Cos Cos2 Cos4 ... Cos2 = n 2 Sen "n" Factores

sec 1 sec 2 1 sec 4 1 sec 8 1 ...

n n tan 2 ... sec 2 1

tan

q q q q q

q

q q q q q

q

q + q + q + q +

q q + =

2

q

IDENTIDADES DE ADICIONALES

a

a

m

s

x

PROPIEDADES

4 4

6 6 8 8

10 10 12 12

2 3 7 sen .sen .sen 7 7 7 8

2 3 1 cos .cos .cos 7 7 7 8

2 3 tan .tan .tan 7 7 7 7

EXPRESIONES PRINCIPALES

1 1 1 sen cos ; sen cos 1 2 2 2

1 1 sen cos 1 ; sen cos 1 4 8

1 1 sen cos 1; sen cos 1 16 32

Forma Gene

p p p

p p p

p p p

• £ a a £ £ a + a £

£ a + a £ £ a + a £

£ a + a £ £ a + a £

2n 2n

n 1

ral Sí :n

1 sen cos 1 2

Î

£ a + a £

¢

2 π 4π 6π 2nπ 1 cos + cos + cos + ... + cos = - 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2

π 3π 5π (2n - 1)π cos + cos + cos + ... + cos 2n + 1 2n + 1 2n + 1

sen + sen2 + sen3 +...+ senk (k +1) = tan cos + cos2 + cos3 +...+ cosk 2

2 π 4π 6π 1 cos + cos + cos = - 7 7 7 2

π 3π 5π 1 cos + cos + cos = 7 7 7 2

a a a a a

a a a a

1

2n + 1 2

2 π 4π 2π 6π 4π 6π 1 cos cos + cos cos + cos cos = - 7 7 7 7 7 7 2

π 3π π 5π 3π 5π 1 cos cos + cos cos + cos cos = - 7 7 7 7 7 7 2

2 π 4π 6π 1 cos cos cos = 7 7 7 8

π 2π 3π 1 cos cos cos = 7 7 7 8

RELACIONES COMPLEMENTARIAS

Mákina

Serapio C. Calcina Cuevas 12

MÁQUINA

TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS

TRIGONOMETRÍA

Mákina

si A B se cumple

A B A B 1 sen A sen B 2 sen ( ) cos( ) 2 2

A B A B 2 sen x sen y 2 cos ( ) sen( ) 2 2

A B A B 3 cos A cos B 2 cos( ) cos( ) 2 2

A B A B 4 cos A cos B 2 sen ( ) sen ( ) 2 2

> Þ

• =

• =

• =

• = -

1ER CASO:

De suma ó diferencia de senos o cosenos a producto. 2 2 2

2 2 2

3 sen (x 120 ) sen x sen (x 120 ) 2

3 cos (x 120 ) cos x cos (x 120 ) 2

• ° + + + ° =
• ° + + + ° =

4 4 4

4 4 4

9 sen (x 120 ) sen x sen (x 120 ) 8

9 cos (x 120 ) cos x cos (x 120 ) 8

• ° + + + ° =
• ° + + + ° =

SUMA DE SENOS Y COSENOS

EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA

A B C sen A sen B sen C 4 sen sen sen 2 2 2

A B C cos A cos B cos C 1 4 cos cos cos 2 2 2

• • =
• • • = -

sen (x 120 ) sen x sen (x 120 ) 0

cos(x 120 ) cos x cos(x 120 ) 0

• ° + + + ° =
• ° + + + ° =

n

k 1

n

k 1

n 2

K 1

n 2

K 1

n

n k 1

n

n k 1

n

k 1

1 cos(2k 1) n 2

1 cos(2k) n 2

n sen(nx) sen (Kx) cos(n 1)x 2 2senx

n sen(nx) cos (Kx) cos(n 1)x 2 2senx

k 2n 1 sen( ) 2n (^1 )

k 1 cos( ) 2n (^1 )

k tan( ) 2n 1 2n 1

= = = = = = =

p

• =

p = -

= - × +

= - × +

p +

p

p = +

å å å å Õ Õ Õ

si A B se cumple

1 2 sen A. cos B sen (A B) sen (A B)

2 2 cos A. cos B cos(A B) cos(A B)

3 2 sen A. sen B cos(A B) cos(A B)

4 2 cos A. sen B sen (A B) sen (A B)

> Þ

= + + -

= + + -

= - - +

= + - -

2DO CASO:

De producto de senos o cosenos a suma o diferencia.

PROPIEDADES:

A B C sen A sen B sen C 4 cos cos cos 2 2 2

A B C cos A cos B cos C 4 sen sen sen 2 2 2

• • =
• • =

Si A + B + C = 180 , se cumple°

Si A + B + C = 360 , se cumple°

sen p sen (p r) sen (p 2r) ... sen u

nr sen 2 p^ u sen ( ) r (^2) sen 2

cos p cos(p r) cos(p 2r) ... cos u

nr sen 2 p^ u cos ( ) r (^2) sen 2

=

= donde :

p : primer ángulo

n : número de tér min os

r : razón de la progresión

u : último ángulo

+ " n Î ¢ , n ³ 1 , se cumple:

Serapio C. Calcina Cuevas 13

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

Mákina

-2p-3p/2 (^) -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p

Función COTANGENTE:

Función: y = cotx x

Dominio:

Rango:á-¥ ;+¥ ñ

Periodo: p

Continuidad: Discontinuo

Intervalo de crecimiento: DDDD

Paridad: Impar

Función SECANTE:

Función: y = secx xÎá-2p ; 2pñ

Dominio:

Rango:[-1;1]

Periodo: 2p

Continuidad:Discontinuo

Intervalo de crecimiento:CCDD

Paridad:Par

( 2n^1 )^ ,n

2

p ¡ - + ΢

¡ - (n ); np ΢

-2p -3p/2^ -p -p/2^ p/2 p 3p/2 2p

1

2

3

4

5

6

-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p

1

2

3

4

5

6

Función COSECANTE:

Función: y = cscx xÎá-2p ; 2pñ

Dominio:¡ - (np); n΢

Rango:[-1;1]

Periodo: 2p

Continuidad:Discontinuo

Intervalo de crecimiento:DCCD

Paridad:Impar

FUNCIONES AUXILIARES

Función VERSO:

Función: y = vers(x) xÎá-2p ; 2pñ

Definición: verx = 1 - cosx

-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p

1

2

Función COVERSO:

Función: y = cov(x) xÎá-2p ; 2pñ

Definición: cov = 1 - senx

-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p

1

2

Serapio C. Calcina Cuevas 15

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

Mákina

Función EXSECANTE:

Función: y = exsec(x) xÎá-2p ; 2pñ

Definición: ex secx = secx - 1

-2p -3p/2^ -p -p/2^ p/2 p 3p/2 2p

1

2

3

DETERMINACIÓN DEL PERIODO PRINCIPAL

Sabemos que la funciones trigonométricas son

periódicas(sen, cos, sec, csc: 2p; tg , ctg:p ). Sin

embargo este periodo es susceptible de ser

modificado.

Dónde:

A: indica estiramiento o encogimiento vertical.

Más conocida como la amplitud

B: indica “estiramiento” o “encogimiento”

horizontal de la gráfica básica.

C: indica desplazamiento horizontal de la gráfica básica.

D: indica desplazamiento vertical de la gráfica básica.

T: es el periodo de la función, el cual solo va

depender de “n” y “B” mediante el siguiente criterio.

f(x)=A(F.T.) (BX+C)+D

n

sen ; cos

csc ; sec

n

F.T.

Par Impar

T

B

p

T

B

p

T

B

p

tan ; cot

Makina

MÉTODO PARA CALCULAR EL PERIODO

DE UNA FUNCIÓN

FUNCIONES DE TIPO

2 2 f(x) = asenx ± bcosx = a + b ,

El Rango de la funcion es;

2 2 2 2

• a + b f(x) + a + b (^) max

min

£ £

REGLA PARA LA CONSTRUCCIÓN DE

GRÁFICAS DE FUNCIONES

DESPLAZAMIENTO VERTICAL

DESPLAZAMIENTO HORIZONTAL

DESPLAZAMIENTO VERTICAL Y HORIZONTAL

f(x) = AsenBx +D

f(x) = Asen(Bx +C)

f(x) =Asen(Bx )

0

y

x

x

Makina

y

x

Q (^) P

f(x) = Asen(Bx + C) +D

y

x

Makina

Serapio C. Calcina Cuevas 16

( )

( )

1 2 3

m ínimo

f(x) f (x) f (x) f (x) ...

MCM Numerador

T

MCD Deno min ador

Importante: sí la función es de tipo:

MÁQUINA

TRIGONOMETRÍA

Mákina

18

PLANO CARTESIANO

IC

IIIC IVC

IIC

.P(x; y)

1ra componente

(abscisa)

2da componente

(ordenada)

r

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS P Ù P 1 2

C.A. = x 1 - x 2

P = x ;y 2 ( 2 2 )

2 2 1 2 2 1 2 1

P P = x - x + y - y

2 1

2 1

y - y tan = m = x - x

q

P = x ;y 1 ( 1 1 )

y 1

y 2

C.O. = y 1 - y 2

x 1 2 x

x

y

La distancia lo calculamos aplicando pitágoras

La pendiente es la tangente del ángulo formado

entre la recta y el eje horizontal

q

q

d

ECUACIÓN INTERCEPTO CON EL EJE “y”

(0; b)

x

y

m = pendiente de recta

b: Ordenada de intercepto

:y = mx + b

ECUACIÓN PUNTO (P ) Y PENDIENTE (m) 1

:y-y = m(x-x ) 1 1

P(x ;y ) 2 2

x

y

P(x;y)

P(x ;y ) 1 1

ECUACIONES DE LA RECTA

m =

y -y 2 1

x -x 2 1

Dy

Dx

=

ECUACIÓN

ECUACIÓN

ECUACIÓN SEGMENTARIA

(0; b)

(a; 0)

x

y

:

x

a

y

b

= 1

ECUACIÓN

ÁNGULO (q) ENTRE DOS RECTAS

1 Ù^2

2

1

y

x

q

q q 2 1

tan q =

m 2

m 1

1 + m 2

m 1

.

: Ax + By + C = 0

ECUACIÓN

GENERAL m =-^

A

B

m 1

m 2

ECUACIÓN

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES

1

3

y

x

2

m 1

m 1

m

m

3

3 m 2

. = -

m 2

m 3

. = -

2 3

m 1

m 2

=

1 2

| d | =

|Ax + By + C | 1 1

A

2

• B

2

DISTANCIA(d) DE UN

PUNTO(P 1 ) A UNA RECTA ( )

P(x 1

; y 1 )

Ax

By

C

= 0

:

d

1

DISTANCIA (d) ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

A x+ By +C

1 = 0

:

Ax+ By +C

2 = 0

:

1

d^2

d =

|C -C | 2 1

A

2

• B

2

ECUACIÓN

ECUACIÓN

INTRODUCCIÓN A LA GEÓMETRIA

ANALÍTICA

Serapio C. Calcina Cuevas

MÁQUINA

x =

x 1

• x 2

• x 3

3

TRIGONOMETRÍA

Mákina

19

.

x =

x 1 + r x 2

1 + r

y =

y 1 + r y 2

1 + r

Coordenadas del punto P(x; y) que divide al segmento P 1

P 2 en una razón. (r =

m n)

P(x; y)

P (x 1

; y 1

) 1

m

n

P (x 2

; y 2

) 2

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA

RAZÓN DADA

PUNTO MEDIO ENTRE DOS PUNTOS

coordenadas del punto medio

M(x; y); (r = 1 y m = n)

x =

x 1 + x 2

2

y =

y 1 + y 2

2

M(x; y)

P (x 1

; y 1

) 1

P (x 2

; y 2

) 2

y =

y 1

• y 2

• y 3

3

Makina

C(x ;x ) 3 3

A(x ;y ) 1 1

B(x ;y ) 2 2

G(x;y)

COORDENADAS DEL BARICENTRO

G(x;y) DE UN TRIÁNGULO

r

r

Makina

P(x; y)

x

y

r

o

P(x; y)

P(x ;y )

C(h; k)

C(h; k)

x

y

2 2 2 :(x-h) +(y-k) = r

2 2 2 : x +y = r

circunferencia

Secciones cónicas

CIRCUNFERENCIA

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un

plano que están a una misma distancia de otro

punto fijo del mismo plano denominado centro.

ECUACIÓN GENERAL

2 2

: x +y +Ax+By+C = 0

Ecuación

ordinaria

con centro

en: C(h; k)

y radio (r)

Ecuación

canónica

con centro

O(0; 0) y

radio (r)

FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN

POR LA INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNF.

Si tenemos dos

circunferencias:

2 2 1 1 1

2 2 2 2 2

x + y + A x + B y + C = 0

x + y + A x + B y + C = 0

ì ï í ïî

2 2 1 1 1

2 2 2 2 2

x + y + A x + B y + C

k x + y + A x + B y + C = 0 ;k

Î ¡

L : y - y 0 = m(x - x ) ; y Sí conocemos 0

su pendiente "m" su ecuacion es :

L : y = mx + k

Luego la familia de circunferencias que pasan por la

intersección de estas dos circunferencias esta dado

por:

Familia de circunferencias

x

x

x

y

y

y

sí k=-1; se obtiene una recta L llamada eje radical

L

L

1

1

2

RECTA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA

0 0

Serapio C. Calcina Cuevas