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FUNCIÓN BETA
Divide las di cultades que examinas en tantas partes como sea posible para su mejor solución. RENÉ DESCARTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios de integrales impropias mediante la función Beta de Euler
1.3. Función Beta de Euler
La función Beta de Euler β (m, n) es una función representada por una integral de nida con dos parámetros m y n. El integrando es discontinuo en 0 y 1 si m < 1 ; n < 1.
La función Beta de Euler es una función β : R+^ × R+^ −→ R, de nida como:
β (m, n) =
0
tm−^1 (1 − t)n−^1 dt ; m, n > 0
Esta integral es convergente para m, n > 0 ; y es impropia para valores m < 1 o n < 1. La función Beta de Euler se relaciona con la función Gamma mediante la siguiente fórmula:
β (m, n) =
Γ (m) Γ (n) Γ (m + n)
1.3.1. Propiedades:
β (m, n) = β (n, m) ; ∀m, n > 0
β ( 1 , 1 ) = 1
β
2 ,^
1 2
= π
β (m, n) = 2
(^) π/ 2 0 (sen(θ))
2 m− (^1) (cos(θ)) 2 n− (^1) dθ
Ejemplo 5. Determine el valor de β
2 ;^
1 2
Solución. :
β
2
2
2 +^
1 2
3 √π 4 ·
π 2!
3 π 8
Ejemplo 6. Calcular la integral:
(^1)
0
x − x^2 dx
Solución. :
Tenemos: (^1)
0
x − x^2 dx =
0
x (1 − x) dx =
0
x^1 /^2 (1 − x)^1 /^2 dx
0
x(^
3 2 −1)^ (1 − x) (^32) − 1 dx ≈
0
tm−^1 (1 − t)n−^1 dt
0
x(^
(^32) −1) (1 − x)
3 2 −^1 dx = β
2
2
Por lo tanto: (^1)
0
x − x^2 dx = π 8
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2
EJERCICIOS PROPUESTOS
- Determine los valores siguientes.
β(5; 7) ; β
Solución. :
R.: 23101 ; π
- Determinar el valor de la integral, si exis- te:
(^1)
0
x
dx
Solución. :
R.: 83
- Determinar el valor de la integral, si exis- te:
(^) π/ 2
0
sen^8 θcos^6 θdθ
Solución. :
R.: 2048 π
- Determinar el valor de la integral, si exis- te:
(^) π/ 2
0
sen(θ) · cos(θ) ·
tan(θ)dθ
Solución. :
R.: 14 Γ (1/4) Γ (3/4)
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2
TAREA DOMICILIARIA
Para dar las respuestas de los ejercicios, se pide que los valores de x para Γ(x) deben cumplir que 0 < x < 1 , esto se hace para trabajar con la serie de Laurent (tema que se trabaja en singularidades). Calcule las siguientes integrales impropias:
0
m^3 /^2 √ 1 m
dm
- ∫ 0 π cos^6 (x/2) dx
x^1 ,^25 √ (^4) x (^3) − 2 x (^2) + x dx
- ∫ 01 x^3
1 − x^2 dx
0
x
dx
0 x 4 √ 9 − x (^2) dx
Respuestas:.
- 16 / 15.
5 π 16
(sugerencia: haga la sustitución 2 θ = x)
- (^43)
- 152
- (^12835)
729 π 32
