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Capítulo 5 ESPACIOS VECTORIALES EUCLIDIANOS
5.1.- PRODUCTO INTERNO .- Sea ( V ,+, ℝ, • ) un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales ℝ. Una función de la
forma:
〈 , 〉: VxV → ℝ es un producto interior en V si: ∀ 𝒖, 𝒗, 𝒘 ∈ V y k ∈ ℝ se cumple:
i) 〈 𝒖, 𝒗 〉 = 〈𝒗 , 𝒖〉 (Axioma de simetría)
ii) 〈 𝑢 + 𝑣, 𝑤 〉 = 〈𝑢 , 𝑤〉 + 〈𝑣 , 𝑤〉 (Axioma de aditividad)
iii)
(Axioma de linealidad) (homogeneidad
iv) 〈 𝑢, 𝑢 〉 > 0 𝑦 〈 𝑢, 𝑢 〉 = 0 ⇔ 𝑢 = 𝑜⃗ (Axioma de positividad)
Un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales y producto interno, es llamado Un ESPACIO VECTORIAL
EUCLIDIANO.
Donde: La expresion: 〈 𝒖, 𝒗 〉 se lee producto interior entre los vectores 𝒖 𝑦 𝒗
TEOREMA.- En todo espacio con producto interno
Ejemplo 1.- Sean: 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝒂, 𝒃 ∈ ℝ. Calcular: 〈𝒂𝒖 + 𝒃𝒗, 𝒂𝒖 + 𝒃𝒗 〉
SOLUCION.-
Ejemplo 2.- Demostrar que en el espacio 𝑉 de funciones continuas de una variable real en un intervalo cerrado
[𝑎, 𝑏]
el producto interno puede definirse como:
𝑏
𝑎
SOLUCION.-
Ejemplo 3.- Sean: 𝒖 = (𝑢 1
2
1
2
) elementos de ℝ
2
mostrar si el siguiente producto es interno.
1
1
1
2
2
1
2
2
SOLUCION.-
5.2.- MODULO O LONGITUD DE UN VECTOR (Norma) .- La norma de: ∀𝒖 ∈ 𝑽 se define: como:
PROPIEDADES.- Si: 𝒖 ∈ 𝑽 y 𝑘 ∈ ℝ
2
5.3.- DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ.- Si: 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽
5.4.- DESIGUALDAD TRIANGULAR.- Si: 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽
5.5.- ANGULO ENTRE VECTORES.- Si: 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 el ángulo entre 𝒖 𝑦 𝒗 se define como:
〈 𝒖,𝒗 〉
‖𝒖‖‖𝒗‖
Ejemplo 4.- Hallar el ángulo entre 𝑓(𝑥) = 𝑆𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑔(𝑥) = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) considerando el producto interno
𝜋
2
0
del espacio vectorial de las funciones continuas definidas en el intervalo cerrado
Ejemplo 5.- Hallar el coseno del ángulo entre 𝒖 y 𝒗 si: 〈𝑓, 𝑔 〉 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡
𝜋
2
0
; si: f
VECTORES ORTOGONALES .- Si: 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 ; 𝒖 es ortogonal a 𝒗 ⇔ 〈 𝒖, 𝒗 〉 = 0
(𝒖⊾𝒗) 𝒖 es perpendicular a 𝒗 ⇔ el producto interno es 0.
Ejemplo 6 .- Sean : 𝒖 = (𝑥 1
2
2
y 𝒗 = (𝑦
1
2
2
demostrar si es producto interno:
a)
1
1
2
2
1
2
b) 〈 𝒖, 𝒗 〉 = 𝑥
1
1
2
2
1
2
Solucion:
a) I°) Simetria: Sean: 𝒖 = (𝑥
1
2
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
l.q.q.d.
2°) Aditividad: Ɐ 𝒖 = (𝑥
1
2
2
1
2
2
1
2
2
Calculando: 𝒖 + 𝒗 = (𝑥
1
1
2
2
Sustituyendo en (1)
1
1
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
lqqd.
3°) Homogeneidad. ∀𝛼 ∈ ℝ ; ∀𝒖 = (𝑥
1
2
2
2
𝒖
𝒖
‖𝒖‖
( 3 , 4 )
5
1
5
1
5
4
5
Ejemplo 8.- Demostrar el teorema de Pitágoras.
SOLUCIÓN : Sean los vectores: 𝒖 y 𝒗
Se debe demostrar que: ‖𝒖 + 𝒗‖
𝟐
𝟐
𝟐
De la expresión
2
𝟐
𝟐
𝟐
2
2
𝟐
2
2
ya que: (𝒖⊾𝒗)
𝟐
2
2
l.q.q.d.
Ejercicio 9 .- En el conjunto: (ℝ
[−1,1]
, +, ℝ,∙) se define 〈𝑓, 𝑔〉 = ∫
1
− 1
si: 𝑓(𝑥) =
√
2
2
√
3
2
𝑥 a) Hallar ‖𝑓‖ b) 〈𝑓, 𝑔〉
SOLUCION: a)
1
− 1
1
− 1
1
− 1
u
v
− 1
1
[
]
b) 〈𝑓, 𝑔〉 = ∫
1
− 1
1
− 1
1
− 1
√
6
4
[
𝑥
2
2
]
− 1
1
[( 1 )
2
2
] = 0
son ORTOGONALES
Ejemplo 10.- Sea el espacio vectorial de las matrices
2𝑥
se define el producto interno:
𝑇
𝐴) Hallar la norma de 𝐴 = (
SOLUCION :
De la expresión:
𝑇
𝐴) = 𝑇𝑟 [(
)] = 𝑇𝑟 (
Ejemplo 11.- En el espacio vectorial de los polinomios de primer grado sobre ℝ: [𝑃
1
(𝑥), +, ℝ,·] con el producto
interno:
0
0
1
1
Siendo: 𝑃(𝑥) = 𝑎
1
0
1
0
Hallar:
si: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 − 3
SOLUCION
2
Por lo tanto Base ortogonal: 𝐵 = {(1,1); (
4
3
2
3
5.8.- CONJUNTO ORTONORMAL DE VECTORES.- ( Base Ortonormal) Un conjunto de vectores
1
2
3
𝑛
} es ortonormal o forman una base ortonormal si:
1°) B es un conjunto ortogonal: 〈𝒖
𝒊
𝒋
2°) Todo elemento de 𝐵 tiene norma igual a 1:
𝒊
5.9.- PROCESO DE GRAM-SCHMIT PARA HALLAR UNA BASE ORTONORMAL.- Sea:
1
2
3
𝑛
una base de un espacio vectorial V.
La base ortonormal 𝑆 = {𝑣
1
2
3
𝑛
} se obtiene por las expresiones:
1
𝑢
1
‖𝑢
1
‖
2
𝑢
2−
〈𝒖
𝟐
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1
‖𝑢
2−
〈𝒖
𝟐
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1
‖
3
𝑢
3−
〈𝒖
𝟑
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1−
〈𝒖
𝟑
,𝒗
𝟐
〉𝑣
2
‖𝑢
3−
〈𝒖
𝟑
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1−
〈𝒖
𝟑
,𝒗
𝟐
〉𝑣
2
‖
n°) 𝑣
𝑛
𝑢
𝑛−
〈𝒖
𝒏
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1−
〈𝒖
𝒏
,𝒗
𝟐
〉𝑣
2
−⋯… … …− 〈𝒖
𝒏
,𝒗
𝒏−𝟏
〉𝑣
𝑛−
‖𝑢
𝑛−
〈𝒖
𝒏
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1−
〈𝒖
𝒏
,𝒗
𝟐
〉𝑣
2
−⋯… … …− 〈𝒖
𝒏
,𝒗
𝒏−𝟏
〉𝑣
𝑛−
‖
Ejemplo 16.- Hallar una base ortonormal de: 𝐵 = {(1, 1); (2, 3)} con el producto interno habitual
SOLUCION:
Sean los vectores: 𝑢
1
= (1,1) y 𝑢
2
1
𝑢
1
‖𝑢
1
‖
1
1
1
1
1
2
𝑢
2−
〈𝒖
𝟐
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1
‖𝑢
2−
〈𝒖
𝟐
,𝒗
𝟏
〉𝑣
1
‖
2−
𝟐
𝟏
1
2 −
𝟐
𝟏
1
2 −
𝟐
𝟏
1
2 −
𝟐
𝟏
1
2 −
𝟐
𝟏
1
2
2
2
2
√
2
√
2
Por lo tanto: 𝐵 = {(
1
√ 2
1
√ 2
√
2
2
√
2
2
)} BASE ORTONORMAL
VERIFICACION
1
2
2
2
2
2
1
2
11) Si: 𝒖 = (𝑢
1
2
1
2
) se define: 〈𝑢, 𝑣〉 = 3𝑢
1
1
2
2
Transformar los
vectores {(1,1); (1,0)} en una base ortonormal: (Sugerencia aplicar el proceso de Gram Schmidt)
12) Sea: 〈𝑓, 𝑔〉 = ∫
[𝑓(𝑡)𝑔(𝑡)𝑑𝑡
1
−
𝑑𝑡 un producto interno en 𝑉 (Espacio vectorial de las
funciones); 𝑓(𝑡) = 2𝑡
2
– 𝑡 ; 𝑔(𝑡) = 3𝑡 + 2𝑎 ; hallar “𝑎” para que las funciones 𝑓 y 𝑔 sean
ortogonales.
