ECUACIONES DIFERENCIALES
FIME – PLAN 440 – DR. RICARDO JESÚS VILLARREAL LOZANO
CÁLCULO DIFERENCIAL
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
𝐷𝑥(𝑢)𝑛=𝑛(𝑢)𝑛−1𝑑𝑢
𝐷𝑥[𝑢∗ 𝑣]= 𝑢𝐷𝑥𝑣+𝑣𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝑢
𝑣] = 𝑣𝐷𝑥𝑢−𝑢𝐷𝑥𝑣
𝑣2
𝐷 𝑥[𝑙𝑛𝑢]= 1
𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥 [𝐿𝑜𝑔𝑎𝑢]= 1
𝑢𝑙𝑛𝑎𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝑒𝑢]= 𝑒𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝑎𝑢]= 𝑎𝑢 ln𝑎𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑛𝑢]=𝐶𝑜𝑠𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑠𝑢]= −𝑆𝑒𝑛𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝑇𝑎𝑛𝑢]= 𝑆𝑒𝑐2𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑡𝑢]= −𝐶𝑠𝑐2𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑐𝑢]=𝑆𝑒𝑐𝑢𝑇𝑎𝑛𝑢𝐷𝑥𝑢
𝐷𝑥[𝐶𝑠𝑐𝑢]=−𝐶𝑠𝑐𝑢𝐶𝑜𝑡𝑢𝐷𝑥𝑢
∫𝑑𝑢
√𝑎2− 𝑢2= 𝑆𝑒𝑛−1 (𝑢
𝑎)+𝐶 ∫𝑑𝑢
𝑎2+ 𝑢2= 1
𝑎𝑇𝑎𝑛−1 (𝑢
𝑎) + 𝐶
∫𝑑𝑢
𝑢 √𝑢2− 𝑎2= 1
𝑎𝑆𝑒𝑐−1 (𝑢
𝑎)+𝐶
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
∫𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)+ 𝐶
∫𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)+ 𝐶
∫𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝐶𝑜𝑠ℎ 𝑢| + 𝐶
∫𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑛ℎ 𝑢| + 𝐶
∫𝑆𝑒𝑐ℎ2(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢) + 𝐶
∫𝐶𝑠𝑐ℎ2(𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢) + 𝐶
∫𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)+ 𝐶
∫𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)+ 𝐶
𝐷𝑥[ 𝑆𝑒𝑛ℎ−1𝑢]=𝐷𝑥𝑢
√𝑢2+ 1
𝐷𝑥[ 𝐶𝑜𝑠ℎ−1𝑢]=𝐷𝑥𝑢
√𝑢2− 1
𝐷𝑥[ 𝑇𝑎𝑛ℎ−1𝑢]=𝐷𝑥𝑢
1 − 𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐶𝑜𝑡ℎ−1𝑢]=𝐷𝑥𝑢
1 − 𝑢2
𝐷𝑥[ 𝑆𝑒𝑐ℎ−1𝑢]=−𝐷𝑥𝑢
𝑢 √1−𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐶𝑠𝑐ℎ−1𝑢]=−𝐷𝑥𝑢
|𝑢|√1−𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑛𝑢]=𝐷𝑥𝑢
√1−𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑠𝑢]=−𝐷𝑥𝑢
√1−𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑇𝑎𝑛𝑢]=𝐷𝑥𝑢
1+ 𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑜𝑡𝑢]=−𝐷𝑥𝑢
1+ 𝑢2
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝑆𝑒𝑐𝑢]=𝐷𝑥𝑢
|𝑢|√𝑢2−1
𝐷𝑥[ 𝐴𝑟𝑐𝐶𝑠𝑐𝑢]=−𝐷𝑥𝑢
|𝑢|√𝑢2−1
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
∫𝑑𝑢
√𝑎2+ 𝑢2= 𝑆𝑒𝑛ℎ−1 (𝑢
𝑎)+𝐶 ∫𝑑𝑢
𝑢 √𝑎2+ 𝑢2= −1
𝑎𝐶𝑠𝑐ℎ−1 (𝑢
𝑎)+𝐶
∫𝑑𝑢
√𝑢2− 𝑎2= 𝐶𝑜𝑠ℎ−1 (𝑢
𝑎)+𝐶 ∫𝑑𝑢
𝑢 √𝑎2− 𝑢2= −1
𝑎𝑆𝑒𝑐ℎ−1 (𝑢
𝑎)+𝐶
∫𝑑𝑢
𝑎2− 𝑢2= 1
𝑎𝑇𝑎𝑛ℎ−1(𝑢
𝑎)+𝐶
𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑛ℎ𝑢]=𝐶𝑜𝑠ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑠ℎ𝑢]=𝑆𝑒𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷𝑥[𝑇𝑎𝑛ℎ𝑢]=𝑆𝑒𝑐ℎ2(𝑢)𝐷𝑢
𝐷𝑥[𝐶𝑜𝑡ℎ𝑢]=−𝐶𝑠𝑐ℎ2(𝑢)𝐷𝑢
𝐷𝑥[𝑆𝑒𝑐ℎ𝑢]=−𝑆𝑒𝑐ℎ(𝑢)𝑇𝑎𝑛ℎ(𝑢)𝐷𝑢
𝐷𝑥[𝐶𝑠𝑐ℎ𝑢]=−𝐶𝑠𝑐ℎ(𝑢)𝐶𝑜𝑡ℎ(𝑢)𝐷𝑢
Forma equivalente de las integrales que dan como resultado
HIPERBÓLICAS INVERSAS
∫𝑑𝑢
√𝑢2± 𝑎2=ln(𝑢 +√𝑢2± 𝑎2) + 𝐶
∫𝑑𝑢
𝑎2− 𝑢2= 1
2𝑎𝑙𝑛|𝑎+𝑢
𝑎−𝑢|+𝐶
∫𝑑𝑢
𝑢 √𝑎2± 𝑢2= − 1
𝑎𝑙𝑛(𝑎+√𝑎2± 𝑢2
|𝑢| )+𝐶
REGLAS BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN
∫𝑑𝑥= 𝑥 +𝐶 ∫𝐾𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝐾∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐊 = 𝐜𝐭𝐞
∫𝑥𝑛𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1
𝑛+1 +𝐶 ∫[𝑓(𝑥)± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥= ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥
SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
CAMBIO DE VARIABLE
Forma → Sustitución → la raíz se sustituye por:
√𝑎2− 𝑢2 → u= aSen𝜃 → aCos𝜃
√𝑎2+ 𝑢2 → u= aTan𝜃 → aSec𝜃
√𝑢2− 𝑎2 → u= aSec𝜃 → aTan𝜃
∫𝑢𝑛𝑑𝑢= 𝑢𝑛+1
𝑛+1 + 𝐶 𝐧 ≠ −𝟏
En donde u es una función polinomial o trascendental
FUNCIONES EXPONENCIALES
∫𝑒𝑢𝑑𝑢 = 𝑒𝑢+ 𝐶 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝒆 = 𝑪𝒕𝒆. 𝒅𝒆 𝑬𝒖𝒍𝒆𝒓 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖
∫𝑎𝑢𝑑𝑢 = 𝑎𝑢
ln𝑎+𝐶
INTEGRAL POR PARTES
∫𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 −∫𝑣𝑑𝑢
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si 𝑭(𝒙) es una antiderivada de 𝒇(𝒙):
∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥= 𝐹(𝑥)|𝑏
𝑎= 𝐹(𝑏)−𝐹(𝑎) 𝑏 > 𝑎
𝑏
𝑎
∫𝑑𝑢
𝑢=𝑙𝑛|𝑢|+𝐶
Propiedades:
𝐿𝑛 (𝑝𝑞)= 𝐿𝑛 𝑝 + 𝐿𝑛 𝑞 𝐿𝑛 1 = 0
𝐿𝑛 𝑒 = 1 𝑒𝐿𝑛 (𝑢) =𝑢
𝐿𝑛(𝑝
𝑞)=𝐿𝑛(𝑝)−𝐿𝑛(𝑞) 𝐿𝑛 𝑝𝑟= 𝑟 𝐿𝑛 𝑝
FRACCCIONES PARCIALES
CASO I: Factores lineales
distintos.
A cada factor lineal (ax + b) le
corresponde una fracción de la
forma: 𝐴
𝑎𝑥+𝑏
CASO III. Factores
cuadráticos distintos.
A cada factor cuadrático
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥 +𝑐) le corresponde
una fracción de la forma
𝐴𝑥+𝐵
𝑎𝑥2+𝑏𝑥 +𝑐
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
∫𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑜𝑠(𝑢)+ 𝐶
∫𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑢)+ 𝐶
∫𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑐(𝑢)|+ 𝐶
= −𝑙𝑛|𝐶𝑜𝑠(𝑢)|+ 𝐶
∫𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑙𝑛|𝐶𝑠𝑐(𝑢)|+ 𝐶
= 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑛(𝑢)|+ 𝐶
∫𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝑆𝑒𝑐(𝑢)+ 𝑇𝑎𝑛(𝑢)|+ 𝐶
∫𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑙𝑛|𝐶𝑠𝑐(𝑢)−𝐶𝑜𝑡 (𝑢)|+ 𝐶
∫𝑆𝑒𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑇𝑎𝑛(𝑢) + 𝐶
∫𝐶𝑠𝑐2(𝑢)𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑡(𝑢) + 𝐶
∫𝑆𝑒𝑐(𝑢)𝑇𝑎𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐(𝑢)+ 𝐶
∫𝐶𝑠𝑐(𝑢)𝐶𝑜𝑡(𝑢)𝑑𝑢 = −𝐶𝑠𝑐(𝑢)+ 𝐶
CASO II: Factores lineales
repetidos.
A cada factor lineal repetido
(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑘. Le corresponde la
suma de k fracciones parciales
de la forma:
𝐴1
𝑎𝑥+ 𝑏+𝐴2
(𝑎𝑥+𝑏)2+⋯+ 𝐴𝑘
(𝑎𝑥+ 𝑏)𝑘
CASO IV. Factores
cuadráticos repetidos.
A cada factor cuadrático
repetido (𝑎𝑥2+𝑏𝑥 +𝑐)𝑘 le
corresponde la suma de k
fracciones parciales de la
forma:
𝐴1𝑥+𝐵1
𝑎𝑥2+𝑏𝑥 +𝑐 +⋯+ 𝐴𝑘𝑥+ 𝐵𝑘
(𝑎𝑥2+𝑏𝑥 +𝑐)𝑘
