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todas las formulas de vectores con detalles
Tipo: Apuntes
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Características de un vector A un vector lo representa una flecha, cuya longitud es proporcional a su valor numérico, llamado módulo del vector. Otras características del vector son: La dirección , o recta sobre la que está. Sentido , que lo marca la flecha del vector (su segmento o dirección tendría dos posibles sentidos opuestos). Punto de aplicación , que coincidiría, en su caso, con el punto origen del vector.
En el plano, un vector tiene dos dimensiones. Por tanto se puede descomponer en sus componentes en el eje de las x y en el eje de las y : Un vector en el espacio tiene las tres dimensiones. Vector unitario
Un vector se puede expresar en función de sus componentes: Pero también queda caracterizado por las coordenadas del extremo del vector: En el plano sería:
Vectores libres Vectores deslizantes Módulo de un vector Conocidos los componentes cartesianos de un vector podemos saber el módulo de un vector. Si tenemos un vector en el plano: El módulo del vector será, aplicando el teorema de Pitágoras:
Si el vector está en el espacio, en 3D, la expresión sería, como se ha dicho antes: El módulo del vector en 3D, como fácilmente se puede comprobar, por aplicación sucesiva del teorema de Pitágoras, sería:
Otro procedimiento para la sumarlos es el método del paralelogramo. El método del paralelogramo es un procedimiento gráfico sencillo que permite hallar la suma de dos vectores. Primero se dibujan ambos a escala, con el punto de aplicación común. Seguidamente, se completa un paralelogramo, dibujando dos segmentos paralelos a ellos. El vector suma resultante ( + ) será la diagonal del paralelogramo con origen común a los dos vectores originales. El método del triángulo o método cabeza-cola es una variante del método del paralelogramo. Se desplaza el vector paralelamente hasta el extremo del vector. El lado que completa el triángulo es el vector suma ( + ), cuyo inicio está en el extremo del primer vector y su fin en el final del segundo vector sumando.
Mediante las dos fórmulas equivalentes anteriores, derivadas del teorema del coseno obtenemos el módulo del vector suma. Se aplica sobre el ángulo (180° – α), opuesto al lado ( + ) del triángulo. Como en los ángulos suplementarios se cumple que: Ejemplo: Sean dos vectores en un plano de módulos 2 y 3, que forman un ángulo de 60° ¿Cuál es el vector suma? El vector suma será la diagonal del paralelogramo con origen en el punto de aplicación de ambos, o, lo que es lo mismo, el lado que completa el triángulo con el método cabeza-cola. El módulo del vector suma será:
Otro procedimiento para la resta es el método gráfico. Ahora, con el método del paralelogramo tendremos que poner en el punto de aplicación del primer vector el punto de aplicación del vector opuesto. En otras palabras, la resta de dos vectores equivale a sumarle al primero el opuesto del segundo: Gráficamente, y tomando la resta de los mismos que los del caso de la suma por el método gráfico del ejemplo anterior. Por el método del paralelogramo: O cabeza-cola:
Vemos que la fórmula para hallar el módulo del vector resta es la misma que la del vector suma, teniendo en cuenta que ahora el ángulo que forman los vectores es el suplementario (ver ángulos suplementarios) del tomado en la suma. En este ejemplo concreto, el módulo del vector resta seria 2,65. (Ver el teorema del coseno) Al igual que en la suma de vectores, en la resta tenemos los procedimientos gráficos del paralelogramo y el del triángulo o cabeza-cola. Vemos en las figuras cómo cambia el sentido cuando se invierte el orden de los términos de la resta. Invirtiendo términos en la resta: En las figuras se han superpuesto el método del paralelogramo en la suma con el de cabeza- cola para la resta. Propiedades de la suma y resta de vectores La suma de vectores tiene las propiedades: Asociativa : Conmutativa : Elemento opuesto:
Si los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, el producto escalar será el producto de sus módulos (cos 0° = 1). En este caso, si los dos vectores fuesen iguales, el producto escalar sería igual a: Si los dos vectores tienen la misma dirección pero sentido opuesto, el producto escalar será el producto de sus módulos con signo contrario (cos 180° = - 1). Si los dos vectores son perpendiculares, su producto escalar será nulo (cos 90° = 0). El producto interno (o escalar ) de dos vectores de los que conocemos sus componentes se puede resolver mediante matrices o determinantes :
Lo podemos expresar como el producto de una matriz fila por otra, columna: Ejemplo: En este ejemplo, el producto interno es - 2. Un caso de producto escalar sería el trabajo (magnitud escalar) que realiza una fuerza, cuando ocasiona un desplazamiento. Es el producto del módulo de la fuerza por la proyección sobre la dirección de ésta del desplazamiento producido. Producto vectorial
módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman. Para indicar el producto vectorial se usa tanto la notación x como ∧. Aquí utilizaremos la notación ∧. La dirección del vector producto vectorial ( ) es perpendicular al plano que forman y y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos). El módulo del vector es igual al número que representa el área del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iníciales.
El producto vectorial cumple la propiedad distributiva : Un ejemplo de producto vectorial es el momento de una fuerza respecto de un punto O. Este momento es otro vector producto vectorial del vector posición , del punto de aplicación de la fuerza referido a O, por el vector fuerza. O sea, = ∧. Producto mixto: Producto de tres vectores Consideraremos el caso del llamado producto mixto de tres vectores. Es un número o magnitud escalar que se obtiene, partiendo del producto vectorial de dos vectores y , multiplicado escalarmente por un tercer vector. En primer lugar, se resuelve el producto vectorial. El vector resultante se multiplica escalarmente por el vector. El producto mixto es numéricamente y en valor absoluto igual al volumen del paralelepípedo formado por los vectores , y. Efectivamente, hemos dicho antes que el módulo del producto vectorial es igual al área que forman los vectores factores, y. El módulo del producto escalar es:
Donde │ │ · cos α) es la altura h del paralelepípedo formado por los vectores , y , cuando se toma como base la cara formada por ,. Esta es la demostración de que el producto mixto es igual al volumen del paralelepípedo de la figura.
