Cuadernillo de problemas, Ejercicios de Matemática Empresarial

¡Descarga Cuadernillo de problemas y más Ejercicios en PDF de Matemática Empresarial solo en Docsity!

MATEMÁTICAS EMPRESARIALES

DPTO. ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD E IDIOMA

MODERNO

CURSO 2014-

ESPACIO VECTORIAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 2

PROBLEMAS DE ESPACIO VECTORIAL

1. Dados los vectores de {^ (4,^ −1, 0), (2,1,^ −3)^ }, expresar, si se puede, los siguientes vectores como combinación lineal de ellos.

a ) (14,1,-9) b ) (0,3,-6) c ) (10,-1,5)

2. Estudiar las dependencia o independencia lineal de los siguientes vectores de :

a) (^) { (1, 2, −4, 0), ( 2, 4, − −8, 0), (2,3, 0,1)} b) (^) { (1, 2, −4, 0), (2, 4,8, 0), (4,8, 0, 0)} c) (^) { (2, 0,3, 0), (0,1, −3, 0), (1, −2, 0,8)}

3. De los conjuntos de vectores anteriores extraer el máximo número de vectores linealmente independientes. ¿En algún caso disponemos de un Sistema Generador de? 4. Calcular para qué valores del parámetro a los siguientes vectores forman base de a) (^) {(2, a ,1), ( ,1, 0), (1, 2, 0) a } b) (^) {(2, a ,1), ( ,1, a −1), (2, 2, 0)} c) En los casos anteriores, ¿es posible obtener un sistema generador añadiendo un cuarto vector de como combinación lineal de los disponibles? 5. Dado el subespacio vectorial de generado por los vectores, S = L {(1, 2, −4,1), (2, 4, −8, 2), (2,3,1,1)}

Determinar:

a) Dim S ( ) b) Una base del subespacio

ESPACIO VECTORIAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 4

11. Halle dimensión, base y ecuaciones del subespacio formado por los vectores cuyas componentes son (^) { ( x 3 (^) + x 2 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) , 2 x 3 )} 12. Dado el conjunto de vectores

v 1 (^) = (2, 0, 2,9), v 2 (^) = (1, 2,1,3), v 3 (^) = (1, 0,1,3), v 4 =(2, 4, 2, 6)

a) Justifique si puede afirmarse que (^) { v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 (^) , v 4 (^) }forman una base del espacio vectorial R^4. Análogamente razónese si es un sistema generador de R^4.

13.

a) ¿Es posible hablar de un subespacio vectorial de dimensión 3 dentro del espacio vectorial (^)  3 ?. Justifique la respuesta y, en caso afirmativo, de una base del mismo y sus ecuaciones cartesianas.

b) Dada la siguiente variedad lineal:

(1, 5, 0) (0, 0,1) (0, 0, 0) ( 1,5, 2) ( 1 , 1, 1 ) 5 5

S = ^ − − − 

halle su dimensión y la

expresión de sus ecuaciones paramétricas y cartesianas.

c) Encuentre un vector que pertenezca al subespacio anterior, comprobando que es combinación lineal de los vectores de la base de S.

14. Dado el subespacio vectorial S de R^4 descrito por las ecuaciones paramétricas: (^) { x 1 (^) = a x , 2 (^) = a + b x , 3 (^) = c x , 4 = b con a b c ; , , ∈ R } , encuentre una base de dicho subespacio y determine las coordenadas del vector (^) (1, 2, 0,1) respecto a ella. 15. Obtenga una base del subespacio de R^4 determinado por la ecuación (^2) x 1 (^) − 3 x 3 (^) + x 4 = 0 16. Sea el subconjunto de R^3 determinado por las ecuaciones 2 0 2

ax y z x ay z b

^ +^ −^ =

. Determine los valores de los parámetros a y b para

ESPACIO VECTORIAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 5

que dicho subconjunto sea un subespacio vectorial de dimensión igual a dos.

17. Halle dimensión, base y ecuaciones del subespacio formado por los vectores cuyas componentes son (^) { ( x 3 (^) + x 2 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) , 2 x 3 )} 18. Dado el conjunto de vectores

v 1 (^) = (2, 0, 2,9), v 2 (^) = (1, 2,1,3), v 3 (^) = (1, 0,1,3), v 4 =(2, 4, 2, 6)

a) Justifique si puede afirmarse que (^) { v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 (^) , v 4 }forman una base del espacio vectorial R^4. Análogamente razónese si es un sistema generador de R^4.

b) Calcule a y b para que el vector (0,1, a b , ) pertenezca al subespacio generado por los vectores (^) { v 1 (^) , v 2 (^) , v 3 (^) , v 4 (^) }.

19. Dado el subconjunto S^ {(^ x , y , z ) / x^2 y }

= ∈ℜ^3 =

, determine si es un subespacio y en caso afirmativo calcule la dimensión y una base de S^.

20. Determine si el subconjunto {(^ , , ) /^1 } S = x y z ∈ℜ^3 x = es un subespacio de ℜ^3.

FORMAS CUADRÁTICAS

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 7

27. Estudie para qué valores del parámetro a es diagonalizable la

aplicación lineal de matriz asociada 

a.

28. Dada la aplicación lineal f ( , x y z , ) = ( ay + z , 4 , z z ), justifique razonadamente si existe algún valor de a para el que sea diagonalizable. 29. Sea

A

= ^ 

. Estudie si es diagonalizable y si lo es

obtenga la matriz de paso que la diagonaliza y calcule A^30.

30. Estudie para qué valores del parámetro a es diagonalizable la

matriz 

1 4 a

31.

a) Estudie si la aplicación lineal f ( , x y z , ) = (2 x − z , − y , 2 x + 2 y − z ) tiene a λ = 0 como autovalor con autovector asociado v =(1, 0, 2)

b) Averigüe si la aplicación del apartado anterior es diagonalizable y, en tal caso, diagonalícela.

32. Dada la aplicación lineal f ( , x y z , ) = ( x − y + 2 , z − y , 2 x − y + z ),

estudie si es diagonalizable.

33. Dada la aplicación lineal

1 1 2 3 2 3

x f x x x x x

= ^ − ^ 

a) Averigüe si λ = − 1 es un autovalor asociado a dicha aplicación

b) Halle una base del subespacio de autovectores asociado a dicho autovalor.

FORMAS CUADRÁTICAS

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 8

PROBLEMAS DE FORMAS CUADRÁTICAS

31. Clasifique las siguientes formas cuadráticas:

a) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = x 1^2 − x^22 (^) − 2 x 32 (^) + 2 x x 1 2 (^) + 2 x x 1 3 (^) − 2 x x 2 3

b) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = 2 x 1^2 + x 2^2 + 3 x 32 (^) − 2 x x 1 3 (^) + 2 x x 2 3

c) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = − 2 x 12 (^) − 3 x^22 (^) − 2 x 3^2 + 4 x x 1 2 (^) − 2 x x 1 3

d) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = − x 1^2 + 3 x 2^2 − 2 x x 1 2 (^) + 4 x x 1 3 (^) − 2 x x 2 3

e) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = 2 x 1^2 + x 2^2 + 5 x 32 (^) + 2 x x 1 2 (^) + 6 x x 1 3 (^) + 4 x x 2 3

f) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = x 1^2 + x 2^2 + x 32 (^) + 2 x x 1 2

g) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) = x 1^2 + x 2^2 − x 32 (^) + 2 x x 1 2

h) Q x ( 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) , x 4 (^) ) = x 1^2 − x 22 (^) + x 3^2 − x^24 (^) + 2 x x 1 2 (^) + 2 x x 1 3 (^) + 2 x x 1 4 (^) + 2 x x 2 4 (^) + 2 x x 3 4

32. Estudie, según los valores de a , el signo de la forma cuadrática

Q ( x , y , z )= ax^2 + y^2 + z^2 + 2 yz

33. Estudie el signo de la forma cuadrática

Q x yz x ay z 2 xy 2 ( , , )= 2 2 +^2 +^12 + , según los valores de^ a.

CÁLCULO DIFERENCIAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 10

PROBLEMAS DE CÁLCULO DIFERENCIAL

37. Dada la función de valor total: x y f x y x xy

α

( , )^42

Si sabemos que la Ef (^) x es lo que varía porcentualmente el valor total ante

variaciones de x , determine el valor de α ∈ R que hace que, en el punto

(1,1) y en la dirección (1,0) esa variación ( Ef (^) x ) sea igual a 4

38. Dada la función: f ( x 1 (^) , x 2 (^) ) = x e 1 x^1^^ − ex^22 , halle su ∇ f ( 1, 0)−. Para cualquier dirección ( v 1 (^) , v 2 ), ¿qué significa el resultado que obtenemos?. 39. Una empresa fabrica 2 productos A y B cuyos precios en el mercado son de 30€ y 50€ respectivamente. Su función de costes totales es

( , )^2

2 C x y = x − x + y − y + xy + ,

siendo x e y las cantidades producidas de los productos A y B. Estudie el

comportamiento de la función de costes totales en el punto (1,4) y en la

dirección del vector (0,1).

40. Tenemos la siguiente función: f ( x , y , z )= 2 x^2 y + x^3 y^2 − 3 xz^2 − 2 y^2 z

¿existe alguna dirección v = ( v 1 , v 2 , v 3 ) en donde esa función sea creciente en

el punto (1,1,1)?

41. Estudie si la función x y

f x y x y −

( , )= + tiene un comportamiento

creciente, decreciente o estacionario en el punto a =( 1 , 5 ) y en la dirección v =( 1 , 1 ).

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

CÁLCULO DIFERENCIAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 11

42. Sea una empresa que produce 3 artículos a precios (^) px = 16 , py = 12 y pz = 20 , siendo los ingresos a obtener I ( x , y , z )= 16 x + 12 y + 20 z , donde x , y , z representan las cantidades producidas de cada uno de los tres artículos. Por estudios realizados se sabe que los costes necesarios para su fabricación siguen la siguiente función:

C ( x , y , z )= x^2 + y^2 + 3 z^2 + 2 xz + 30.

Debido a que es posible fabricar distintas cantidades de cada artículo, se pide obtener las cantidades x , y , z para maximizar el beneficio.

43. Una empresa produce dos tipos de bienes. Sabiendo que su función de coste total es C x y ( , ) = x^3 + y^3 − 3 x − 12 y + 20 , calcule la cantidad que ha de producir de cada bien para minimizar los costes. 44. Encuentre los posibles óptimos de la función z = x^3 − 3 xy + y^3. 45. Calcule los extremos relativos, si existen, de la función:

x y f ( x , y )= x ⋅ y +^1 +^1

CÁLCULO INTEGRAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 13

60. ∫( Lx )^2 dx

61. ∫ −^ dx

x

x 1

62. ∫ L (2 x −1) dx

63. ∫( x^2 + x −1) e dxx

64. ∫ 4 x ex +^2 dx

PROBLEMAS DE INTEGRALES INMEDIATAS

65. ∫ (3 senx +2 cos x dx )

66. ∫(2 x^ +3 ) x^ dx

67.

3 2 2

x x x (^) dx x

68. ∫(3cos x − 5 e x ) dx

69. ∫cos ( x^2 − 5 x + 3)(2 x −5) dx

70. ∫ sen x^4 cos x dx

71. ∫ e^3^ x +^1 dx

72. ∫ e x^2^^ −^5 x (2 x −5) dx

73. (^) 4 1

x (^) dx

∫ − x

74. ∫ tgx dx

CÁLCULO INTEGRAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 14

∫ x^ −^ x^ + dx

76.

3 2

1 x (^) dx x

77. 2 3 x^2 dx x

78.^3 5 ( 2 1)

x − (^) x − dx

79. ∫ 6 x (3 x^2 −7)^4 dx

80. ∫ x x^2 + 1 dx

x (^) dx x x

82. 1

x x

e (^) dx

∫ + e

83.^2

x (^) dx x

84. ∫ e^3^ x −^2 dx

85. (^2 )

∫^3 x e^ x − dx

86. ∫ e senx cos x dx

PROBLEMAS DE INTEGRALES DEFINIDAS

Compruebe los siguientes resultados:

87. 2 1 1 2

e x dx e e x

∫ =^ −

CÁLCULO INTEGRAL

Matemáticas Empresariales. (Curso 2014-2015) 16

100. y = x ;

2 4

y =^ x

101. (^) x 2; y x y ;^1 x

102. y = 0; y = x x ; + y = 4