Función Beta, Resúmenes de Matemáticas

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Función Beta

SEMANA 03 SESIÓN 01

Matemática para

ingenieros 2

ESQUEMA DE LA UNIDAD INTEGRALES IMPROPIAS FUNCIÓN GAMMA ÁREAS EN COORDENADAS POLARES FUNCIÓN BETA (^) COORDENADAS POLARES GRÁFICAS DE CURVAS POLARES

DEFINICIÓN

Siendo 𝑥 > 0 se define:

0 +∞

−𝑡

𝑥− 1

❑ Γ 𝑥+ 1 = xΓ 𝑥

2

❑ Γ 𝑛+ 1 = 𝑛!; 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 n ∈ ℤ

𝝅 𝒔𝒆𝒏(𝝅𝒙)

; cuando 𝟎 < 𝒙 < 𝟏

FUNCIÓN BETA DEFINICIÓN Siendo 𝒙 > 𝟎; 𝐲 > 𝟎se define:

0 1

𝒙− 1

𝒚− 1

0 1

𝒙− 1

𝒚− 1

0 1

𝒙− 1

𝒚− 1

FUNCIÓN BETA PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN BETA ❑ 𝛽 (^) 𝑥;𝑦 = 2. (^) ׬ 0 𝜋 (^2) (𝑠𝑒𝑛𝜃)^2 𝑥−^1. (𝑐𝑜𝑠𝜃)^2 𝑦−^1 𝑑𝜃 ❑ 𝛽 (^) 𝑥;𝑦 = (^) ׬ 0 ∞ 𝑢𝑥−^1 (𝑢+ 1 )𝑥+𝑦^

𝛤(𝑥).𝛤(𝑦) 𝛤(𝑥+𝑦) Demostración 𝛽 (^) 𝒙;𝒚 = න 0 1 𝑡 𝒙− 1

. ( 1 − 𝑡) 𝒚− 1 𝑑𝑡 Sea: 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 Derivando m.a.m 1 =

2 𝜃 ) 𝑑𝑡

d𝑡 = 2𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃 𝒕 0 1 𝜃 0 𝜋 2 𝛽 (^) 𝒙;𝒚 = න 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 𝒙− 1

. 1 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜃 𝒚− 1 (2𝑠𝑒𝑛𝜃. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑑𝜃) 𝛽 (^) 𝒙;𝒚 = 2 න 0 𝜋 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 𝒙− 1 . 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝟐𝒚− 1 . 𝑑𝜃

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN BETA

2 ; 1 2

FUNCIÓN BETA

Ejercicio explicativo 1

Calcule el valor de: 𝛽 4

3 , 2 3 𝛽 (^) 𝑥;𝑦 = 𝛤(𝑥). 𝛤(𝑦) 𝛤(𝑥+𝑦) 𝛤𝑥. 𝛤 1 −𝑥 = 𝜋 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥) ; cuando 0 < 𝑥 < 1 Γ (^) 𝑥+ 1 = xΓ (^) 𝑥 Γ (^) 𝑛+ 1 = 𝑛!

Calcule: ׬

0 𝜋

2 𝑠𝑒𝑛^5 𝑥. 𝑐𝑜𝑠^7 𝑥𝑑𝑥

Ejercicio explicativo 3 𝛽 (^) 𝑚;𝑛 = 2. න 0 𝜋 2 (𝑠𝑒𝑛𝑥) 2 𝑚− 1

. (𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 𝑛− 1 𝑑𝑥 න 0 𝜋 2 (𝑠𝑒𝑛𝑥) 2 𝑚− 1 . (𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 𝑛− 1 𝑑𝑥 = 1 2 𝛽 (^) 𝑚;𝑛 𝛽 (^) 𝑥;𝑦 = 𝛤(𝑥). 𝛤(𝑦) 𝛤(𝑥+𝑦) Γ (^) 𝑛+ 1 = 𝑛!

Calcule: ׬

0 𝜋

2 sen^6 𝑥𝑑𝑥

Ejercicio explicativo 4 න 0 𝜋 2 (𝑠𝑒𝑛𝑥) 2 𝑚− 1

. (𝑐𝑜𝑠𝑥) 2 𝑛− 1 𝑑𝑥 = 1 2 𝛽 (^) 𝑚;𝑛 Γ (^) 𝑥+ 1 = xΓ (^) 𝑥 Γ (^) 𝑛+ 1 = 𝑛! Γ (^1) 2 = 𝜋 𝛽 (^) 𝑥;𝑦 = 𝛤(𝑥). 𝛤(𝑦) 𝛤(𝑥+𝑦)

Datos/Observaciones ¡AHORA TODOS A PRACTICAR!

Ejercicio reto

Calcule: ׬

0 1

4

2

𝛽 (^) 𝒎;𝒏 = න 0 1 𝑡 𝒎− 1

. ( 1 − 𝑡) 𝒏− 1 𝑑𝑡 𝛽 (^) 𝑥;𝑦 = 𝛤(𝑥). 𝛤(𝑦) 𝛤(𝑥+𝑦) Γ (^) 𝑥+ 1 = xΓ (^) 𝑥 Γ (^) 𝑛+ 1 = 𝑛! Γ (^1) 2 = 𝜋