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Función beta Ir a la navegaciónIr a la búsqueda Este artículo trata sobre función beta de Euler. Para otras funciones beta, véase Función beta (desambiguación).
Función beta. Representación de la función para valores reales positivos de {\displaystyle x} y {\displaystyle y}. En matemáticas, la función beta, 1 también llamada integral de Euler de primer orden, es una función especial estrechamente relacionada con la función gamma y los coeficientes binomiales. Está definida como la integral
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt}
para {\displaystyle x,y\in \mathbb {C} } tales que {\displaystyle {\text{Re}}(x)>0} y {\displaystyle {\text{Re}}(y)>0}. La función beta fue estudiada originalmente por Euler y Legendre. No obstante, su nombre le fue dado por Jacques Binet.
Índice 1Propiedades 2Relación con la función gamma 3Derivadas 4Otras identidades y fórmulas 5Aplicación 6Función beta incompleta 6.1Propiedades 7Función Beta Multivariada 8Véase también 9Notas 10Enlaces externos Propiedades[editar]
La función beta es simétrica, esto es
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)}
para toda {\displaystyle x} y {\displaystyle y}. La función beta se relaciona con la función gamma mediante
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}} La función beta también está relacionada con los coeficientes binomiales. Si {\displaystyle x,y\in \mathbb {Z} ^{+}} entonces de la propiedad anterior se sigue que {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {(x-1)!(y-1)!}{(x+y-1)!}}={\frac {x+y}{xy{\binom {x+y}{x}}}}} Relación con la función gamma[editar] Para verificar que se cumple la identidad
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}} consideremos el producto de dos factoriales {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{u=0}^{\infty }u^{x-1}e^{- u}du\int _{v=0}^{\infty }v^{y-1}e^{-v}dv\&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }u^{x- 1}v^{y-1}e^{-u-v}dudv\end{aligned}}}
Haciendo el cambio de variables {\displaystyle u=zt} y {\displaystyle v=z(1-t)} se obtiene {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{z=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{- z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}zdtdz\&=\int _{z=0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}dz\int _{t=0}^{1}t^{x-1}(1- t)^{y-1}dt\&=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y)\end{aligned}}}
Dividiendo ambos lados de la igualdad entre {\displaystyle \Gamma (x+y)} se obtiene el resultado deseado. Derivadas[editar] Tenemos que la derivada de la función beta pueden expresarse en términos de la función digamma y las función poligamma pues {\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
donde {\displaystyle \psi (x)} es la función digamma. Otras identidades y fórmulas[editar]
{2^{2k}(k!)^{2}}{(2k+1)!}}&\ \mathrm {si} \ n=2k+1;\\displaystyle {\frac {\pi ,(2k)!}{2^{2k+1}(k!)^{2}}}&\ \mathrm {si} \ n=2k.\end{cases}}} Función beta incompleta[editar] La función beta incompleta, es una generalización de la función beta, se define como
{\displaystyle \mathrm {B} (x;,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1},(1-t)^{b-1},dt}
Para {\displaystyle x=1} , la función beta incompleta coincide con la función beta completa. La relación existente entre las dos funciones es como la que hay entre la función gamma y su generalización, la función gamma incompleta. La función beta incompleta regularizada (o función beta regularizada para abreviar) está definida en términos de la función beta incompleta y de la función beta completa:
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}} La función beta regularizada es la función de distribución acumulada de la distribución beta y está relacionada con la función de distribución acumulada de una variable aleatoria {\displaystyle X} con distribución binomial con parámetros {\displaystyle n} y {\displaystyle p} como
{\displaystyle F(x)=\operatorname {P} [X\leq x]=I_{1-p}(n-x,x+1)=1-I_{p}(x+1,n-x)} Propiedades[editar] {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\I_{1}(a,b)&=1\I_{x}(a,1)&=x^{a}\I_{x}(1,b)&=1- (1-x)^{b}\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\end{aligned}}}
Función Beta Multivariada[editar] La función beta puede extenderse a una función con más de dos argumentos como {\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}} Esta función beta multivariada es usada en la distribución de Dirichlet.
