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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Una función es un modelo matemático que relaciona el valor de una magnitud con
los factores de los que depende.
Ejemplo:
En una empresa de producción el coste, ingreso y beneficio son funciones de la
cantidad producida
BQ beneficio
IQ ingreso
CQ te
Q producción
( )
( ) cos
Q es la variable independiente, C , I , B son las variables dependientes; un valor de Q
conocido determina los valores de C , I y B.
Ejemplo
Una empresa vende tres productos, del primero obtiene un beneficio de 10 € por
unidad vendida, del segundo 4 € y 7 € del tercero. Si llamamos x 1 , x 2 , x 3 a las
cantidades vendidas de cada uno de los productos, podemos expresar el beneficio en
función de ( x 1 , x 2 , x 3 ).
B ( x 1 , x 2 , x 3 ) 10 x 1 4 x 2 7 x 3 ,
con x 1 , x 2 , x 3 variables independientes, B variable dependiente.
Definición
Una función de n variables es una correspondencia entre un subconjunto de
n y
f : ...
( x 1 , x 2 ,..., xn ) f ( x 1 ,..., xn )
Para que la correspondencia sea una función, la imagen de cada punto debe ser
única.
Ejemplos
f ( x , y ) x y es una función.
x y z 0 , z ( x , y ) x y f ( x , y ) expresa la misma función de forma
implícita.
2 2 2 x y z no es una función, ya que para x 0 , y 0 se tiene que
z 1 , es decir, un mismo punto tiene dos imágenes.
Definición
Si el valor de la magnitud aparece despejado en función de las variables decimos
que la función está en forma explícita.
3
1 2 1 1
x
x x y f x xn y
Si el valor de la magnitud aparece en una ecuación que la relaciona con las variables
independientes decimos que la función está en forma implícita.
F ( x 1 ,..., xn , y ) 0 x 1 x 2 y 0
Ejercicio
Decidir si las siguientes expresiones son funciones, en qué forma están y cambiar su
forma:
2 y x 1 x 2 y x 1 y y y
1 2 3
2 ln( 1 ) 2 1 2
x x x y x x x x y y e
2 1 1 2 y
x x y e x x x y y
y
Definición
El dominio de una función f ( x 1 ,..., xn )de varias variables es el conjunto de puntos
que tienen imagen mediante f , es decir, el conjunto de puntos ( x 1 ,..., xn ) para los que
existe y f ( x 1 ,..., xn ).
Ejemplos
2 2 2 D f x y
x y f x y
Dados dos puntos a ( a 1 ,..., an ), b ( b 1 ,..., bn ) se define la distancia entre
ellos como
2 2 d ( a , b ) ( b 1 a 1 ) ... ( bn an ).
Se define la bola de centro a y de radio r como
B ar x talqued xa r
n ( , ) ( , )
_ Bola cerrada
B ar x talqued xa r
n ( , ) ( , ) Bola abierta
Geométricamente, la B ( a , r )es
en unaesfera
en unacircunferencia
en un ervalo
, int
3
2
Si r 0 , B ( a , r )representa un conjunto de puntos alrededor de a y muy cercanos a
a , conjunto que denominamos genéricamente entorno o vecindad de a.
Definición : Límite de una función
n f : en un punto
n x 0
lim ( ) 0 , 0 ( 0 , ) ( ( ), ) 0
f x L si talque six Bx d f x L x x
Las propiedades y cálculo de límites en funciones reales de variable real son
conocidas, veamos cómo actuar con funciones de varias variables.
Límite de una función
2 f :
GRÁFICAS 2
En este caso no podemos analizar la continuidad a través de las infinitas formas de
aproximarnos a un punto, pero sí podemos ver qué ocurre cuando nos aproximamos a
un punto en una dirección determinada.
Todo punto situado en la dirección de v es de la forma x x 0 v y si
0 x x 0 en la dirección de v. El valor de la función f en estos puntos será
f ( x 0 v ) fv ( x ) ó fv ( )
Observación
n f : pero fv :
x f ( x ) fv ( x 0 v )
Una vez fijados x 0 y v , el análisis de la función en la dirección de v se limita a
estudiar el límite de una función real de variable real.
Definición
Llamamos límite de f ( x ) en x 0 en la dirección de v y lo representamos como
lim ( ) 0
fv x x x
a lim ( ) lim ( 0 ) 0 0
fv x f x v x x
Observación
Si f x L x x
lim ( ) 0
, todos los límites direccionales deben existir y ser iguales a
L.
Si algún límite direccional no existe o toma algún valor distinto de L,
podemos afirmar que no existe lim ( ) 0
fv x x x
La existencia de todos los límites direccionales NO garantiza la existencia del
límite de la función.
Ejemplo
Estudiamos la existencia de límite de 2 1 2
1 2 1 2 ( )
x x
x x f x x en el punto x 0 ( 0 , 0 ).
Tomamos la dirección dada por un vector v para acercarnos al punto x 0 ( 0 , 0 ),
entonces vemos qué valores toma la función en los puntos x x 0 v ( v 1 , v 2 ):
2 1 2
12 2 1 2
2
12
2
2 1 2
1 2 0 ( ) ( ) ( )
v v
vv
v v
vv
v v
v v f x v
Si
( 0 , 1 ) ( ) 0
0
0
v f x v
v f x v No coinciden, por lo tanto, no existe límite en el
punto ( 0 , 0 ).
Definición
n f : es continua en x 0 si existe lim ( ) ( 0 ) 0
f x f x x x
; es decir, existe el
límite de la función en el punto x 0 y coincide con su valor en el punto x 0.
Continuidad en un conjunto
Sea
( , ) ( 0 , 0 )
2 2
2 2
k x y
x y x y
x y
f x y
¿Existe algún valor de k para que f ( x , y )sea continua en ( 0 , 0 )?
lim lim lim lim 1 1 (^20)
2
(^220)
2 2
x 0 y 0 x x x
x
x y
x y
lim lim lim 2 1
2
(^220)
2 2
(^0 0) y
y
x y
x y
y x y
Como no coinciden los límites iterados, la función no tiene límite en ( 0 , 0 ), por
tanto no existe ningún valor de k que haga continua a f ( x , y ).
Supongamos que queremos analizar el comportamiento local de una función
n f :.
Para funciones f : sabemos que
f x Decreciente
f x Creciente
( ) 0
f x Cóncava
f x Convexa
( ) 0
¿Cómo extender el análisis a funciones de
n ?
Recordemos que dado un punto x 0 y un vector v , la función
fv ( x ) f ( x 0 v ): es una función de una variable.
Definición
Llamamos derivada de f según el vector v en x 0 a
( ) lim
0 0 (^00)
f x v f x fv x.
Consideramos las direcciones de los ejes coordenados ei ( 0 ,..., 0 , 1 , 0 ... 0 ).
f ( x 0 ) ei se denomina i-ésima derivada parcial y se escribe ( x 0 ) x
f
i
Interpretación geométrica de la derivada parcial
GRÁFICAS 3
Ejemplo
2 f x 1 x 2 x 3 x 1 x x
lim
( , , ) lim
2 3
2 2 3 1
2 1 0
1 (^1230) 1
f x e f x x x x x x x x x x x
f
0 1 1
2 1 0
2 1
2 1 0
lim( 2 ) 2
lim
lim x x
x x x .
lim.
lim
( , , ) lim
3
3 0
2 3
2 2 3 1
2 1 0
1 (^1230) 2
x
x
f x e f x x x x x xx x x x x
f
Y del mismo modo, 1 2 3 2 3
( x , x , x ) x x
f .
Observación
( 1 , , n ) i
x x x
f se obtiene aplicando las reglas usuales de derivación a f ( x ,..., xn ),
considerando que xi es variable y x 1 ,..., xi 1 , xi 1 ,..., xn son constantes.
Ejemplo
Obtener las derivadas parciales de f ( x , y ) x sen ( x y ).
( x , y ) sen ( xy ) x cos( xy ) y sen ( xy ) xy cos( xy ) x
f
( , ) cos( ) cos( )
2 xy x xyx x xy y
f
Definición
Llamamos gradiente de una función f en un punto x 0 y lo escribimos f ( x 0 )al
vector formado por las derivadas parciales de f en el punto x 0.
1
0 x x
f x x
f f x n
Si
n m f ( f 1 ,..., fm ): , cada función f (^) 1 ,..., fm tendrá asociado un vector
gradiente f (^) 1 ,..., fm.
Cada derivada parcial ( 1 , , n ) i
x x x
f es una función : ,
n
xi
f por tanto, es
susceptible de ser derivada en la dirección de un vector. Así se pueden calcular las
derivadas parciales de (^1 , , n )
i
x x x
f y las denominaremos funciones derivadas
parciales segundas ( 1 , , )
2
n i j
x x x x
f
Ejemplo
f x y x y x y x
2 4 3 ( , )
Calculamos las derivadas parciales segundas:
4 2 2 3 3 ( , ) 2 3 1 ( x , y ) 4 x y x y
f x y xy x y x
f
x y y xy x
f
x
x y x
f ( , ) ( , ) 2 6
4 2
2
2 2 2
2 ( , ) ( x , y ) 12 x y y
f
y
x y y
f
3 2
2 ( , ) ( x , y ) 8 xy 3 x x
f
y
x y y x
f
3 2
2 ( , ) ( x , y ) 8 xy 3 x y
f
x
x y x y
f
En determinadas condiciones de regularidad esta coincidencia siempre se va a dar.
Definición
Llamamos matriz hessiana a la matriz que contiene las
2 n derivadas parciales
segundas de f.
2
2
2
2
1
2
2
2
2 2
2
1 2
2
1
2
2 1
2
2 1
2
n n n
n
n
n
x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x
f
x x
f
x x
f
x x
f
x
f
Hf x x
Aplicaciones económicas
En el análisis económico y en función de qué es lo que queremos medir, se
distinguen cuatro tipos de valoraciones, cada una de ellas tendrá un reflejo en una
expresión matemática concreta:
a) Valor total : y f ( x 1 ,..., xn ) expresa el valor de una magnitud y en cada punto
de su dominio.
Ejemplo: La demanda de un producto en función de su precio se puede expresar
como 100 5 15
2 d p con p.
b) Valores medios : El valor medio de y respecto a la variable xi es el cociente entre
la función y f ( x 1 ,..., xn ) y la variable xi.
i
n Mx x
f x y f x x V i x
Hay tantas funciones de valor medio como variables tenga la función
y f ( x 1 ,..., xn ).
Ejemplo: p
p dM
2 400 representa la pendiente de la recta que une el origen con el
punto ( p , d ( p )).
c) Valores marginales : El valor marginal respecto a la variable xi se definen
como ( )
lim 0
x x
f x e f x f V i
i (^) Mg xi y se interpreta como el incremento que
produce en f ( x 1 ,..., xn ) una variación infinitesimal de la variable xi , permaneciendo el
resto de variables constantes.
Ejemplo: d 2 p
Observamos que en los puntos extremos el valor marginal coincide con el valor
medio.
d) Elasticidades : La elasticidad es una medida de la variación en términos
porcentuales.
f x
f x ei f x Tasa de variación de f (^ x 1 ,..., xn )
DIFERENCIABILIDAD
En las funciones reales de una variable f : , si existen las h primeras
derivadas ( ),..., ( 0 )
( f x 0 f x
h en un punto x 0 , tendremos información sobre el
comportamiento de la función en un entorno de x 0.
¿Cómo extender este concepto a
n m f :?
Ya conocemos el concepto de gradiente: ( ) ( 0 ),..., ( 0 ) 1
0 x x
f x x
f f x n
como
extensión natural de la primera derivada, parece lógico que proporcione información
similar a la que proporciona la derivada f ( x ) sobre el comportamiento local de la
función en el punto x 0.
En se verifica que si f es derivable en x 0 f es continua en x 0 , sin embargo en
2 la función
2 4
2
x
x x y
xy
f x y
es derivable en todas las direcciones, pero no es continua en el punto ( 0 , 0 ).
Por tanto, necesitaremos aplicar el concepto de diferencial cuando trabajemos en
más de una dimensión.
Concepto de diferencial
Por definición, f : es derivable en a si existe ( )
lim 0
f a h
f a h f a
h
, o
equivalentemente 0
h 0 h
f a h f a f a h .
Notación: llamaremos l ( h ) f ( a ) h
Observación
- f ( a )es una constante l ( h )es una función lineal con l ( 0 ) 0.
- gráfica 4
- f (^ a h ) f ( a ) l ( h ), aproximándose cada vez más cuando h^0
- l puede interpretarse como una función que aproxima linealmente al crecimiento
de f en un entorno de a. La función l ( h )motiva la definición de la diferencial.
Definición
f : se dice diferenciable en a si existe una aplicación lineal l : tal
que
f ( a h ) f ( a ) l ( h ) ( a h ) h
con ( a h ) h 0 0
es una función que recoge el error cometido en la aproximación del incremento de
f a través de una función lineal.
La extensión a
n f : resulta inmediata.
Sea v una dirección cualquiera. Diremos que existe la diferencial de f en el punto a
en la dirección de v si existe una aplicación lineal
n l : tal que
f ( a v ) f ( a ) f ( v ) ( a v ) v (1)
con ( a v ) 0 0
Definición
n f : es diferenciable en un punto a si existe una única aplicación lineal l tal
que f es diferenciable en cualquier dirección v (se verifica (1)
n v ).
Proposición
Sabemos que si f es diferenciable, fv ( a ), v. En particular existen todas las
derivadas parciales y además se verifica que
fv ( a ) l ( v ) f ( a ) v
Demostración:
En (1) dividimos por y tomamos límites:
Sea
n m i
n m f : f ( f 1 ,..., f ) f :
Para cada fi , i 1 ,, n tenemos ( ) ( ),..., ( )
1
a x
f a x
f f a n
i i (^) i , los m vectores
gradiente y
( ) ( )
1
1
1
1 1
a x
f a x
f
a x
f a x
f
f a
f a
Jf a
n
m m
n
m
la matriz jacobiana.
Se verifica que Jf ( a )es la matriz asociada a la aplicación lineal l
v Jf a v
df a
n m
Por tanto basta con obtener la matriz jacobiana para tener determinada la diferencial.
Ejemplo
Obtener la df ( 0 , 0 )siendo
y f ( x , y ) x e.
( 0 , 0 )
y y y y x y x e Jf e x e y
f x y e x
f
1 2
1 1 2
2
v v
v v v
df
Ejemplo
Obtener la df ( 1 , 1 )siendo f ( x , y ) ( xy ,ln( x y )).
1 1 x y x f y
f x y y x
f
(^2) ( , ) (^2) f 2
x y
x y y
f
x y
x y x
f
x y
x
x y
y
Jf ( x , y ) 1 1
Jf ( 1 , 1 )
1 2 1 2 2
1 1 2
2 2
v v v v v
v v v
df
Propiedades de la diferencial
- Si f es diferenciable en a df ( a )es única 2. Si f es diferenciable en a f es continua en a 3. Si f es diferenciable en a fv ( a ) df ( a ) v , _v
- f_ : es diferenciable f es derivable
Definición
Sea
n f : continua en a.
f es de la clase
1 C si i 1 , 2 ,..., n existen ( 1 , , n ) i
x x x
f y son continuas
f es de la clase
2 C si i 1 , 2 ,..., n existen ( 1 , , )
2
n i j
x x x x
f y son continuas
f es de la clase
k C si i 1 ,..., ik existen i ik
k
x x
f
( y son continuas
Condición suficiente de diferenciabilidad
Si f es de clase
1 C en un punto a f es diferenciable en a.
Teorema de Schwartz
Si
i j j i
n i j x x
f
x x
f x x y x x
f f C i j n
2 2
1
2 2 , 1 ,, ( ,, ).
Corolario
Si ( )
2 f C Hf x es una matriz simétrica.
Propiedad
Si f es de clase
2 C en a fv ( a ), v , verificándose que:
OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Definición
f ( x ) alcanza un máximo (mínimo) relativo en a si x en un entorno de a se
verifica que f ( a ) f ( x )( f ( a ) f ( x )).
Si las desigualdades son estrictas, también lo son los máximos o mínimos.
Observación
Si f ( x )tiene un máximo en a f ( a ) f ( a v )para todo 0
Si f ( x )tiene un mínimo en a f ( a ) f ( a v )para todo 0
Por tanto, si f (^) v ( a ) y fv ( a ) fv ( a ) 0 y fv ( a ) 0 en caso de máximo
f (^) v ( a ) 0 yfv ( a ) 0 en caso de mínimo
Paso 1. Condición necesaria de primer orden
Si existe un extremo relativo en a f ( a ) 0.
Las soluciones de esta ecuación son los puntos candidatos a máximos o mínimos
(extremos relativos), los puntos críticos.
Obviamente, para que tenga sentido la condición, debe existir f ( a ).
Supongamos que ( )
2 f C Hf x es una matriz simétrica, del análisis de esta
matriz se obtendrá el carácter de los puntos críticos.
Definición
Sea Hnn una matriz simétrica.
H es semidefinida positiva (SDP) si v^ ,^ vHv^0
t
H es definida positiva (DP) si v , vHv 0
t
H es semidefinida negativa (SDN) si v , vHv 0
t
H es definida negativa (DN) si v , vHv 0
t
En cualquier otro caso, H es indefinida
¿Cómo identificar el signo de una matriz simétrica?
Definición
Se denomina menor principal de orden k a la submatriz formada por las k primeras
filas y las k primeras columnas de la matriz.
kk
k
k
k
h
h
h
h
H h
h
h
h H h H
1
1
11
22
12
21
11 1 11 2
...
Teorema
H es DP det( H 1 ) 0 ,...,det( Hn ) 0 , es decir, todos los determinantes de los
menores principales son positivos.
H es SDP det( H 1 ) 0 ,...,det( Hn 1 ) 0 , det( H ) det( Hn ) 0 , es decir, los n-
primeros determinantes son positivos y el último es nulo.
H es DN det( H 1 ) 0 , det( H 2 ) 0 , det( H 3 ) 0 ,..., es decir, los signos de los
determinantes alternan empezando por negativo.
H es SDN det( H 1 ) 0 , det( H 2 ) 0 ,..., det( Hn 1 ) , det( Hn ) 0 , es
decir, los signos de los determinantes alternan empezando por negativo y el último es
nulo.
Si det( H 1 (^) ) 0 ,...,det( Hn 1 ) 0 y det( Hn ) det( H ) 0 , pero no es SDP ni SDN
H es indefinida.
Si det( H ) 0 pero no es DP ni DN H es indefinida.
En cualquier otro caso, el criterio no proporciona respuesta.
Ejemplo
H
det( ) 2
det( ) 1
det( ) 5
3
2
1
H
H
H
Definida negativa
H
det( ) 6
det( ) 8
det( ) 4
det( ) 1
4
3
2
1
H
H
H
H
Indefinida
