Formulario de ingeniería, Apuntes de Matemáticas

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN h O Bepora SO moieméticas o E Via) | A AS >| (6 FORMULARIO DE MATEMÁTICAS PARA INGENIEROS - ¿Autores Be, h a “José Luz Hernández Castillo José Juan Contreras Espinosa Quinta Edición Octubre 2019 Escaneado con CamScanner Indice Algebra 6 Logaritmos 6 Productos notables y factorización 7 Propiedades de las desigualdadas 7 Trigonometría 10 Geometrla analítica 21 Límites y continuidad 29 Propiedades de los límites 31 Derivación 33 Integración 39 Serles elementales 48 Propiedades de la Transformada de Laplace 52 Bibliografía. 58 Formulario do matomáticas para Ingontoros Escaneado con CamScanner Productos notables y factorización. (a+ by = a? +2ab + b*, binomio al cuadrado de la suma. (a - dy = a? - 2ab + b?, binomio al cuadrado de la diferencia. (a+ bP = a? + 3a%b + 3ab? + 67, binomio al cubo de la suma. (a- bP = a? - 3a%b + 3ab? - b?, binomio al cubo de la diferencia. 1] (a+ bP= 4h + ar ++ +D"VkeN, k=0,1,2,....n, Bin. Newton. n- 1 d- b?= (a+ bla— b), diferencia de cuadrados. ¿2d el ==) 2 2 SS. 5 P2ON= , trinomio de segundo grado a=1. 7. estro» paa 2_ 2_ e cerro eel ye o 4ac a 2a 9. a+ b*=[a+ b]a? — ab + b?], suma de cubos, ) trinomio de segundo grado a+ 1 10.0? b?= [a - b][e? + ab + b?], diferencia de cubos. 11.ab+ ac + ad= a(b + c+ d), polinomios con un factor común. 12.am— bm + an — bn = (a — bl + n), polinomios por agrupación. 13.0" -b"=[a- bl 4 ab a 4... + b"=!] con neN. 14. +0 =[a + bl! - 2 dra AR A. 1" *, con neN, n= impar cocientes notables PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES 1. Si se comparan dos números reales a y b cualesquiera, entonces sólo es verdadera una y solo una de las tres siguientes proposiciones. ab 2.Si a0ya be, (cambia de sentido la desigualdad). 6. Si 0 (a y b positivos, ab > 0). a Formulario de matemáticas para Ingenieros Escaneado con CamScanner 7.Si a; (a y b negativos, ab > 0). a a<0 y b>0 8.Si ab<0= Ó a>0 y b<0 a<0 y b<0 9.Si ab>0=> Ó a>0 y b>0 a<0 y b>0 10. Si ¿0 ó a>0 y b<0 a<0 y b<0 41. Si 0 a>0 y b>0 a>-b 12.Si b>0y la] y po-b0 y laj>bo;z Ó a>b 45. Si 5 <0 entonces el conjunto solución de la desigualdad |a| > b es igual al conjunto R de todos los números reales. 16.Si laJ< lb] o 4lb| S 2>b0? o 2-b>00 (a+blXa-b)> 0 a> lb 18.Si b>0yd y > —Vb sen(0) hip. c C2. La función coseno de un ángulo es igual al cateto adyacente sobre la hipotenusa. 0 cat.ady. cos(0)=? cosí a +. COS c C3. La función tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto sobre el cateto adyacente. cat. Op. a 2 — tan) = 3 tan(0) cat.ady. art) b C4. La función cotangente de un ángulo es igual al cateto adyacente sobre el cateto opuesto. a » cal. ady. cor(0)= A con(0)== cat.op. a C5. La función secante de un ángulo es igual a la hipotenusa sobre el cateto adyacente. hip. secó)= cat. ady.' c .sec(0)= 5 C6. La función cosecante de un ángulo es igual a la hipotenusa sobre el catelo opuesto. hip. cat.op.. a los C7. Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, la suma del cuadrado de catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. ¿=d+b csc(0)= :.csc(0) = 2 a Escaneado con CamScanner Círculo trigonométrico Unitario sec(gy//c El cat(8) D 8 tan((8) E csc(8), sen[6) 8 9 cos(8) A B D. Fórmulas trigonométricas que se pueden deducir a unitario. D1. ser?(0) +cos*(0) =1 D2. serr(9)=1—cos*(0) D3. cosY(0)=1—sen*(0) DA. sen'(8) = [1 —cos(28)] D5. cos*(8) = + [1 + cos(20)] DB. sec*(8) — tan"(0) =1 D7. sec*(8) =1+tan*(8) D8. tan*(8) =sec?(0) — 1 D9. csc*(8) —cor(0)=1 D10. cse*(9)=1 +coP (0) D11. cor(8) =csc*(8) — 1 D12. sen(8)cse(0) = 1 D13. cos(0)sec(0) =1 D14. tan(0 )cot(0) = 1 D15, seng= “050 _ 1 20 col asco cosBtan0 = 1 —cos D1B. cos9= seno 21 tanQ seca “0 = BO = EO= FO =r=] AE =sen(0) AO = cos(0) BC =1an(0) DF = cot(0) co =sec(0) DO = csc(0) tand _ tan seco + tan E] cot0 cot0 -= al qe AM A === sen0cor0 = A- —sen” cscO LicorO Formulario de matemáticas para Ingenieros Escaneado con CamScanner 11 Partir del círculo trigonométrico G. Funciones trigonométricas del ángulo mitad. AS ps Gl. sen] AS press G2. cos] 2 DA p —=cosÁ — senA _1-cosA . = ———=CSCÁ —COLÁ ES wa 3)>| Vi+cosa — L+cosA sená AS r 1 64. col A 2 ho - send _1+cosA =0scA+cotA [2 I=cosÁ l=cosA senÁ G5 E 42 _N2afi+cos A _Yafi=cos A cos Á ola Ji+cos A Hcos A sen A 68 ad:]= Y2_ _v2Wfl-cosa fi cos A j 2 dl =cos A I=cosA | senÁ 13 H. Conversión de productos de senos y cosenos a sumas de senos y cosenos. H1. sen(4)cos(B) = 5 [send + B) + sen(á — B)] H2, cos(A)sen(B) = 5 [sen(a + B) —sen(A — B)] H3, cos(A)cos(B) = z [cos(A + B) + cos(á — B)] Ha. sen(AJsen(B) = z [cos(a — B) — cos(A + B)] l. Conversión de sumas de senos y cosenos a productos de senos y cosenos. 1. sen(A) + sen(B) = 2500 3 al cos | 12. sen(A) — sen(B) =2cos E 5 z] sen z l. cos(4) + cos(B) =2co5 | A S z cos | E z] lA, cos(4) — cos(B) = asen : z] sen E > 2] Formulario de matemáticas para Ingenieros A Escaneado con CamScanner 14 y. y1. J2. y3. J4. J5. J6. J7. _ 1 _ 4 J8. sen[arc tan(u)] = cos[arc cot(u)] = sedare cotao)] a era 1 J9. sen[arc cot(u)] = cos[arc fan(u)] = seclare tan)] Era ah? —1 310. sen[arc sec(u)] = cos[are csc(u)] = sedlare esca] ==; 311. sen[arc esc(w)] = cos[arc sec(u)] = tan[arc cot(u)] = cotarc tan(u)] = sec[arc cos(u)] = 312. tan[arc sen(u)) = cot[arc cos(u)] = ne st ol” Ea J13. 414. y15. y16. 417. 418. b Funciones trigonométricas inversas. arc seníd) = arc ese l | are cos(d) = arc seo : 1 A arc tan(4) = arc col arc cof(A) = arc van — Á E 1 arc sec(A) = arc cos Al A)= pa arc csc(A) = arc sen | z] _ =V1-u sen[arc cos(u)] = cos[are sen(u)] = codi e costa) a csc[arc sen(u)] = m ME tan[arc cos(u)] = coll arc sen(u)] = A => lu? 1 tan[arc seclu)] = cotlarc esc(u)] = infor 500] tan[arc csc(u)] = cot[are sec(u)] = ae an sec[arc sen(u)] = csc[arc cos(u)] = sec[are tan(u)] = csc[arc cor(u)] = ál +10 CEA sec[arc col(u)] = csc[arc tan(u)] = Escaneado con CamScanner 16 Dividiendo (2) entre (1). ksentp ) - b Stan kcos(p) a ($)= Ll SH =arc ta? ... (6) a a Sustituyendo (5) y (6) en (K2). asen(O) + b cos(0) = Ja +1? cos[0 — arc tan(bla)] L. Ley de los senos. En todo triángulo, los lados son entre si como los senos dichos lados. a _ sen(4) “b” sen(B) a _ sen(A) “Cc sen(C) 3 b_ sen(B) “e sen(C) de los ángulos Opuestos a M. Ley de los cosenos. En todo triángulo, el cuadrado de un lado otros dos lados menos su doble , es igual a la suma de los cuadrados de los producto multiplicado por el coseno del ángulo que forman dichos lados. M1. «=b*+c?—2bc cos(A) M2. 5?= a+ e? —2ac cos(B) M3. 2=a+b-2ab cos(C) Escaneado con CamScanner 17 N. Ley de las tangentes. En todo triángulo, la diferencia de dos lados es a su su semidiferencia de los ángulos opuestos a dichos lados es a h A tangente de la semisuma. la tangente de sy [B- 2] b-a tam 2 = TB+A] tan| 2 | , b>a N?. b+a . [4] c-a dl 2 N2 a Ez | E>.4 tan 2 NOT C+ BT P. Fórmulas para el cálculo de datos faltantes en todo tipo de triángulo. a+b+ ; p = semiperimetro, a, b, c = lados del triángulo. Pi.p= > en 4 |- je 010) 3 col 4). jro=a E 2 be 3 di e-9 e a P>5. co ¿> E 1) 2 ac PS. sol |- [axe ao -b) P7. co <|- p(p-0) ; 2 ab PS, wa 2)- | je: 0) E) bo ml [ea 5 o 21 PD PIO, wn 5|- [era ' plp-c) Formulario de matemáticas para Ingenieros Escaneado con CamScanner Valores exactos de las funciones trigonométricas de algunos ángulos, mgulo A [Ángulo A en En sen(A) Cox) Vramiy lc Grados _ | Radíanes ama) | coma) | secta) esciA)) 3 0 0 " e ; ra a rl a 30 n/6 1 Da aa T 7 Es mA Da 0 ATA EZ y 00 IC ICO CO E ZO 51/12 ¿(46 442] 7 do] A O 2 1 0 4 0 0) ! 7/12 07 +41] “4 Jos: 43] pos] [a 3] | [46142] 16-42 2143 q 12 Ya GA 2 5 3/4 0 3 1 a] 2 42 5r/6 1 un a | A EA 2 p 111/12 ¿[46-42] “4 [46 +42] 2-43] | -[2+43] | [46-12] 35,22 AZ rm 0 -1 0 EZ) -1 £m - 137/12 “¿[v6-42] “y[V6+ 42] 2-43 | 2443 | -[V6- 42] [46,42] ¡pEclo: Tn/6 1/2 Ls Dh a | 2 2 3 3 225" 7] -L -L ] 1 3 $ E 2 2 20 4n/3 - 0 $ -1/2 Y3 15 2 25 .. 3 3 048 712 “ [vo +2] -y[v6 -4] 2da | 243 |-[V6+V2] (Yo -42] pOr 32 -1 0 Lun 0 + -1 EN TT “¿vor ¿[va 4i] pos] [pa] [do [6-2] 172 - TA 2 TA y ¿A 0 UN - -l y2 -y2 ye A E 2 Formulario de matomáticas para Ingonleros Escaneado con CamScanner 20 —y Fórmulas de las funciones trigonométricas reducidas al primer cuadrante. Ángulos en grados 0*< 4 < 90», FUNC. =A 90-A | 90+4 | 1804 |180+4 |270-A4 |270+4 360—A | 360+4 sen Esen(A) | costa) | cos(4) | sen(a) |- sen(A) |—cos(4) |-cos(4) | —sen(a) sen(A) cos cos(A) | sen(A) |—sen(A) |- cos(4) |-cos(4) | sen(4) | sen(4) cos(A) | cos(A) tan —tan(A) | cof A) | —cotíA) | —ran(A) | tan(A) | coríAy |- cof4) | —tan(4) | tan(4) | cora) | tanta) | tanta) | - cof(4) | conA) | tan(4) |-tan(a) | —cor(a) | cora) ed secíA) | esc(4) | -csc(4) | -sec(a) | secta) |-esc(a) | esta) | secía) | seca) E =escla) | seca) | seciA) | cscla) |—esc(A) |-secíd) |—secía) | —esc(A) | esela) -A ma 7d TA T+A EN NET 2r-A | 2n+4 2 2 2 2 Ángulos en radianes 0< 4<1/2. Escaneado con CamScanner 22 7 AA A Y la z mM de A tan(0)= 14 mm, * mm Em [Las Pendientes Ano ión de dos a o Mi Y me de lag 7 |interseccl 9=180"-a rectas y, rectas 3 Xx o Y | 0=a o PA Las pendientes i Mm =M mm Y me de las 8 paralelismo IA fecar diy E 0 x 2 e y ndición . oe 8=90 mm =—1 Las pendientes 9 on 8 m=-1/m: as E Perpendicularidad 7] NN mm =-1/m, s Y Y Pitsto Y Y Las Área de un triángulo y x, coordenadas 10 |(47) x, y, 1 ; e los venices Área de polígonos NÓ At==kx ll Ap=- 1, P2 a del pe cc ES =P Y lo 4p= . Polígono, P: regulares (4p) 1] x 2 e, y, 1 2 Papo P 20 - orden a seguir. An Y cur Y Y Escaneado con CamScanner Formas de la ecuación de la recta 23 concepto Figura Fórmula Cantidades] [Fo | E conocidas [| La pendiente m Forma de la _ +b yla ordenada pendiente y y =mx en el origen 5 41 [ordenada en el origen [E y 2 Los Forma general Áx + By+C=0 coeficientes de 12 ai > la forma x general A, By Cc. y Pendiente, abcisa y 2 Si Ax + By+ C=0 Los ordenada en el entonces coeficientes de 13 [origen de la forma > m=-AlB;a=-C/A; b=-C/IB |laforma general D x general A, B y Cc. y P(x1,y1] ñ La pendiente m orma punto Fl -=Y =m(x- y el punto 14 | pendiente yy mis) Pray1). > 0 x y P2(x2,y2] 2 Los dos puntos YY Pa(xiya) y de Forma de dos Z£, y Y= Ñ > [xx]: 1, +x, | Pu(r2,») sobre os —P1x1y1) > 2% la recta. D x EY Fi . Y B(0,b] La abscisa y la Pe simétrica, x ordenada en el la cisa y ordenada i 2424=1 origen (a,0) y al Origen) A(a,0) a (0.5). ¡3 7] — Los coeficien- Distanes y PlfxLy1) tes de la forma pla de un general A, B, € 1 [79 a una recta a |Ax+ By+ d y el punto =P Puqsiy1) fuera A | 5] ix VB de la recta. pS Formulario de matemáticas para Ingenieros Escaneado con CamScan eS nel ATA r