LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS:
UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Educación Matemática
Segundo nivel o ciclo de Educación Media
Educación para Personas Jóvenes y Adultas
Guía de Aprendizaje Nº 2
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Funciones Cuadráticas: Una Herramienta de Modelación para la Educación Media, Monografías, Ensayos de Matemáticas
funciones cuadraticas funciones cuadraticas funciones cuadraticas
Tipo: Monografías, Ensayos
2023/2024
1 / 51
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LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS:
UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Educación Matemática
Segundo nivel o ciclo de Educación Media
Educación para Personas Jóvenes y Adultas
Guía de Aprendizaje Nº 2
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© Ministerio de Educación Avda. Bernardo O’Higgins 1371, Santiago de Chile
Guía de Aprendizaje N° LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes y Adultas
Primera edición, año 2013 Inscripción Nº 223.
Autores: Mauricio Huircan Cabrera Katherina Carmona Valdés
Colaboradores: Nicolás de Rosas Cisterna, Rosita Garrido Labbé, María Angélica Contreras Fernando, Pablo Canales Arenas y Carolina Marambio Cárcamo.
Edición: Jose Luis Moncada Campos
Revisión editorial matemática: Carla Falcón Simonelli
Coordinación Nacional de Normalización de Estudios División de Educación General
Impreso por: RR Donnelley
Año 2013 impresión de 99.000 ejemplares
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Walter Roberto Valdivieso Sepúlveda, Manuel Ernesto Urzúa Bouffanais.
Iconografía
Información
Atención
Tips
Página Web
Actividad
Actividad en el cuaderno
Evaluación
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
Presentación
D
ado el fenómeno de la globalización, hoy en día cada persona recibe un sin número de mensajes es- critos y hablados, en distintos lenguajes y códigos. Dentro de esta diversidad de lenguajes esiste el de las matemáticas; un lenguaje útil para modelar situaciones y resolverlas.
El material que la Coodinación Nacional de Normalización de Estudios, de la División de Educación General del Ministerio de Educación (Mineduc) pone a su disposición, entrega herramientas para comprender este lenguaje en el ámbito de las funciones cuadráticas.
La presente guía de aprendizaje está dividida en dos partes; En la primera, se inicia el trabajo desde la des- cripción gráfica de cada uno de los principales elementos de la función cuadrática, para luego explicar cómo se determinan estos elementos, (dominio, recorrido, orientación, vértice, ceros y ejes de símetria). Luego, con estas herramientas, se podrá desarrollar la segunda guía en la que se trabajan problemas aplicados de diver- sos ámbitos, que se pueden resolver través de funciones cuadráticas.
Esta guía pretende que cada estudiante comprenda que la función cuadrática es una herramienta matemática de gran utilidad para plantear situaciones o fenómenos que nos rodean. Para lograrlo es necesaria una ade- cuada comprensión de los contendidos y la aplicación de las estrategias de resolución de problemas que se entregan an las siguientes páginas. Se sugiere que el o la estudiante acuda al docente para aclarar dudas o procedimentos que no comprenda.
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
Guía de trabajo Nº 1
Función cuadrática
● Función cuadrática. ● Representación grá fi ca. ● Ecuación de segundo grado.
Contenidos:
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA
f(x) = 2 x^2 + 3 x -10,
a = 2 b = 3 c = -
Ejemplo : Dada la función:
La forma algebraica de una función cuadrática tiene las siguientes características:
- Siempre hay un término que contiene la variable elevada al cuadrado. La mayoría de las veces esta variable se designa por la letra x , pero también se pueden usar otras, por ejemplo, t.
- La expresión del lado derecho es un polinomio que tiene por lo general 3 términos, pero también puede tener nada más que uno sólo como en el ejemplo (b) ; o solo 2 como en el ejemplo (f)
A veces una función cuadrática no está dada en su forma general como es el caso del ejemplo (e) por lo que es necesario aplicar algún procedimiento algebraico para transformarla, así en ese ejemplo, f(x) = 2( x – 3)² + 3 queda: y = 2 x² - 12 x + 21.
Identifique los coeficientes a , b y c de las siguientes
funciones cuadráticas:
ACTIVIDAD
a) f(x) = 3 x^2 + 5 x - 10 d) f(x) = -2 x^2 + 3 x + 8
b) f(x) = 2 x^2 - 5 x e) f(t) = -8 t^2 + 32 t
c) f(x) = x^2 - 2 f) y = 1 - 2 t^2
a = b = c =
a = b = c =
a = b = c =
a = b = c =
a = b = c =
a = b = c =
Como ya se dijo, en una función cuadrática de forma f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0, las letras a, b y c se denominan coeficientes; el coeficiente c de una función cuadrática se llama constante.
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Función Valor de x a evaluar Función evaluada f ( x ) = x^2 + 5 x - 2 x = 0 f ( 0 ) = ( 0 )^2 + 5 ( 0 ) - 2 = - f ( x ) = x^2 + 5 x - 2 x = -1 f ( -1 ) = ( -1 )^2 + 5 ( -1 ) - 2 = - f ( x ) = x^2 + 5 x - 2 x = 1 f ( 1 ) = ( 1 )^2 + 5 ( 1 ) - 2 = 4 f ( x ) = x^2 + 5 x - 2 x = -2 f ( -2 ) = ( -2 )^2 + 5 ( -2 ) - 2 = - f ( x ) = x^2 + 5 x - 2 x = 2 f ( 2 ) = ( 2 )^2 + 5 ( 2 ) - 2 = 12 f ( x ) = x^2 + 5 x - 2 x = a f ( a ) = ( a ) 2 + 5 ( a ) - 2 = a^2 + 5 a -
EVALUACIÓN DE FUNCIONES CUADRÁTICAS
Evaluar una función cuadrática f(x) = ax^2 + bx + c , a ≠ 0, significa reemplazar el valor de x , por algún valor que pertenezca al dominio de la función.
a) f(x) = x^2 + 1
b) g(x) = x^2 - 4 x + 3
c) h(t) = t^2 - 4 t
x (^) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 y = f(x) = x^2 + 1^26
ACTIVIDAD Complete las tablas evaluando cada función cuadrática:
Ejemplo:
Evaluar f(x) = x^2 + 5 x - 2 en los valores dados:
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y = g(x) = x^2 - 4 x + 3^24
x
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y = h(t) = t^2 - 4 t^0 -
t
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
Descubriremos en general la forma típica de la gráfica de una función cuadrática mediante algunos. ejemplos que usted deberá completar.
Complete las siguientes tablas, ubique los puntos en el
plano cartesiano esbozando la gráfica de la función y responda:
ACTIVIDAD
1) f(x) = x^2
x y = (-5,25)
f(x) = x^2 (x,y) -5 25
- 0 1 2 3 4 5
y
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
2) h(x) = - x^2
3) h(t) = 16 - t^2
x (x,y)
- 0 1 2 3 4 5
y = h(x) = - x^2
-25 (-5,-25)
x (^) (x,y)
- 0 1 2 3 4 5
-9 (-5,-9)
3
6
9
12
15
18
21
y
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
24
27
**-
-**
2
4
6
8
10
12
14
y
- 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 t
16
18
**-
-**
h(t) = 16 - t^2
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Ejemplos:
1) f(x) = x^2 - 2 x - 3, a = 1 > 0
y
x
**-
- 3 - 2 2 3**
1
2
3
- - -
0 1
4
Esbozo
Orientación Cóncava
2) f(x) = - x^2 - 4 x + 5, a = - 1 < 0
y
x
1
2
3
4
5
6
8
9
- 5 - (^4) -3 -2 -1 2
7
0 1
Orientación
Esbozo
Convexa
Determine justificadamente si las gráficas de las funciones dadas en los ACTIVIDAD ejemplos 1, 2 y 3 son cóncavas o convexas.
y = f(t) =
3 4 t
(^2) - 3 t
t
Complete la tabla y esboce la gráfica:
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Actividad enel cuaderno
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
a) f(x) = 2 x^2 + 3 d) f(x) = 12 x - x^2
b) f(x) = 4 x + (2 - x ) 2 e) f(x) = - x^2 - 6 x + 13
c) f(x) = 2 x^2 - 8 x f) f(x) = x^2 - 4 x - 5
Observando las funciones cuadráticas, esboce la gráfica e
identifique su orientación o concavidad:
ACTIVIDAD
Esbozo
Orientación
Esbozo
Orientación
Esbozo
Orientación
Esbozo
Orientación
Esbozo
Orientación
Esbozo
Orientación
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
EJE DE SIMETRÍA DE LA PARÁBOLA
x =
- b
2 a
Observe cómo determinar el eje de simetría:
Ejemplo
f(x) = x^2 - 2 x - 3
y
x
- -
2
Eje Simetría
-1 1
Vértice (1,-4)
3
- -
0
1
2
3
Como a = 1, b = -2, c = -3 calculamos las coordenadas del punto de vértice, haciendo uso de la valoración de la expresión algebraica:
x = - b 2 a
x =
- (-2) 2 • 1 =^
2 2 = 1
Eje de simetría
x = 1
Determine y dibuje el vértice y el eje de simetría de la función,
f(x) = - x² - 4 x + 5; haga un esbozo de su gráfico apoyándose en
una tabla de valores.
ACTIVIDAD
-5 -4 -3 -2 - 1 1 2 3 x
y
2 1
3
4
5
6
7
8
9
0
En el tipo de funciones cuadráticas que estamos estudiando: f(x) = ax ² + bx + c , a ≠ 0; el eje de simetría es una recta vertical, paralela al eje y , que atraviesa la gráfica de manera que cada rama de ésta, separada por el eje, es el “reflejo” de la otra, asumiendo la idea de que éste simula un espejo. El eje de simetría intersecta a la parábola en el vértice y al eje X en el valor x que es la abscisa del vértice. La fórmula del valor x mencionado, conocida como Ecuación del Eje de Simetría es:
Segundo ciclo o nivel de Educación Media - Guía Nº 2
Educación Matemática - LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS: UNA HERRAMIENTA DE MODELACIÓN
a) f(x) = x^2 -4 x + 3 d) f(x) = 12 x - 2 x^2
b) f(x) = 2 x^2 - 8 x e) f(x) = - x^2 - 12 x + 3
c) f(x) = x^2 - 4 x - 5 f) f(x) = 3 x^2 - 15 x + 6
En cada una de las funciones cuadráticas, determine el eje de
simetría:
ACTIVIDAD
Eje de simetría
Eje de simetría
Eje de simetría
Eje de simetría
Eje de simetría
Eje de simetría
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