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SOLUCIONARIO 198 8 Funciones ANALIZA Y CONTESTA ¿Qué magnitudes relaciona la función representada en un cardiograma? En un cardiograma se relaciona la diferencia de potencial de los impulsos eléctricos del corazón, medidos en milivoltios, con el tiempo, medido en segundos. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente? La variable independiente es el tiempo, y la dependiente, la diferencia de potencial de los impulsos eléctricos del corazón. ¿Qué es la bradicardia fisiológica? ¿Y la taquicardia? La bradicardia fisiológica es un número bajo de pulsaciones por minuto (menos de 50 sístoles por minuto) y la taquicardia es un número elevado de pulsaciones por minuto (por encima de 100 sístoles por minuto). OBSERVA Y SACA CONCLUSIONES Observa la gráfica de un electrocardiograma y señala dos características matemáticas de la gráfica que dan información al cardiólogo del estado del corazón. Respuesta modelo: la periodicidad, la amplitud de las ondas, los máximos y los mínimos, la concavidad y la convexidad... Y TÚ, ¿QUÉ OPINAS? El electrocardiograma permite conocer el estado del corazón y realizar diagnósticos sobre nuestra salud. Pero es nuestra responsabilidad llevar unos hábitos de vida saludables. ¿Crees que eres responsable tú con tu salud? ¿Qué comportamientos favorecen una vida saludable? Respuesta libre. Actividades propuestas 1. Observa las gráficas de las siguientes correspondencias entre dos conjuntos. D Y 0) Y O X (9 X a) ¿Las correspondencias son funciones? b) ¿Las correspondencias son inyectivas? a La correspondencia de la gráfica | no es función porque para cada valor de x no hay un único valor de y. Por ejemplo, six=-1>y=1ey=3 La correspondencia de la gráfica Il sí es función porque para cada valor de x hay un único valor de y. b) La correspondencia de la gráfica | sí es inyectiva porque si f(x) = f(X2), entonces xy = Xz, La correspondencia de la gráfica Il no es inyectiva, ya que si sustituimos el valor de x por 2 y por -2 se obtiene el mismo valor de y. Es decir, £2) = Ñ-2) = -2. 2. Actividad resuelta. Unidad 8| Funciones SOLUCIONARIO 3. De las siguientes correspondencias, indica cuáles son funciones. En caso afirmativo, indica la variable dependiente e independiente. a) Cada estudiante de una clase anota el deporte que practica. b) A cada número natural le corresponde su cubo. Cc) y=x*-2x a) No es una función, ya que cada estudiante puede practicar más de un deporte. La variable independiente son los estudiantes y la dependiente, los deportes. b) Es una función, ya que a cada número natural le corresponde un único número natural. La variable independiente son los números naturales y la dependiente, los números naturales. c) Es una función, ya que a cada valor de x le corresponde un único valor de y. La variable independiente es x y la dependiente, y. De las correspondencias del ejercicio anterior, señala las que son inyectivas. Justifica tu respuesta. a) Cada estudiante de una clase anota el deporte que practica. Esta correspondencia no es inyectiva porque puede haber varios estudiantes que practiquen el mismo deporte. b) A cada número natural le corresponde su cubo. Esta función es inyectiva porque números diferentes tienen cubos diferentes. c) y=xX*-2x Esta función no es inyectiva porque si sustituimos el valor de x por O y por 2, se obtiene el mismo valor de y. Representa gráficamente la función a trozos: x+1 55x<-A f(x) =3-x+2 1
2 Por tanto, la función definida a trozos en el intervalo [-3, 3] es: 4-2x si -3 hI(2)=[F(2) + 9(2)] :h(2)=6- 77 =3 si fo) = = y g(x) = Y - 1, calcula la expresión algebraica y el dominio de las funciones: f a) (f+9) b) (f- 9) c) y d) >|e SA) 6 5 f+ g)= 24= re 1 1 > D(f+ g)= R-(1) = (=o, 1) U (1, +00) 5(x?-1 - E E) A Da rn = a UE c) Si Aaa oli) R-(-41) = (o, 1) U (41, 1) u (1, +00) Un. 5 e) +1 gy = (oo 0 a 2-41: > - - - >o(2) DKf) em D(g) con f(x) 4 0= ( hl0) c) (1-9) a) (9-6) a) (> 900 = 11900] =13x+ 1) = 251:2_ 21 6) (n= 9h) = higo] = H3x+1)= V3x+1 3x+1-1 x . - - - 1x+2 x+2 x+2 , 4x4+5 b) (mo = 100 =1( Vx) = 9 (n= a a Calcula, aplicando la definición, los valores de (g > f(-2), (g > M(3), (f > g)(0), si fx) => - 3x + 5 y a). (9 > 12) = glf-2)] = al2) -3 - (22) + 5] = 9(15)=1 (9 - (3) = g[f(3)] = gía? - 3 : 3 + 5] = g(5) no existe porque 5 no pertenece al dominio de g(x). (f= 9N0) = A9(0)] = ES 5)" 12) = (2 -3-(2)+5=15 sm] Funciones | Unidad 8 201 SOLUCIONARIO 202 21. ¿Cuál es el dominio de las funciones g > f, f> g, fo Fy go g si f(x) = 2x+1 3x-1 y a() x)= 2 x+2 x-4 D(M) = R-(-2) = (=0,-2) U (2, +00) y D(g) = R-(4)= (0,4) U (4, +0). 9 * f. Se buscan los valores x del dominio de ftales que f(x) = 4: 2x Z x+ ada Dt) f+ g: Se buscan los valores x del dominio de y tales que g(x) = -2: D(f= g)= (4) - [o ]u( E jus) 24320 1=4x+8> 7-23 x=-L Díg-1= a-(2- 3x-1 9 =-2>33x-1=-2x+8>xXx=> xa > TEMES f- f. Se buscan los valores x del dominio de ftales que f(x) = 2% 2 =-2>2x+1=-2x-4>x= - x+ Díf>p= r-(2 5) = (o, Jo Ju +0) 9 > g: Se buscan los valores x del dominio de g tales que g(x) = 4: 3x z =4>3x-1=4x-16>x=15 x= Díg > 9)= R-(-4,15) = (o, 4) U (4, 15) u (15, +00) 22. Actividad resuelta. 23. Dadas las funciones f(x) = x + 3, g(x) = 2 y h(x)= xé - 1. Calcula (h- g)>fy ho (go f). ¿Qué observas? x (h= 9) 1= (n= NON = (n= 9Nec+9)= hac an=h (2) ( 2 ) 1 +3 x+3 ho (9-0= hal = n= grama 2)= (2 +3 x+3 Se observa que la composición de funciones tiene la propiedad asociativa. 24, Actividad resuelta. 25. Verifica que f(x) = 4x+ 8 y g(x)= q? son inversas. (g > (o) = gl] = g(4x + 8) = +22 = AS = = =x > Rx) y g(x) son una la inversa de la otra. 26. Calcula la inversa de f(x) = 2x + 3 y confirma gráficamente que las dos funciones son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante. f(x) es una función inyectiva. y=2x+3=> LA >= Unidad 8| Funciones sim] SOLUCIONARIO 31. Completa estas gráficas en tu cuaderno para valores negativos de x, sabiendo que la función f es impar y la g es par. a) Y b) Y (10) yo 1 1 lo) X 0 XX a) Y b) Y 3) G Ll 4 X 01 X WN 1 NA f | 32. Estudia la simetría de las funciones: a) 0-3 c) h(x)=v4+x? e) ¡0)= b) gl) = 5 - 3x 9) 160 = 5x ) kb09=+27 a) La función f(x) no es par porque f(-x) * f(x) y tampoco es impar porque f(-x) + —f(x). b) La función g(x) no es par porque g(-x) % g(x) y tampoco es impar porque g(-x) + —g(x). €) La función h(x) es par porque h(-x)=/4+(=x) =V4+x? =h(x). d) La función ¡(x) es impar porque ¡(-x) = 5(-x) = -5x = —1(x) 2 e) La función ¡(x) es impar porque ¡(-x) = -H=-5(x) x 2- y f) La función k(x) no es par porque k(-x) * k(x) y tampoco es impar porque k(-x) * —k(x). 33. Actividad interactiva. 34, Actividad resuelta. 35. La siguiente gráfica corresponde a una función periódica cuyo periodo es T= 6, Y ¡AU oi X a) Cópiala en tu cuaderno y complétala en el intervalo [-6, 18]. b) Halla los siguientes valores de la función: (9), (31), [-13) y 2015). a) A _— [o X b) (9) =R3+6)=1f3)=1 £213)= 1-2: 6) = f(-1)=3 A31)=R1+5-6)=K1)=1 2015) = 5 + 335 - 6) =K5) = R—1 + 6) = R=1) = 3 204 Unidad 8| Funciones sim] SOLUCIONARIO 36. 37. 38. 39, Justifica que si se suman dos funciones periódicas del mismo período T resulta otra función periódica. ¿Cuál será el período de la función suma? Sean f(x) y g(x) dos funciones periódicas de período T. Entonces f(x) = Ax + T) y g(x) = g(x+ T). (F+ g)0c+ T) = fx + T) + g(x+ 7) = f(x) + g_o = (+ 900) Luego la suma de dos funciones periódicas de período T, es otra función periódica cuyo pefiodo también es T. Indica los puntos de discontinuidad y los intervalos de continuidad de las funciones representadas. a) Y b) Y I! Y 1 |] A / 4 ERES Xof 1 YX E y X 1 a) La función es continua en todos los puntos de su dominio; es decir, es continua en (-2, 1) u (3, 6). No tiene puntos de discontinuidad. b) La función es continua en [-2, 0) u (0, 3) u (3, 4) u (4, +00). La función es discontinua en x= 0,x=3yx=4. Dibuja en tu cuaderno la gráfica de una función que presente discontinuidades en los puntos x= -2 y x= 5. ¿En qué intervalos es continua la función que has representado? 1 si x<-2 Respuesta modelo: la función F(x)=42 si -23 4=x si x<1 2+x si x21 La función no tiene puntos de discontinuidad. a) La función es discontinua en x= 3. b) g(x)= sm] Funciones | Unidad 8 205 SOLUCIONARIO 44, 45. 46. 47. 48. 49. ¿Cómo son los máximos y mínimos de una función creciente en (—o, 1) U (2, 5) y decreciente en (1, 2) U (5, +00)? La función tendrá un mínimo en x= 2 y máximos en x= 1 y x=5. Dibuja la gráfica de una función que presente simetría par, con dominio en (—o, 0) U (0, +00), creciente en (0, 4) y decreciente en (4, +00). Indica cuáles son los máximos y mínimos de la función que has dibujado. Respuesta modelo: Y 2 $] X La función presenta un máximo en x = 4 y otro en x= 4. No tiene mínimos. Actividad resuelta, Estudia el crecimiento y el decrecimiento de las funciones: a) Ax) =2x+7, D(f) = [-5, 4] b) 9gb0 =4-x, D(g) = [-10, 0] a) Si tomamos dos valores del dominio x; y xz, tales que x, < x2, se cumple que 2x1 + 7 < 2x2 + 7 > f(x1) < f(X2). Por tanto, TVMf[x:, X2] > O y la función es creciente en todo su dominio. b) Si tomamos dos valores del dominio x+ y x2, tales que xy < x2, se cumple que E RS > f(x1) < A(X2). Por tanto, TVMf[x1, X2] > O y la función es creciente en todo su dominio. Indica si las siguientes funciones están acotadas superior o inferiormente y, en caso afirmativo, señala cuál es su cota. a) y b) Y 0 X 0 a) No está acotada superiormente. b) Está acotada superiormente por 2. Está acotada inferiormente por -2. Está acotada inferiormente por -3. Analiza si las siguientes funciones están acotadas o no. En caso de estarlo indica alguna de sus cotas. a) f(x)= 291 con dominio en (0, +00) b) a()=4x2+1 c) hx)=-2x a) 1 >0>2 41 > 2 > 2es una cota inferior de f(x). No está acotada superiormente. x x b) x>0>1+ > 1> 1 es una cota inferior de 9(x). No está acotada superiormente. c) La función es una parábola con vértice en x = 1. Por tanto 1 es una cota inferior de h(x). No está acotada superiormente. sm] Funciones | Unidad 8 207 SOLUCIONARIO 50. Indica si las funciones tienen asíntotas y en caso afirmativo, escribe su ecuación. a) Y Y b) 1 01 X a) Asíntota horizontal: y = 1 b) Asíntota oblicua: y = x Asíntota vertical: x Asíntota vertical: x = 1 51. Halla las asíntotas verticales y horizontales de las siguientes funciones, si las hay. 5 1 FO==— b) == ao Sa a) Asíntota horizontal: y = O b) Asíntota horizontal: y = O Asíntota vertical: x = 3 Asíntotas verticales: x=-—4 y x= 4 52. Calcula las asíntotas oblicuas de las siguientes funciones. 2 2x +3 a) f(x)= b) f(x)= 19 y 10-E 1 2 +3 3 a = = xXx b = = = ) fo) me o ) f(x) ri Asíntota oblicua: y = x — 1 Asíntota oblicua: y = 2x 53. De las siguientes correspondencias entre dos conjuntos indica cuáles son funciones y los conjuntos inicial y final. a) A cada coche su matrícula. b) A cada alumno de una clase, el año en que nació. €) A cada cuadrado perfecto, su raíz cuadrada. d) A cada triángulo rectángulo, el valor de su hipotenusa. a) Es una función porque cada coche tiene una única matrícula. El conjunto inicial está formado por los coches y, el final, por las matrículas. b) Es una función porque cada alumno nació en un único año. El conjunto inicial está formado por los alumnos y, el final, por los años de nacimiento. Cc) No es una función porque si a es un cuadrado perfecto, entonces a tiene dos imágenes: Ha. El conjunto inicial está formado por los cuadrados perfectos y, el final, por sus raíces. d Es una función porque cada triángulo rectángulo tiene una única hipotenusa. El conjunto inicial está formado por los triángulos rectángulos y, el final, por las medidas de las hipotenusas. 54, De las correspondencias del ejercicio anterior señala las que son inyectivas y justifícalo. a) Es una correspondencia inyectiva porque coches distintos tienen matrículas diferentes. b) No es una correspondencia inyectiva porque alumnos distintos pueden haber nacido el mismo año. c) Es una correspondencia inyectiva porque cuadrados perfectos distintos tienen raíces cuadradas diferentes. d) No es una correspondencia inyectiva porque triángulos rectángulos diferentes pueden tener igual hipotenusa. Por ejemplo, todos los triángulos cuya hipotenusa es el diámetro de una circunferencia y el vértice opuesto es un punto de la circunferencia, son triángulos rectángulos con igual hipotenusa. 208 Unidad 8| Funciones SOLUCIONARIO 210 59. Halla el dominio de las funciones: 2x+3 o) y= x+1 e) _ 1 + 4x3 1548 Y ars b) y =Yx+1 d) y=(3-x)(x+4) 1 y=43-|x| a) 2 +4x-3%0>x% 2:47 >D= R(-2217) = (200,27 Jo (247, 2447) 0(-2+4/7, +00) a y b) D= R= (o, +00) 0) +8%0>x*-2>D= R-(-2)= (=0, 2) U (22, +00) d) (3-x)(x+ 4)>0>-4D=[4, 3] e 25021 3 2D= (P,00) 2 2 % 3-1>0>-35xs3>D=[3,3] 60. Actividad resuelta. 61. Halla el recorrido de las funciones: a) y=5-2x con-2%x<3 C) y= 8-/9-x? 3 =6x- A R = [-1, 9]. b) La función es una rama de parábola creciente en el intervalo (-1, 3). Luego, (-1) = 7 y [3) = 9 > R=|[—7, 9]. €) D=[33, 3]. En este intervalo, 0<9-x7<9> 0 0> /9-x? >-3>8>8-V9-x? >5 >R=1[5, 8]. 1 +3 d) +3>3>0< si=0< 62. Se considera la función Ñx) = [4 - el definida en el intervalo [-3, 3]. Exprésala a trozos. Se expresa el valor absoluto como: si x<-2 4-x si x<4 . la-xe=( 2 La si -24 si 2f(x)=34-x? si -2 (9 h)] d) [(f- g)> a) 1 [(Meg>A h) [h-(g-M] ¿A la vista de los resultados anteriores se puede afirmar que la composición de funciones tiene la propiedad asociativa? = (DAY 1 - 9) = =mpe-2)= A a) (0-moo= ate =9[*)- (+) 2==6 e) (h- gl) = higo] = hlé 2) 22 fo 12 + MANOS = 1 - 1 b) [f> (9 > AI) = F> glh(x)] Á E )- E 1 [(h> 9) +A) = (A > gc +3) Ga 7 0) (f= 9) =1900]= Mé -2)=-2+3=xé+1 9) (9-00) = 900] = 9(x + 3) =(x+ 37 -2=xé +6x+7 17, 41 9) [(f- 9) MIO) = (f> o(*) = el H== h) [h> (9= DO) = [h> (9 + NILO = ALÉ + 6x +7) = ! 1 +6x+7 Como f- (g * h)l(x) = [(F > g)- h)I(x) y [(h + 9) - AO = [h - (g - Alx) se puede afirmar que la composición de funciones tiene la propiedad asociativa. Expresa la función h(x) = 2 -3x +1 como producto de dos funciones polinómicas de primer grado f(x) y 9g(x). ¿Puedes encontrar más de una solución para estas funciones? Como h(x) = (2x — 1I(x— 1), entonces una posible solución sería f(x) = 2x— 1 y g(x) = x- 1. Se pueden encontrar más soluciones: si Kx) = k(2x — 1) y g(x) = 2 (x— 1), donde k es un número real no nulo. Calcula la expresión algebraica de la función (f - g) donde 10-35 y g(x) = x-1 ¿Cuál es su dominio? (f- 910 =100:900= -(é=1)=5(x+ 1) y DIF: 9) =D() N D(g)= R-(1) porque D() = R-(1) y D(9)= R. Si D(f) = (o, 2) U (2, 4] y g(x) = x - 5x, determina el dominio de: a) (f+9) b) (F-9) e £ a £ g f a) D(f+9)=D(0) 0 D(g)=(=o,2) 0 (2, 4] e) o(£) =D(0) 0 D(g) y 90) 40= (0,0) (0,2) 0 (2, 4] b) D(f- 9) =D(B 0 Díg)= (co, 2) 0 (2, 4] a) o(2) = D(A n D(g) con fx) 40 sm] Funciones | Unidad 8 211 SOLUCIONARIO 74, 75. 76. Las gráficas siguientes corresponden a dos funciones f(x) y g(x). + FO), Y 607 Representa de forma aproximada en tu cuaderno las gráficas de las funciones: a) (f b) 29 c) f+g a) b) Y c) 1 E 1 2 Pi 01 X X 0 X Las siguientes tablas de valores corresponden a dos funciones cuyo dominio es [0, 10]. Una de ellas tiene función inversa, y la otra, no. Lx | 1 3|4|45| 6 |10 Ll] 3|4|45| 6 |10 y |tw|5|1|o|-3|-10 y|1]|5|6|62|7 | 56 a) Indica, justificando la respuesta, cuál de ellas no tiene función inversa. b) Escribe una tabla de valores correspondiente a la función inversa de la otra función. a) La tabla ll no es una función inyectiva porque f(4) = (10) = 6. Por tanto, como no es inyectiva, no tiene inversa. b) La tabla de valores de la inversa de la función | es: x 10 | 3 0 1 5 10 10 6 4,5 4 3 1 4x+2 Comprueba, mediante una tabla de valores, que las funciones 10)=hx- y g(x)= son una inversa de la otra. a) Represéntalas gráficamente en los mismos ejes de coordenadas. b) ¿Qué simetría observas entre ambas gráficas? Cc) ¿En qué punto se cortan las gráficas? d) ¿Por qué crees que ese punto de corte tiene sus dos coordenadas iguales? x 10| 4 -2 2 6 10 Xx 3 5 2 1 4 7 Rx) 31312] 4 7 ge) [ao] || 2 6 | 10 a) AÑ YAA p9 X 2d SA. LPGA b) A) y g(x) son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante; es decir, respecto a la recta y = x. Cc) Se cortan en el punto (-2, -2). d) Porque los puntos de corte de dos funciones inversas siempre pertenecen a la recta y = x. sm] Funciones | Unidad 8 213 SOLUCIONARIO 214 77. Actividad resuelta. 78. En los ejercicios siguientes determina la función inversa de f(x) de manera intuitiva e informal. Confirma después que AF (x)) = F (Rx) = x. a) fix) = 5x Cc) fix) = 6-3x b) fx) =x-7 a) f£(0)=Yx 1) A=+7 a) Al aplicar fa un valor de x se multiplica por 5. Entonces, la función inversa dividirá entre 5: f”(x) <Á . AF (o) = (Y) = 57- x y F (Rx) =F(5x) = X- x b) Al aplicar f a un valor de x se le resta 7. Entonces, la función inversa sumará 7: OS) =x+7. Ro) = + 7)=x+7-7=xyF (Ro) =P (x—7)=x-7+7=x Al aplicar f a un valor de x primero se multiplica por -3 y, después, se suma 6. Entonces, la función inversa x-6 -X €) primero restará 6 y luego dividirá entre —3: f-" (x) = 3 Ar) = (2 5 z)- 6- e 2) 6-6+x=x y F (Mo) =F(6-3x)= LAA. e d) Al aplicar fa un valor de x se calcula su raíz cúbica. Entonces, la función inversa elevará al cubo: ñ ()= é, ar00)=10)= Ve =x y ro) = 17 (Ux) = (Vx) =x Al aplicar fa un valor de x primero se resta 5 y, después, se divide entre 3. Entonces, la función inversa primero multiplicará por 3 y luego sumará 5: ñ () = 3x + 5. e) 3x+5-5 aro) = a+): =x y 0) =P $) fy g no son inversas. x+5 x+5 b) fy g son inversas. (E 900) = 900] = 108 +4)= A+ 44 =x y (99 000 = 91800] = 9( Vx=4)=(Vx=4) +4=x-4+4=x €) fy g son inversas. PO A Ax yto= n= aon=0(-7)- Xq xx Unidad 8| Funciones sim] SOLUCIONARIO 84, Estudia el signo de las siguientes funciones. 216 a) b) b) 2 £ Unidad 8| Funciones sim] 1)=2-1 0) h(x)= a 19. a) d) í(x) = («— 2)0é - 25) 1 kx) =9-25 La función f(x), con D(f) = R—(0), corta al eje X en el punto E o). Los intervalos a estudiar son: En (-x, 0): 1) = 3 > 0 > Positiva e. En E +2): K(1) = 1> 0 > Positiva DAD . En (o, 3) (a) -2 < 0 > Negativa La función g(x), con D(g) = R - (-1), corta al eje X en el punto (2, 0). Los intervalos a estudiar son: En (= 0 > Positiva + En(2, +0): g(3)= A > 0 > Positiva En (41, 2): g(0) = -6 < O > Negativa La función h(x), con D(h) = (1, +1) corta al eje X en el punto (0, 0).Los intervalos a estudiar son: En (-1, 0): h (-0,5) = -0,58 < O > Negativa « En(0, 1): h(0,5) = 0,58 > 0 > Positiva La función ¡(x), con D(/) = R corta al eje X en los puntos (2, 0), (5, 0) y (-5, 0).Los intervalos a estudiar son: En (=o, -5): (1-6) = -88 < O => Negativa + En(2, 5): (4) = -18<0 > Negativa En (55, 2): K[(0) = 50 > O > Positiva + En(5, +00): (6) = 44 > 0 > Positiva La función ¡(x), con D(¡) = R-(5) , corta al eje X en los puntos (2, 0) y (7, 0).Los intervalos a estudiar son: En (=o, 2): f-1) = 4 < 0 > Negativa + En(5,7): 6) =-4<0> Negativa En (2, 5): A3) = 2 > 0 > Positiva + En(7, +0): (8) = 2 > 0 > Positiva La función k(x), con D(k) = R corta al eje Xen los puntos (0, 0), 8 o) y E o) .Los intervalos son: 5 . 5 . En | —o, 3 : (2) = 44 > 0 > Positiva . En 03 :K(1) =-16 < 0 > Negativa En E o) 21) =-16 > 0 > Negativa + En E +2): R2) = 44 > 0 > Positiva SOLUCIONARIO 85. 86. La siguiente gráfica corresponde a una función periódica de período T= 6. Y 1 0| X a) Representa en tu cuaderno otros dos períodos de la gráfica de la función, uno a la izquierda y otro a la derecha. b) ¿Cuál es el recorrido de la función? c) ¿Está acotada? ¿Cuáles son sus cotas? d) Halla los valores de la función f(1), R-2), R[0), (27), -31) y (2016). €) ¿En qué puntos del intervalo [60, 70] la función es igual a -2? a) Y PABACÍA ¡m/ YT 110117 NES b) RA) = 1, 3] €) La función está acotada superiormente porque f(x) < 3 e inferiormente porque fx) > -1. d) A1)=2 K(0)=2 131) = 1-5 -6)= f(-1)=2 2) =3 (27) =K(3+4-6)=R3)=-1 f2016)= f0+ 336 - 6) =K[0)=2 €) La función no es igual a -2 nunca en el intervalo [-4, 2]. Como la función es periódica, entonces en ningún punto del intervalo [60, 70] la función es igual a —2. Halla la tasa de variación media de la función f(x) 1 en los intervalos siguientes: a) [1,3] c) [-5, -1] b) [2, 4] d) [-2, -1] ¿Tendría sentido hallar la TVM f[-2, 1]? ¿Por qué? Con los resultados obtenidos, ¿qué puedes decir acerca del crecimiento de la función? 1 3% 4 a) TM,31= 2 py runa, 4] E) (2)_ 12221 42 "22 4 €) TVMF-5,-1]= ren) 3 Ñ FF (2) _ 4+2 d) TVMA-2,-1]= -1+2 1 No tendría sentido hallar la TVM f-2, 1] porque la función no es continua en x= O, ya que D(f) = R-(0) Como la TVM es siempre negativa, la función parece ser decreciente en todo su dominio. sm] Funciones | Unidad 8 217 
