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DEBERES 2 - 2020 - 2020
Estudiante: Sun taxi Nasimba Grace Nicole
Curso: BF3- 003
Tema: Tarea2_U
FUNCIÒN DENSIDAD DE PROBABILIDAD
1.- Con los siguientes datos realice la prueba de normalidad de
a) KOLMOGOROV – SMIRNOF
Peso en kg
66,7 75,6 57 60,2 65 53,6 62,2 68,4 71,4 71,
94,4 77,4 71,7 53,1 40,9 72,4 53,8 29,6 82,4 63,
78,5 35,6 34,5 40 28,1 65,8 55,9 29 24,5 17,
50,5 67,4 46,8 48,2 65,9 57,4 74 23,4 68,1 74
64,5 65,7 82,2 77,5 70,5 89,8 60,1 66,9 58,9 32
74,1 22,5 63,4 58 62 53 59,2 29,4 72,9 18,
34,5 36 29 74,5 81,5 56,3 25 76,5 67 17,
68,9 77,9 71,8 70 55,3 62,8 71,4 23,3 32,9 70,
51,5 64,4 52 61,6 59,5 70,9 69,9 60,4 75,7 64,
61 25 66,5 50 74,6 69,8 25,8 72,5 64,8 64,
- Número de datos N=
- Hipótesis:
- Ho: los datos provienen de una distribución normal
- H1: los datos no provienen de una distribución normal
Max 94,
Min 17,
Rango 94 , 4 − 17 , 8 = 76 , 6
k 1 + 3 , 322 log
( 100
) = 7 , 644 ≈ 8
C
𝐶 =
76 , 6
7 , 644
= 10
10
11
3
14
28
27
5
2
0
5
10
15
20
25
30
17,8-27,8 27,8-37,8 37,8-47,8 47,8-57,8 57,8-67,8 67,8-77,8 77,8-87,8 87,8-97,
Frecuencuas absolutaas
Intervalos
Histograma
Clase Li Ls
Frecuencia
absoluta
1 17,8 27,8 10
2 27,8 37,8 11
3 37,8 47,8 3
4 47,8 57,8 14
5 57,8 67,8 28
6 67,8 77,8 27
7 77,8 87,8 5
8 87,8 97,8 2
N 100
N de
clase
Li Ls
fi (frecuencia
absoluta)
Xi
hi (frecuencia
relativa)
hiA hrE hiA - hrE
100 K - S 0,
Encontramos el estimulador de K - S
Grados de libertas
Comprobar prueba de uniformidad se acepta
Estadístico KS exp Estadístico KS teórico
Se Acepta Ho: los datos provienen de una distribución normal
2.- Con los siguientes datos realice la prueba de normalidad de
Peso Kg
60,7 73,
60,5 50,
32,6 75,
66,1 72,
65,0 62,
46,5 62,
37,3 58,
74,5 19,
84,5 53,
40,0 56,
59,0 54,
54,3 68,
55,0 74,
64,6 74,
61,0 22,
a) SHAPIRO WILK
i Xi (xi-med) ^ 2 Xi inv (Xi-xi inv) ai
ai*(Xi-Xi
inv)
CURVA NORMAL
1 .- Se realiza un experimento para comparar la efectividad de un compuesto químico para producir resistencia en el porcentaje de humedad en
productos textiles. Suponga que las medidas de resistencia a la humedad tienen una distribución normal con media de 11,9 y varianza = 1,21.
¿Qué porcentaje de las medidas de resistencia a la humedad es menor que 10,10?
𝝈
𝟐
1,21 𝝈 1,
𝝁 11,
𝑍 =
𝑋 𝑖
− 𝜇
𝜎
𝑍 =
10 , 10 − 11 , 9
1 , 1
= − 1 , 63
-3,
-2,
-1,
0,
1,
2,
3,
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Q-Qplot
𝐴 = 0 , 0516 = 5 , 16 %
2 .- Una compañía de productos químicos elimina sus residuos en un río situado en la vecindad. Para verificar el grado de contaminación creado por
estos residuos, se desea obtener algunas estimaciones. Suponga que los residuos de contaminante tienen una distribución normal con media de 1,
gramos por litro (g/l) y desviación estándar de 0,223 gramos por litro (g/l)
¿Cuál es la probabilidad de que los residuos del contaminante?
a) Sean mayores de 1,72 (g /L)
𝑍 =
1 , 72 − 1 , 7
0 , 223
= 0 , 08
𝐴 = 0 , 5319
𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 1 − 0 , 5319 = 0 , 4681
b) Entre 1,46 y 1,88 (g /L)
c) Inferiores de 2,05 (g /L)
3 .- Una empresa envasa un cierto producto en frascos cuyos contenidos cuantificados por su peso en gramos, tienen distribución normal, con
desviación estándar 5,50 g. Si el 10% de los frascos tienen un peso menor de 139 gramos,
¿Cuál es el peso promedio de ellos?
𝑖
El 10% = 0,01 = menor a 139 g
4 .- En un proceso productivo se producen 5000 frascos de café con una media (u) de 252,5 g y una desviación estándar ( 𝜎 ) 2,8 g, las
especificaciones para los frascos de café son; 250,0 g ± 5 g. Calcule:
Datos:
𝑖
𝑁 = 5000 𝑓𝑟𝑎𝑠𝑐𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑓é
d.- El valor de Z (α) si se trabaja al 90% de confianza
𝑍(α ) = + 1 , 28
e.-El valor de Z(α/2) si se trabaja al 9 9 % de confianza
Z (
α
f.- El valor de Z(α) si se trabaja al 9 9 % de confianza
α
CÁLCULO DEL TAMAÑO DE MUESTRA
1.- Un informe del Ministerio de Salud indica que de un lote de producción de 1000 cajas de cigarrillos, las cuales contiene 20 cigarrillos cada una, se
realizó un análisis del contenido de alquitrán el cual dio un valor promedio de 5,0 mg de alquitrán por cigarrillo. Sin embargo, no indica cuántos cigarrillos
se analizaron para obtener estos resultados ni da una medida de la variación de las observaciones de cigarrillo a cigarrillo. Consideré que la desviación
estándar del contenido de alquitrán es aproximadamente igual a 1 mg por cigarrillo, ¿cuántos cigarrillos habría que analizar?. Supóngase que se desea
un error de estimación menor que 0,1 mg con un nivel de confianza del 95%.
Datos:
95% + 2 ,5% = 97 ,5% = 0 , 975 = Z (
α
2
2
2
2
2
2.- Se sabe que la concentración de un componente en una mezcla líquida se distribuye aproximadamente en forma normal, con una variancia de 2,3095.
Se desea obtener una confianza del 90% de que el error al estimar la concentración media sea de 0,7. ¿Qué tamaño de muestra debería emplearse?
Datos:
2
90% + 5% = 95% = 0 , 95 = Z (
α
(
𝛼
2
)
2
2
2
(
𝛼
2
)
2
2
2
2
2
2
2
𝑛 = 12 , 67 𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
3.- En un proceso productivo se produjeron 5000 unidades de frascos de café, las especificaciones para el frasco de café son: media 250g y desviación
estándar 5g. Se requiere realizar un análisis para comprobar si los frascos de café cumplen las especificaciones indicadas. Cuál será el tamaño de la
muestra que se debe tomar si se quiere que el error no sea mayor a 1 gramo y se quiere tener un 95% de confianza.
Datos:
95% + 2 ,5% = 97 ,5% = 0 , 975 = Z (
α
2
2
2
2
2
4.- El punto de ebullición del azufre tiene una variancia (S
2
) de 0,6889 grados Celsius. ¿Qué tamaño debe tener la muestra para asegurar con una
confianza del 95% que el error para estimar el punto promedio de ebullición del azufre sea a lo más de 0,15 grados Celsius?
Datos:
2
95% + 2 ,5% = 97 ,5% = 0 , 975 = Z (
α
2
2
5.- Un químico prepara un producto diseñado para matar el 98% de un tipo particular de insectos. Que tamaño de muestra debe tomar si desea tener un
95% de confianza y quiere que el error sea del 1%.
Datos:
95% + 2 ,5% = 97 ,5% = 0 , 975 = Z (
α
(
𝛼
2
)
2
2
2
(
𝛼
2
)
2
2
2
2
2
2
2
𝛼/ 2
3
4.- Cinco determinaciones de la densidad de un líquido orgánico dieron los resultados 0,9132 - 0,9138 - 0,9129 - 0,9131 y 0,9133 g/cm3. Calcule un
intervalo de confianza del 95% para el promedio real de la densidad del líquido orgánico.
g/cm^
n 1 2 3 4 Desv. Esta Varianza Media
Densidad 0,9132 0,9138 0,9131 0,9133 0,00031091 9,66667E- 08 0,
3
5.- Las mediciones de la cantidad de cloroformo (microgramos por litro) de 40 muestras de agua potable de una ciudad produjeron los siguientes
resultados: media ( 𝑋
̅ ) = 34,8 y varianza (s
2
) =24,01. Calcule e interprete un intervalo de confianza de 97,5%, para la cantidad promedio de cloroformo
del agua potable de esta ciudad.
Datos:
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 = 34 , 8
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 = 24 , 01
𝑁𝐶 = 97 ,5%
𝑛 = 40
𝛼 = 2 ,5%
𝑍 (
2 ,5%
2
) = 𝑍( 1 ,25%) = 0 , 0125 = 2 , 24
𝑔𝑙 = 𝑛 − 1 = 40 − 1 = 39
𝛼/ 2
6.- Un investigador desea comprobar la hipótesis de que el punto de fusión de una aleación es (u) de 1000°C. El punto de fusión de esta aleación se
distribuye normalmente y tiene una desviación estándar de (δ) 10°C.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Xi 990,0 1005,0 995,0 1010,0 998,0 1008,0 998,0 1003,0 1000,0 1001,0 1002,0 1000,0 1000,0 1005,0 1000,0 1010,0 1010,0 1015,0 1015,0 1015,
a) Cuantas muestras debe analizar el investigador para estimar el punto de fusión de la aleación, si se quiere que el error no sobrepase los 5°C
y se trabaja al 95% de confianza. Utilice los datos de la tabla siguiente para hacer los cálculos siguientes.
2
2
2
2
𝑛 =
10
2
5
2
( 1 , 96 )
2
= 15 , 36
c) Con el tamaño de muestra calculada en la parte a de este problema, y con los datos elegidos de la tabla siguiente (para elegir los datos empiece
desde el dato n=1 hasta el n calculado en la parte a de este problema) estime la media de la población (x ---u), trabaje al 95% de confianza.
𝑢 = 𝑥̅ ±
𝑆
√
𝑛
𝑡
𝛼
2
𝑢 = 1001 ±
4 , 9713
√
15
∗ 2 , 145 = 1001 ± 2 , 75
97 , 25 − 1001 − 1003 , 75
d) Diga si la media de la población (u) se encuentra dentro del intervalo de confianza calculado en la parte b de este problema
𝑆𝑒𝑎: 𝑢 = 1000 °𝐶; 𝑢 1 = 1000 + 5 , 14 = 1005 ,14°𝐶
𝑢 2 = 1000 − 5 , 14 = 994 ,86°𝐶
Entonces, u si se va encontrar entre el intervalo de confianza.
7 .- Los siguientes datos representan la conductividad térmica del cloruro de metilo a las temperaturas (°C).
Y: Conductividad 0,115 0,123 0,135 0,149 0,163 0,173 0,189 0,
X: temperatura 10 37,7 65,5 93,3 121,1 148,8 176,6 204,
Se realiza tres determinaciones a: a 111,6 °C. 111,0°C, 110,8°C.
n
X:
temperatura
Y:
Conductividad (𝒙
𝒊
𝒊
𝟐
𝒊
𝒊
𝟐
𝒊
𝒊
4 93,3 0,149 - 13,875 192,51 6 - 0,007125 5,0766E- 05 0,
5 121,1 0,163 13,925 193,90 6 0,006875 4,7266E- 05 0,
Promedio
𝑥 3 =
0 , 78 − 0 , 022
0 , 294
= 2 , 57
𝑥 4 =
0 , 79 − 0 , 022
0 , 294
= 2 , 61
x1 x2 x2 x4 Media Desv. Estan
𝑢 = 2 , 5725 ±
0 , 0249
√ 4
( 3 , 1824
) = 2 , 5725 ± 0 , 039 𝑚𝑔
9 .- La determinación de níquel en aceites vegetales hidrogenados se puede realizar calcinando la muestra a cenizas, añadiendo molibdeno como
patrón interno y analizando por espectroscopia de emisión. Se prepara las solucione estándares que se indica en la tabla, se analizan una muestra de
aceite vegetal por cuatriplicado obteniéndose las siguientes señales de intensidad del equipo 0,85 - 0,86 - 0,87 - 0,86: Calcule la concentración de
Níquel con su intervalo de confianza en ppm en la muestra. Trabaje al 95% de confianza.
Intensidad 0,43 0,7 0,9 1,15 1,
Ni (ppm) 0,2 0,4 0,6 0,8 1
𝑥 =
𝑦 − 0 , 0223
1 , 135
𝑥 1 =
0 , 85 − 0 , 223
1 , 135
= 0 , 55
𝑥 2 =
0 , 86 − 0 , 223
1 , 135
= 0 , 56
𝑥 3 =
0 , 87 − 0 , 223
1 , 135
= 0 , 57
𝑥 4 =
0 , 86 − 0 , 223
1 , 135
= 0 , 56
x1 x2 x2 x4 media Desv. Estan
𝑢 = 0 , 56 ±
0 , 0071
√
4
( 3 , 1824 ) = 0 , 56 ± 0 , 01
10 .- Se prepara una serie de soluciones estándares de plata cada una por quintuplicado (tabla)
a).- Calcule las constantes a, b y r
Se quiere analizar el contenido de plata de una placas fotográficas por espectrometría de absorción atómica, se analiza por triplicado obteniéndose
los siguientes valores de intensidad del equipo 65 – 66 -- 68.
n Y X Xi-media Yi-media
(Xi-media)
^
(Yi-media)
^
(Xi-media) *(Yi-media)
media 52,4667 25
total 1750 6908,373 3468
𝑌 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑎 =
∑ (𝑥𝑖 − 𝑋
̅
)(𝑦𝑖 − 𝑌
̅
)
∑ (𝑥𝑖 − 𝑋
̅
)
2
𝑎 =
3468
1750
= 1 , 9817
𝑏 =
( 𝑌
̅
− 𝑎𝑋
̅ )
𝑏 = 52 , 4667 − ( 1 , 9817 )( 25 ) = 2 , 9245
R
2
=0,9948 =99, 48 %
r=0,99 74
b).- Calcule la concentración de plata con su intervalo de confianza. Trabaje al 95% de confianza.
Concentración en (mg/ml) 0 10 20 30 40 50
Intensidad de fluoresceína
n1 4 22 44 60 75 104
n2 3 20 46 63 81 109
n3 4 21 45 60 79 107
n4 5 22 44 63 78 101
n5 4 21 44 63 77 105
𝑥 =
𝑦 − 2 , 9238
1 , 9817
𝑥 1 =
65 − 2 , 9238
1 , 9817
= 31 , 32
𝑚𝑔
𝑚𝐿
𝑥 2 =
66 − 2 , 9238
1 , 9817
= 31 , 83
𝑚𝑔
𝑚𝐿
𝑥 3 =
68 − 2 , 9238
1 , 9817
= 32 , 84
𝑚𝑔
𝑚𝐿
x1 x2 x2 media Desv. Estan
𝑢 = 𝑥̅ ±
𝑆
√
𝑛
𝑡∝
2
𝑢 = 31 , 996 ±
0 , 6316
√ 3
4 , 303 = 31 , 996 ± 1 , 57
ESTIMACIÓN DE LA VARIANZA
1 - Estime el valor de Chi cuadrado para gl = n-1 = 7 - 1 = 6 y un 95% de confianza. χ (6; 0,05);
α = 5%, una cola
Datos:
𝑔𝑙 = 𝑛 − 1 = 7 − 1 = 6
𝑁𝐶 = 95% = 0 , 95
𝛼 = 5% = 0 , 05
𝑋
2
( 6 ; 0 , 05 )
2
2
[ 1 −
𝛼
2
; 𝑔𝑙]
2
2
[( 1 − 0 , 025 ); 4 ]
2
2
[ 0 , 975 ; 4 ] = 0 , 4844
2
2
2
2
2
2
2
1 , 13 × 10
− 7
= 9 , 33 × 10
− 7
5 .- Se analizó gravimétricamente una cierta muestra para determinar sulfatos y se obtuvieron los siguientes resultados en partes por millón: 6,390 - 6,
- 5 ,71 - 5,930 - 5,350 - 5,810 - 5,520 - 5,910 - 5,460 - 5,
𝑄(𝑑𝑖𝑥𝑜𝑛) =
𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑑𝑢𝑑𝑜𝑠𝑜 − 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜
𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 − 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟
=
6 , 99 − 6 , 39
6 , 99 − 5 , 35
= 0 , 37
𝑄𝑒𝑥𝑝 > 𝑄𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
𝛼 = 5% = 0 , 05 ; 𝑛 = 10
0 , 412 = 𝑄𝑡𝑎𝑏𝑢𝑙𝑎𝑑𝑎
0 , 37 < 0 , 412
Se trabaja con todos los datos
a) Estime el valor de la media de la población sobre el contenido de sulfatos, trabaje al 95% de confianza?
Datos:
n=
NC=95%
𝛼 = 5% = 0 , 05 𝑡 (
𝛼
2
) 0 , 05 / 2 = 0 , 025
𝑔𝑙 = 𝑛 − 1 = 10 − 1 = 9
𝑡( 0 , 025 ; 9 )
𝑡 = 2 , 262
𝑢 = 𝑥̅ ±
𝑆
√
𝑛
∗ 𝑡
(
𝛼
2
)
𝑢 = 5 , 888 ±
0 , 485
√ 10
∗ 2 , 262
𝑢 = 5 , 888 ± 0 , 347
1
2
[
𝛼
2
; 𝑔𝑙]
1
2
[
]
1
2
2
1
2
1
2
1 , 13 × 10
− 7
= 4 , 05 × 10
− 8
b) Estime el valor de la varianza de la población, trabaje al 95% de confianza.
2
2
[ 1 −
𝛼
2
; 𝑔𝑙]
2
2
[( 1 − 0 , 025 ); 9 ]
2
2
[ 0 , 975 ; 9 ] = 2 , 7004
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
= 𝟎, 𝟕𝟖𝟓
1
2
[
𝛼
2
; 𝑔𝑙]
1
2
[
]
1
2
2
1
2
1
2
S
2
