Betancourt García Alondra Xcaret
N°Control 23070129.
Cortes Zamarripa Javier
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García Orozco Jonathan Eduardo
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Unidad 2. Funciones.
2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
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Función inyectiva y biyectiva, Diapositivas de Cálculo diferencial y integral
Apuntes de repaso de temas de cálculo integral
Tipo: Diapositivas
2022/2023
1 / 9
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Betancourt García Alondra Xcaret
N°Control 23070129.
Cortes Zamarripa Javier
N°control 23070139.
García Orozco Jonathan Eduardo
N°control 23070137.
Unidad 2. Funciones.
2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
Función Inyectiva.
La función inyectiva es también conocida con el nombre de función uno a uno. Una función puede llegar a ser inyectiva si cada uno de los elementos que tiene el conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le corresponde. Esto quiere decir en otras palabras que no pueden haber más de un valor de X que posea la misma imagen Y. No en todas las ocasiones todos los elementos del conjunto final Y deben corresponderse con algún elemento que exista en el conjunto inicial X. Podemos decir que la función inyectiva se presenta cuando a cada uno de los elementos que tiene el dominio no le corresponde o no pueden tener más de una imagen en el codominio. En el área de las matemáticas, una función f: X ⇒Y es inyectiva si a elementos que son diferentes del conjunto X o dominio, les corresponden elementos diferentes en el conjunto Y o codominio de f. Esto quiere decir, que cada uno de los elementos del conjunto Y tiene a lo sumo una pre-imagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen. ¿Qué es la función inyectiva? La función inyectiva es el tipo de función de indica que a los elementos diferentes que tiene un conjunto inicial o dominio, le corresponden elementos diferentes del conjunto final o codominio, y cada uno de éstos no tienen una pre-imagen del dominio. Entre las propiedades de la función inyectiva mencionamos las siguiente: (^) La noción de la correspondencia tiene un papel básico en el concepto de relación y de función. (^) Si n es un número impar, entonces su dominio es todo el conjunto de los números reales. (^) Si n resulta ser un número par, el dominio estará entonces formado por los valores que hacen que el radicando sea positivo o cero.
Función Inyectiva (uno a uno). Cada elemento del conjunto de llegada corresponde como máximo a un elemento del conjunto de partida si x1; x2 € Dom(f); f(x1) = f(x2) x1 = x Determinar si la función f(x) = x² + 1 es inyectiva. f(x1) = f(x2) x1² + 1 = x2² + 1 x1² - x2² = +1 - x1² - x2² = 0 (x1 + x2) (x1 –x2) = 0 x1+ + x2 = 0 x1 – x2 = 0 X1 = -x2 x1 = x No es inyectiva
Función suprayectiva.
Una función es sobreyectiva, suprayectiva o exhaustiva, se presenta cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente, se puede definir de la siguiente manera: ∀y ∈ Cod f ∃ x ∈Dom f | f(x) = y Esto quiere decir, para cualquier elemento y para el codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f. En matemática, una función es sobreyectiva, si está aplicada sobre todo el codominio, es decir, cuando cada elemento de «Y» es la imagen de como mínimo un elemento de «X». Para que sea un poco más fácil de entender, podemos decir que cada conjunto o elemento de partida tiene que cubrir a los elementos del codominio o conjunto de llegada. Cada valor en una función sobreyectiva tiene que tener su pareja respectiva en el conjunto de llegada para que sea una función sobreyectiva. ¿Qué es una función suprayectiva? Decimos que una función es sobreyectiva o suprayectiva si todos los elementos que están en la imagen, Y tienen anti-imagen. En otras palabras, si para cualquier y de la imagen Y existe al menos un elemento x de la imagen tal que f(x) = y. Entre las propiedades de la función sobreyectiva mencionamos las siguientes: (^) Tiene dominio de la función el cual es el conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente, es decir, aquellos valores para los que la función está definida. (^) Con respecto a la imagen de la función tiene crecimiento, que incluye la creciente que ocurre si al aumentar la x, la y también se ve aumentada; y decreciente, que sucede si al aumentar el valor de x, el valor de y. Además tiene constante, si al variar x, la y se mantiene igual.
Una función es suprayectiva si cada elemento del conjunto de llegada corresponde por lo menos a un elemento del conjunto de partida. Rango = conjunto de llegada. Determinar si f: IR IR, tal que f(x) = x +2 es suprayectiva. f(x) = x + 2 y = x + 2 y – 2 = x Rango = y € IR Rango = conjunto de llegada IR = IR Si es suprayectiva.
Una función es suprayectiva si cada elemento del conjunto de llegada corresponde por lo menos a un elemento del conjunto de partida. Rango = conjunto de llegada. Determinar si f: IR IR, tal que f(x) = x² + 1 es suprayectiva. y= x² + 1 x² ≥ 0 …. (+1) x² + 1 ≥ 0 + 1 y ≥ + Rango = y € [+1; +oo] Rango ≠ C. de L. [+1; +oo) ≠ IR [+1; +oo) ≠ (- oo; + oo) No es suprayectiva.