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FORMULARI
Algebra i Calcul Multivariable
Integral m´ultiple. An`alisi vectorial
Integral doble
Teorema de Fubini
f : R^2 −→ R ´es cont´ınua a R^2
φ 1 , φ 2 : R −→ R s´on cont´ınues a R.
Si D = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, φ 1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x)}, llavors ∫ ∫
D
f (x, y)dxdy =
∫ (^) b
a
φ 2 (x)
φ 1 (x)
f (x, y)dy
dx
Canvi a coordenades polars
x = r cos θ y = r sin θ
|J| = r
D
f (x, y) dx dy
T
f (r cos θ, r sin θ) · r dr dθ
Integral triple
Teorema de Fubini
f : R^3 −→ R ´es cont´ınua a R^3
γ 1 , γ 2 : R^2 −→ R s´on cont´ınues a R^2
φ 1 , φ 2 : R −→ R s´on cont´ınues a R.
Si
D = {(x, y, z) ∈ R^3 : a ≤ x ≤ b, φ 1 (x) ≤ y ≤ φ 2 (x), γ 1 (x, y) ≤ z ≤ γ 2 (x, y)},
D
f (x, y, z)dxdydz
∫ (^) b
a
φ 2 (x)
φ 1 (x)
γ 2 (x,y)
γ 1 (x,y)
f (x, y, z)dz
dy
dx.
Canvi a coordenades cil´ındriques
x = r cos θ y = r sin θ z = z
|J| = r
D
f (x, y, z) dx dy dz
T
f (r cos θ, r sin θ, z) · r dr dθ dz
Canvi a coordenades esf`eriques
(x, y, z)
x
y
z
θ
ρ ϕ
x = ρ cos θ sin ϕ y = ρ sin θ sin ϕ z = ρ cos ϕ
|J| = ρ^2 sin ϕ ∫ ∫ ∫
D
f (x, y, z) dx dy dz = ∫ ∫ ∫
T
f (ρ cos θ sin ϕ, ρ sin θ sin ϕ, ρ cos ϕ)ρ^2 sin ϕdρdθdϕ
C`oniques
Circumfer`encia. (x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 = R^2.
El.lipse.
(x − x 0 )^2 a^2
(y − y 0 )^2 b^2
= 1, a > 0 , b > 0
Hip`erbola.
(x − x 0 )^2 a^2
(y − y 0 )^2 b^2
= 1, a > 0 , b > 0
Par`abola. (x − x 0 )^2 = 4c(y − y 0 ).
Parametritzaci´o de corbes
Funci´o. Sigui f : [a, b] → R, amb f ∈ C^1 ([a, b]). La gr`afica y = f (x) d’aquesta funci´o es pot pa- rametritzar per
c(t) =
t, f (t)
, t ∈ [a, b].
Circumferencia. La circumferencia d’equaci´o
(x − x 0 )^2 + (y − y 0 )^2 = R^2.
Es pot parametritzar per
c(t) =
x 0 + R cos(t), y 0 + R sin(t)
, t ∈ [0, 2 π].
El.lipse. L’el.lipse d’equaci´o
(x − x 0 )^2 a^2
(y − y 0 )^2 b^2
= 1, a > 0 , b > 0.
Es pot parametritzar per
c(t) =
x 0 + a cos(t), y 0 + b sin(t)
, t ∈ [0, 2 π].
Hiperbola. La hiperbola d’equaci´o
(x − x 0 )^2 a^2
(y − y 0 )^2 b^2
= 1, a, b > 0 , x ≥ x 0 + a.
Es pot parametritzar per
c(t) =
x 0 + a cosh(t), y 0 + b sinh(t)
, t ∈ R.
Longitud d’arc
∫ (^) b
a
|c′(t)| dt on c : [a, b] → R^3 i tal que
c ∈ C^1 ([a, b]).
Diverg`encia i rotacional
Sigui F : R^3 → R^3 , on F ∈ C^1 (R^3 ) amb F = (F 1 , F 2 , F 3 ).
div(F ) =
∂F 1
∂x
∂F 2
∂y
∂F 3
∂z
rot(F ) = (R 1 , R 2 , R 3 ) on
R 1 =
∂F 3
∂y
∂F 2
∂z
R 2 =
∂F 1
∂z
∂F 3
∂x
R 3 =
∂F 2
∂x
∂F 1
∂y
En particular, si F : R^2 → R^2. rot(F ) = (0, 0 , R 3 ).
Camp conservatiu
F : R^3 → R^3 ´es un camp conservatiu si existeix f : R^3 → R amb f ∈ C^1 tal que ∇f = F. La funci´o f ´es la funci´o potencial o potencial escalar associat a F.
Lemes de Poincar´e. Sigui F : R^3 → R^3 un camp de clase C^1. Llavors
F ´es conservatiu ⇔ rot(F ) = ~ 0. En aquest cas una funci´o potencial es pot cal- cular com
f (x) =
0
〈F (tx), x〉dt. x ∈ R^3
Si div(F ) = 0 llavors existeix un camp vectorial G : R^3 → R^3 de clase C^1 tal que F = rot(G). Es verifica
G 1 (x, y, z) =
0
t
zF 2 (tx, ty, tz) − yF 3 (tx, ty, tz)
dt,
G 2 (x, y, z) =
0
t
xF 3 (tx, ty, tz) − zF 1 (tx, ty, tz)
dt,
G 3 (x, y, z) =
0
t
yF 1 (tx, ty, tz) − xF 2 (tx, ty, tz)
dt,
on F = (F 1 , F 2 , F 3 ) i G = (G 1 , G 2 , G 3 ). El camp G ´es un potencial vector associat a F.
