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474 Análisis Matemático 1 Cap. 5
Lo que puede verificarse con las fórmulas para m y b e n y = m * + b. No hay asíntotas.
Además, x ' ( t ) = 1 ------ — , y ' ( t ) = 3 t 2 - 3
t 2
Valores Críticos de t : o , ± l
d y _ y ' ( t ) _ 3 t 2
d x x ' í t )
d 2y = x(t)y"(t )* - y ’ W x " (t) = 6 1 3 d x 2 U ' ( t ) ] 3 t 2 - l
t X y d y / d x^ d 2y / d x 2 y = f ( x )
( - 0 0 , - 1 ) -^ o o^ <^ x^ <^ -^2 —^ o o^ <^ y < 2^ > 0 < (^0) r
{ - i - o) — 2^ >^ x^ >^ — o o^ 2 > y >^^0 >^0 >^ o^ y
( o- 0 +^ oo^ >^ x^ >^2 0 >^ y^ >^ - 2^ > 0^ < 0^ r { 1 , o o > 2 <^ x^ <^ o o^ -^2 <^ y^ <^ o o^ > o > 0 (^) y
La curva pasa por ( - 2 , 2 ) para í = - 1 , y por ( 2 , - 2 ) para f = 1.
17. SERIE DE PROBLEMAS. 1. Encuentre una ecuación para cada una de las rectas que pasan por ( — 16, — 3) y que sean tangentes a la curva y = ( x — l ) / ( x + 3).
Cap. 5 La Derivada^475
- Encuentre !a ecuación de cada una de las rectas normales a la curva
f ( x )= x 3 - 4 x que sean paralelas a la recta L : x + 8y - 8 = 0.
SUG.- L N : y - f ( s ) = - ( X - » ) = m ( x - x )
f l * o 1 donde m = — l / f ' ( x 0 ) = — 1/.
- Encuentre una ecuación para cada una de las rectas tangentes a la curva i 2
3y = x - 3 x + 6 x + 4 que sean paralelas a la recta 2x - y + 3 = 0.
SUG.- L t : y - f ( * 0 ) = f ' ( x o ) ( x - x Q ) , m = f ' ( x Q) = 2.
- Dada la función
f ( x ) = í * 2 S e n ( l / * ) + *. x * 0 demuestre que f , ( 0 ) = ,
l O , x = O
SUG.- Evalúe f ' ( 0 ) por definición, con el límite.
- Dada la función 2
x + Sen x x = O
f ( * ) = ; [ [ X + 0. 2 J + x 2 C o s ( l / x ) , X 5C O
halle f ' ( 0 ) , si existe, usando la definición de derivada.
SUG.- Siendo f ( 0 ) = O yl í m ( x + 0.2) = 0.2 ¿ Z entonces en una x —► O vecindad V § ( 0 ) (con O < 5 < 0.1 ) se tiene que [ [ x + 0.2 ] ] = O ,
V x e { - O. l , 0 .1 ) ; de modo que para efectos del límite buscado, en una ve
cindad pequeña a lre de d o r de 0 .2 : V g (0 .2 ) con 8 = 0.1 por ejemplo, la función es equivalente a :
o , x = o f ( * ) =. x 2 C o s ( l / x ) , x ^ 0 , x 6 Vg (0 .2 ) (re d u c id a )
6. Si f ( x ) = | x 3 Sen ( ■ ™ * ■■ ) | , halle f ' ( 0 ) por definición
x 2 + 1
SUG.- f (0) = 0 , | h | =^ ................... | h I h 2.
Cap. 5 La Derivada^477
. x 2 Sen ( 1 / x ) , x * O
a) f ( x ) = <{
O , x = O
b) f ( x ) = ^ x 3 / 2 C o s d / x ). x > O O , x = O
- Halle la(s) recta(s) tangente(s) trazadas desde el punto ( l , 2) a la curva descri- 2 ta por f ( x ) = x + 2 x.
16. Por el punto P de la curva de y - 2 t¡~x se trazan la normal a la curva y una
perpendicular al eje X determinando sobre éste los puntos T y S. Demuestre que la longitud del segmento TS es constante (independiente de P ).
SUG.- P = ( a , b ) L n : y — 2 - / a " = — V~a~(x — a ).
- Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva f ( x ) = 3 x - 8 que pasan por el punto ( 2 , — 44).
SUG.- Halle los puntos ( jcq , f ( x Q) ) de tangencia.
i en el punto cuya abscisa es igual a i.
SUG.- Halle ( l ) y f'_ ( l ).
- Si f ( x ) = ( t g 2 x — 1) ( t g 4 x + 10 t g 2 x + l ) / ( 3 t g 3 x ) , pruebe que
f ' ( x ) = ( 2 C o s e c x ) 4.
- Si f es diferenciable en x = a , demuestre que
x f ( a ) - a f ( x ) , h m = f ( a ) — a f ( a ).
x —y a x - a
21. Demuestre que el segmento de la tangente a la hipérbola y - a / x t compren
dido entre los ejes coordenados está dividido en dos partes iguales por el punto de contacto. (Considere a > 0 ). 2
- Halle la ecuación de la tangente a la parábola x = 4 c y en su punto
( x o , y Q ) • Demuestre que la tangente en el punto cuya abscisa es x Q = 2 c m
es L T : x = ( y / m ) + c m.
23. Halle la ecuación de la normal a la parábola y = x 2 - 6 x + 6 perpendicular
a la recta que une el origen de coordenadas con el vértice de la parábola.
24. Halle la tangente a la hipérbola y = ( x + 9 ) / ( x + 5 ) de manera que atraviese
478 Análisis Matemático I Cap. 5
el origen de coordenadas.
- Demuestre que las tangentes a la curva y = (1 + 3 x 2 ) / ( 3 + x 2 ) trazadas en
los puntos en que y = I t se cortan en el origen de coordenadas.
- Sean f y g funciones definidas en todo R que poseen las siguientes propieda des: i) f ( x + y ) = f ( x ) g ( y ) + f ( y ) g ( x ) ii) f y g son diferenciables en x = 0 , con f ( 0 ) = 0 , f ' ( 0 ) = 1 , g ( 0 ) = i , g ' ( o ) = o.
a) Demuestre que f es diferenciable en todo R y que f ' ( x ) = g ( x ).
b) Si además se sabe que g ( x + y ) = g ( x ) • g ( y ) —f ( x ) • f ( y ) , demuestre que g es diferenciable en todo R y que g ' ( x ) = — f ( x ).
- Sea f ( l / 2 n ) = i / 2 2n , para n = 1 , 2 , 3 ,... , y f ( x ) = o para
otros valores de x.
a) ¿Es f diferenciable en x = 0? b) ¿Cuál es la situación si se define
f ( — ) = — !— , para n = 1 , 2 , 3 ,...?
2 n 2 n
- Si f es diferenciable en a , evalúe
l í - f (a + 2 t ) — f ( a ) f (a + 2 t ) - f (a + t ) i) l i m 1■ , ii} l í m ■— ■.
t 0 t t ->■ 0 t
- Calcule las derivadas de las funciones:
a) f ( x ) = Sen ( Sen [ Sen ( x 2 ) ] )
b) g ( x ) = Sen ( 4 Cos [ 4 Sen (4 Cos 4 x ) ] ).
- Sea f un polinomio. El número a se llama RAÍZ DOBLE s i :
f ( x ) = ( x — a ) 2 ■g ( x ) ( para algún polinomio g ta lq u e g ( a ) * 0.
Pruebe que: a es ra íz d o ble de f a es raíz de f y f '.
31. Si f ( x ) = T a n ( — X ) + Se n 2 ( x C o s 2 x ) , halle f ' ( t t / 2 ).
- Determine g ' ( 0 ) si g ( x ) = ( x 2 + 2 x + 3 ) f ( x ) ,donde f (0 ) = 5 y
l í m [ ( f ( x ) — 5 ) / x ] = 4. SUG.- Pruebe que f ' ( 0 ) = 4. x -> o
- Si f ( x ) = | x - 8 | ( x - 8 ) 2 , halle todos los puntos donde f es diferenciable.
480 Análisis Matemático l Cap. 5
- Dada la función
f o o = í a J f 2 + b • x ^ 1. l / | x | , X > 1
halle los valores de a y b de tal forma que f ' ( x ) exista. 2
- Si f ( x ) = a x + b x + 2 , halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto ( 2 , 8 ) , que sea paralela a la recta tangente a la gráfica de g ( x ) = ( 4 / x ) + 6 , en el mismo punto.
- Demuestre que si f es diferenciable en a , entonces
r, ( x ,, f (a + h ) - f (a - h )
f ( a ) = h m h - 4 0 2 h
42. Sea f la función definida en una vecindad de x Q , al límite
f ( x. + h ) - f ( x - h) C ( O = l í m 0 0
si existe, se lellama LA DERIVADA SIMÉTRICADE f EN x o. [ Puede existir
f ' ( x Q ) sin que exista la derivada f ' ( * 0 ) ; por ejemplo, para la función
f ( x ) = | x | y el punto x Q = 0 :
f ' ( 0 ) = l í m J .h l ~ I z. - L = o , pero f ' ( 0 ) no existe. ] s h - f O 2 h
a) Demuestre que si f es diferenciable por la derecha y por la izquierda en el
punto x q entonces tiene d e r iv a d a s im é tr ic a , y que
b) Si f es diferenciable en x O , entonces f ' ( xb )o = f ' ( x r t ) .o
x Sen ( l / x ) , x * 0 c) Sea f ( x ) = ; demuestre que existe o , x = o
( 0 ) pero que no existe ( 0 ) ni ( 0 ).
- Dada la función ,.. x + x 3 S e n ( l / x 4 ) , x x 0 g ( x )
0. x = 0
Cap. 5 La Derivada 481
a) Pruebe que g es diferenciable en x = O.
b) ¿Es g ' continua en x - 0?
^ [ Sen ( n x 2 Cosji x ) ]
- Halle el siguiente límite: L = l í m
x 1
< /x 2
d x 2 2
| Cos ( — x ) |
- Si f ( x ) =
5^ 2 Sen ( 1 / x ) , x ^ 0
a) Halle f ' ( 0 ). b) ¿Es continua f ' en x = o?.
46. Demuestre que la derivada de una f u n c i ó n p a r es una f u n c i ó n i m p a r , y que
la derivada de una f u n c i ó n i m p a r es una f u n c i ó n p a r.
SUG.- Emplear la definición de Derivada.
- Sea x + i , x < 0
x , 0 < x < 1
f W = < 2 - x , > < * < 2
3 x — x 2 , x > 2
Analice la existencia y continuidad de f ' ( x ).
- Si f ( 0 ) = 0, f ( x ) = x n S en ( 1 / x 2 ) , n 6 Z , n > 0 ,
a) ¿Para qué valores de n , f ' ( x ) existe en x = o? b) ¿Para qué valores de n , f ' será continua en x = 0?
c) ¿Para qué valores de n , V será diferenciable en x = 0?
49. Si f ' ( x ) = S e n ( x 2 ) , y si y — f ( — ----- - ) , halle d y / d x.
x + 1
- Dada la función
g U )
x 5 / | x | , x * 0
- x = 0
Halle g ' ( x ) , g " ( x ) , g ' " ( x ) , g ^ 4^ ( x ) donde existan ; ¿son continuas?
Cap. 5 La Derivada^483
- Sea z = f ( u 2 ) , donde f es diferenciable en un entorno de 1 ;adem ás,
u 3 + y 3 = 2 x y , u es una función diferenciable de y.
Sabiendo que f ' ( l ) = - 1 / 2 , halle d z / d y para y = u = 1.
- Halle f ' , f " , f ' ( — 0.5) y f " ( — 0.5) , si existen, para
f ( x ) = | 2 x | T an ( t i [ [ x - [ [ x ] ] — O.s]] ) + [ [ x 2 + l j Sen [ 4 tí ( x 2 + 2 ) ]
para - 1 < x < 1.
SUG.- Pruebe que f ( x ) = Sen [ 4 n ( x 2 + 2 ) ) , para x e n :
< - l , - l / 2 ) , [ - 1 / 2 , 0 ) , [ 0 , 1 / 2 ) y [ 1 / 2 , 1 ).
- a) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva x 2 + 4 x y +
y 2 = 6 , que sean paralelas a la recta 3 x + 3 y = 8.
SUG.- Pendiente de todas las tangentes L T : m = - 1 ¿ por qué?
b) Halle las ecuaciones de las rectas tangentes L T a la elipse £ :
4 x 2 + y 2 = 7 2 que pasan por el punto ( 4 , 4 ).
SUG.- L y : y - y Q = m ( x - x Q ) , donde ( x 0 ,y Q ) € E , y
m = d y / d x en x = x Q. Además 4 x q^2 + y Q^2 = 7 2 ( * ).
Pruebe que m = y 7 = “ ( 4 * o / y o ) , yutilizando el hecho de que
( x , y ) = ( 4 , 4 ) € L t pruebe que y Q + 4 x Q = 18.
Utilice esta relación en ( * ) y encuentre las dos posibles soluciones para el punto de contacto ( x. y ). [ ( 3 , 6 ) ó ( 2 1 / 5 , 6 / 5 ) ]. 2 2
- ¿Qué ángulos forman al cortarse las curvas y = x , y = x?
- Halle las ecuaciones de las tangentes a la hipérbola x 2 / x - y 2 / 7 = 1 que sean perpendiculares a la recta 2 x + 4 y = 7.
- Aplique la fórmula de Leibniz para calcular la derivada: [ ( x 2 + 1) Sen x ] ^30^.
- a) Halle un valor aproximado mediante diferenciales de:
484 Análisis Matemático I Cap. 5
b) Halle el valor aproximado de z = ^ 81.6 V~8K
- Demuestre que en la astroide
x 2/3' +,^ y 2/3' -
= b 2 / 3 , ( b > 0)
el segmento tangente comprendido entre los ejes de coordenadas, tiene magnitud constante e igual a b..
69. Sea f ( x ) = x my,n ( m , n e Z + ). Mediante diferenciales se sabe que el
error porcentual en el cálculo de f ( x ) es aproximadamente igual a 0. 6 % cuan
do el error porcentual de x es 1 %. Calcule m y n sabiendo que suman 8.
- Calcule aproximadamente, |-------------- ; ----------- mediante diferenciales, el (2 .0 3 7 )" — 3
valor de la expresión: V ( 2 o3 7 ) 2 + 5
- Usando diferenciales, calcule f (0.00009) sabiendo que
11 ?Q ^ 1
f ( x ) = x + 2 x + 3 x + 2 x + x + 3.
- ¿En qué porcentaje aumenta el volumen de una esfera si su área aumenta en ( 1 /4 ) % (mediante diferenciales)?
SUG.- Pruebe que V = - i í - ( - A - ) 3/ 2 ,
3 4 tt
- Mediante diferenciales, aproximar el valor de 0..
- Utilizando diferenciales aproximar con 5 cifras decimales el valor de
= 7 + [S + (2 .9 9 )2 ] I / S
[ 270 - (2 .9 9 )3 ] 2/ 5
- La altura de un cilindro es 10 cm. y el radio cambia de 2 a 2.06 cm. Con dife
renciales calcule el cambio aproximado correspondiente en el volumen del cilindro
¿Cuál es el porcentaje de cambio en el volumen, es decir: ( t / V / V ) 100?.
- Demuestre que si se comete un error al medir el diámetro de una esfera, el error relativo del volumen de la esfera es tres veces el error relativo del radio.
486 A n á lis is M a t e m á t ic o 1 Cap. 5
cha escalera mide 2 V l 9 m. y el extremo B se acerca al punto o a razón de 16 c m / s e g. , ¿a qué velocidad sube el extremo A cuando éste diste 6 m. de 0?
SUG.- Sean x — l o n g. OA , z = l o n g. OB , w = l o n g. AB = 2 V 19.
Una barrera, en un paso a nivel, tiene dos brazos que giran alrededor del mismo eje OY. El brazo OA mide 6 metros y el brazo OB 8 metros, y ambos giran a razón de 2 5 r a d / m in. ¿Con qué velocidad (en m /s e g ) se acercan los extremos A y B , en el instante en que 0 mide 45°?
Para x > o , sea f ( x ) = - \ / x. Halle la razón instantánea de cambio del
área del triángulo formado por el Eje Y , la recta tangente T y la recta normal a la gráfica de f , en el instante en que T corta al Eje X en el punto ( 4 / 3 , 0 ) y w está aumentando a razón de 4 unidades/seg. donde ( w , 0) es la intersec ción de T con el Eje X.
Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto coronado por su parte superior por un cono circular recto cuya altura coincide con la del cilindro, y por su parte in ferior por un hemisferio. Si se sabe que el volumen del sólido permanece constante e igual a 54 cm3. ¿ A qué razón varía el área del sólido en el instante en que la altura del cono mide 3 cm. y aumenta a razón de 2lV~2~ cm/seg.
- Halle la variación respecto al tiempo del ángulo agudo formado por las diagonales de un rectángulo si el lado mayor crece a razón de 4 cm /seg. en una dirección y el otro permanece constante e igual a 10 c m. , en el instante en que el lado que crece mide 17 cm.
SUG.- T a n — = — ,
2 y
- Si se bombea agua en el tanque hemisférico que muestra la figura, a razón de 22.5 p ie s 3 / m i n. ¿Con qué rapidez está ascendiendo el nivel del agua, cuando está a 5 pies de profundidad en el centro?
Cap. 5 La Derivada - 487 -
SUG.- Volumen del Segmento Esférico = —^1 h 2 ( 3 r - h ). 3
- Dado un triángulo isósceles cuya base mide 16 cm. y cuyos lados congruentes están disminuyendo a razón de 3 m m / s e g. , ¿a qué razón está variando el área de éste, cuando la longitud de los lados congruentes es de 10 cm.?
- Un policía en un carro de patrulla se aproxima a una intersección a una velocidad de 40 m / s e g. Cuando se encuentra a 125 m. de la intersección, un carro la atraviesa viajando perpendicularmente al policía a una velocidad de 30 m /s e g. Si el policía enfoca su luz sobre el carro, ¿con qué rapidez está girando su luz dos segundos después, suponiendo que ambos vehículos continúan con sus velocida des originales?
- Un punto se mueve a lo largo de la curva
f ( x ) =
x 2 + 3 x , x < I
5x — 1 , x > 1
de modo que su abscisa cambie a razón de 5 unidades/seg. a) ¿Cuál es la razón de cambio de su ordenada? b) ¿Cuánto vale esta razón en el instante en que pasa por f ( x ) = 18?
- Un depósito cónico con un ángulo de 60° en el vértice tiene un pequeño orificio
en el vértice por el que escapa el agua a razón de 0.08 T V p i e s 3 / m i n. cuan do el nivel del agua está a " y " pies por encima del vértice. El depósito recibe el
agua a razón de c p ie s 3 / m i n. Cuando y = 6 pies se observa que aumenta a
razón de 0.02 p i e s / m i n. En tal caso, encuentre el valor de c.
- El diámetro y la altura de un cilindro circular recto miden, en un cierto instante, 10 y 20 cm. respectivamente. Si el diámetro aumenta a razón de l c m / m i n. , ¿qué variación de la altura mantendrá el volumen constante?.
Cap. 5 La Derivada^489
- La ordenada del punto que describe la circunferencia x 2 + i / 2 = 25 decrece a una velocidad de 1.5 c m /s e g ¿A qué velocidad varía la abscisa del punto cuando la ordenada llega a ser igual a 4 cm?
- Un caballo corre a 20 k m / h a lo largo de una circunferencia en cuyo centro se halla un farol. En el punto inicial de la carrera del caballo está ubicada una cerca que sigue la dirección de la tangente. ¿A qué velocidad se desplaza la sombra del caballo a lo largo de la cerca en el momento en que éste ha recorrido 1/ 8 de la circunferencia?
- Los puntos A y B se mueven a los largo de los Ejes X , Y , respectivamente, de tal forma que la distancia perpendicular r del origen a AB permanece
co n sta n te. ¿A qué rapidez está variando OA y está creciendo (o decreciendo)
cuando OB = 2 r y B está moviéndose hacia o a razón de 0.3 u n id a d e s /s e g , en el primer cuadrante? ? 2 2
SUG.- AB es tangente a la circunferencia x ~ + y = r.
- Una persona camina por el diámetro de un patio circular de radio 15 m a una velocidad uniforme de 34 m / m i n. Una lámpara en un extremo del diámetro perpendicular al diámetro sobre el cual está caminando proyecta su sombra a lo
largo del muro en el instante en que su distancia al centro del patio es x Q = 8.
- Un triángulo rectángulo variable ABC en el plano es rectángulo en B tiene un vértice A fijo en el origen y el vértice C sobre la parábola de ecuación
y = 1 + —^7 x 2. El vértice B parte del punto de coordenadas ( 0 , 1 ) en el
instante t = 0 y se desplaza hacia arriba siguiendo el EJE Y a una velocidad constante de 2 c m /s e g.
¿Con qué rapidez crece el área del triángulo cuando t = 7 /2 seg.?
- a) Si t seg. es el tiempo para una oscilación completa de un péndulo simple de L pies de longitud, entonces 4 n 2 L = g t 2 , ( g = 32.2 p ie s / s 2 ).
¿Cuál es el efecto sobre el tiempo si se comete un error de 0 .oí pies al medir la longitud de! péndulo?
b) Si L = i pie , y si el reloj se adelanta 5 minutos cada día, ¿cuánto debe
alargarse al péndulo para corregir el error?
2
- El tiempo (en seg.) de una oscilación de un péndulo está dada por t =
n 2 L / g , siendo L = lon g del péndulo (metros), g = 9.8. H a lle :
490 Análisis Matemático l Cap. 5
a) La longitud de un péndulo que oscila una vez por segundo. b) La alteración en t si el péndulo en (a) se alarga a 3 mm.
- Una persona está caminando sobre un puente a razón de 5 pies/seg mientras que una barca pasa por debajo del puente inmediatamente debajo de él a 10 pies/seg. El puente está a 20 pies sobre la barca. ¿Con qué rapidez se están alejando el hombre y la barca 2 segundos después?
- Halle el valor del parámetro que corresponde al punto dado sobre la curva dada en forma paramétrica: a) x = 3 (2 Cos t — Cos 2 t ) t y = 3 (2 Sen t — Sen 2 t ) ; ( — 9 , 0 )
b) x = t 2 + 2 t , y = t 3 + t ; ( 3 , 2 )
c) x = t 2 1 , y = t 3 - t ; ( 0 , 0 )
d) x = 2 T an t , y = 2 S en2 t + Sen 2 t ; ( 2 , 2 ).
- Demuestre que el segmento de la recta normal a la curva
x = 2a Sen t + a Sen t C os2 t , y — — a Cos2 t
limitado por los ejes coordenados tiene longitud 2 a , p a r a to d o t.
- Demuestre que en dos puntos de la curva
x = a (2 Cos t — Cos 2 t ) , y = a (2 Sen t — Sen 2 t )
que corresponden a los valores del parámetro t que se diferencian en 2 j i/ 3 , las tangentes son paralelas.
116. Evalúe d y / d x , d 2 y / d x 2 , para
a) x = 3t + 1 , y = t 2 - 2
b) x = t 2 - t , x = t 3 + I
c) x = — Cos3 t , y = — Sen3 t.
- Demuestre que x 2^ 3 + y 2 ^ 3 = a 2y^3 es una ecuación determinada por las
ecuaciones paramétricas x = a C o s 3 t , y = a S en3 t , t e [ 0 , 2 n ] ( ó t € R ).
- Para la curva que es la gráfica de:
x = t ( 4 - t 2 ) i 2 2
y = t (4 - O
para t e [ - 3 , 3 ]
demuestre que ( 0 , 0 ) es un p u n t o trip le de la gráfica y encuentre el valor de
492 A n á lis is M a t e m á t ic o 1 Cap. 5
- (^) Dos partículas comienzan a moverse en el mismo instante, la primera siguiendo el camino elíptico: C j : x = 2 — 3 Cos J it , y la segunda el camino parabólico:
y ss 3 + 7 Sen n t t t > 0 ,
C 2 : x = 3 t + 2 y = — [ 157 - 7 ( 3 1 + l ) 2 ) , t > 0
a) ¿En qué puntos, si existen, se cortarán los caminos? b) ¿En qué puntos, si existen, chocarán las partículas?
- Halle las asíntotas de la curva paramétrica:
C : x = 6 t / ( l - t 3 ) , y = 6 t 2 / ( t 3 - 1) , t * 1.
CLAVE DE RESPUESTAS
L
TI * y -^^3 =^ ( x^ +^ 5)^ ,
x o = ± 2 ; ( 2 , 0 ). ( — 2. 0 ) ;
4 y = ( x - l )
L N : y = — (1 /8 ) ( x ± 2)
* o = 0 ■ * o = 2 : ( 0 > 4 / 3 ) ' ( 2 > 4 ) :^ L T |^ :^ y^ -^ ( 4 / 3 )^ =^ 2 x^ ,
T2 * y^ -^4 =^ 2 ( x^ -^ 2)^.
- f ' ( 0 ) = O ; 6. f ' ( 0 ) = O.
7. L t : y - f ( x Q ) = f ' ( x 0 ) - ( x - x Q ) ; ( 3 , 7) € L T
x 0 - 2 ,
f ( x o ) = 3 P0^ =^ ( 2 ,^ 3)^.
, í m l í m^ -^2 O
, pero
| f ( h — 1) — 2 1 < | | h — 11 — 11 3 , donde h e ( - S , 8 ) - { 0 }
= I (1 - h ) - l 3 =^ | h |
O < I
f ( h - 1) - 2 I < | h |2 , y aplicando el Teorema del Sándwich:
{' ( — 1) = lí m
h —> O
f ( h - 1) - 2 = O.
9. L x : y - f ( a ) = f ' ( a ) - ( x - a)
Q = ’ f < * o ” 6 L
x_ = — 8a , f ( x j = - 2 í a
L T : y + 2 3 fa " =
12 a 2/^
( x + 8a)
C a p. 5 L a D e r iv a d a - 4 9 3 -
4 x , x > O I — x , x > O
10. f ( x ) = ■ , g ( x ) = i 2
2x , x < O x. x < O
f ' 9 (0 ) y g ' ( 0 ) no existen [ verifique con derivadas laterales ] ,
por ejemplo:
f ' ( 0 ) = H m 1 * h ) - f 1 0 1. l l m. 4 h - » 0+ h h - f O + h
f 1 ( 0 ). l í m f ( 0 + h ) - f ( 0 ) = l í m h —► 0 ^ h —►O ^
=>- f ' ( 0 ) no existe. En forma análoga, g ' ( 0 ) tampoco existe.
2 x , x > 0 ( f ° g ) ( x ) = 2 x , x € R
2 x , x < 0
( f o g J 'O O — 2 ( V x 6 R i = > ( f ° g ) ' ( o ) = 2.
11- v ' = y [ * 2 + 3] - ( l * 2 - * l + * ) l / 2 - [X^ — X i + { x 2 ~ x \ ( 2 x - o ]
12. g ' ( x ) = l í m 6 ( x + h ) - 8 ( x ) = l í m
h —¥ O h h —► 0 h
= g ( x ) - l í m = g ( x ) - l í m f ( h ) = g ( x ).
h —> 0 h h —*■
- A = ( l / 2 ) ( 2 x o ) ( 1 0 / x o ) = 10.
- a) x * 0 t f ' ( x ) = 2 x Sen ( l / x ) — Cos ( l / x )
x = 0 , f ' ( 0 ) = l í m h S e n ( l / h ) = 0
h -¥ 0
b) x > 0 , f ' ( x ) = — x I / 2 C o s ( l / x ) + Sen ( l / x ) 2 V T
x = 0 , f ' ( 0 ) = l í m h * ^ 2 C o s ( l / h ) = 0.
h —¥ 0
15. L t : y - ( x ^ + 2 x Q ) = ( 2 x Q + 2 ) ( x - x Q) , (1, 2) 6 L x => x Q = 0
x Q = 2 , L T1 : y = 2 x , L T 2 : y - 8 = 6 ( x - 2).
16. y = 0 en L N , x = a + 2 = > long. TS = 2.
