¡Descarga Limitas de funciones: Definición y propiedades - Prof. 9525 y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Funcións dunha variable real
2.1. Límites de funcións reais de variable real
Estudaremos nesta sección aspectos xerais do comportamento das funcións reais de varia- ble real, para o cal usaremos o concepto de límite. No que segue, denotaremos por I calquera intervalo en R e por x 0 ∈ I′^ calquera número real x 0 ao que nos podemos «achegar» con puntos de I.
Definición 2.1. Sexan f : I ⊂ R → R, x 0 ∈ I′^ e ∈ R. Diremos que é o límite da función f no punto x 0 , e escribiremos l´ım x→x 0 f (x) = `, se:
Para cada ε > 0 , existe δ > 0 tal que se x ∈ I, x 6 = x 0 , x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) entón f (x) ∈ (− ε, + ε).
Polo tanto o concepto de l´ım x→x 0 f (x) = ` reflicte a idea de que, conforme x toma valores
cada vez máis próximos a x 0 , as súas imaxes están tan preto como queiramos de `.
Exemplo 2.2. Se f é a función constante f (x) = 7, entón l´ım x→x 0 f (x) = 7, para todo x 0 ∈ R.
En xeral, se f (x) = k, k ∈ R, entón l´ım x→x 0 f (x) = k, para todo x 0 ∈ R. Se f (x) = x entón l´ım x→x 0 f (x) = x 0 , para todo x 0 ∈ R.
Observación 1. Se na definición 2.1, substituímos x 6 = x 0 , x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) por x ∈ (x 0 − δ, x 0 ), estariamos estudando o comportamento da función f cando x se achega a x 0 exclusivamente con valores menores ca x 0. Este concepto denomínase límite pola esquerda da función f no punto x 0 , e denótase l´ım x→x− 0
f (x).
Analogamente, se na mesma definición substituímos x 6 = x 0 , x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) por x ∈ (x 0 , x 0 + δ), estariamos estudando o comportamento da función f cando x se achega a x 0 con valores maiores ca x 0. Este concepto denomínase límite pola dereita da función f no punto x 0 , e denótase l´ım x→x+ 0
f (x).
Verifícase que f ten límite no punto x 0 se, e só se, existen os límites laterais de f en x 0 e coinciden, é dicir,
x^ l´→ımx 0 f (x) = ` se, e só se l´ım x→x+ 0
f (x) = l´ım x→x− 0
f (x) = `.
20 Funcións dunha variable real
Exemplo 2.3. Sexa
f (x) =
sen(x) se x < 0 x se x ≥ 0
Dado que l´ım x→ 0 −^
f (x) = l´ım x→ 0 −^
sen(x) = 0 e l´ım x→ 0 +^
f (x) = l´ım x→ 0 +^
x = 0, temos que l´ım x→ 0 f (x) = 0.
−π^ −^ π 2
Consideremos agora a función
f (x) =
2 se x < 2 3 se x ≥ 2
Como l´ım x→ 2 +^
f (x) = 3 e l´ım x→ 2 −^
f (x) = 2, entón l´ım x→ 2 f (x) non existe. Tampouco existe o límite da función f (x) = sen
x
no punto x 0 = 0. Neste caso o cociente vai tomando valores cada vez maiores (menores) se x tende a 0 pola dereita (esquerda) e, como vemos pola súa gráfica, a función seno vai oscilando indefinidamente entre − 1 e 1.
x
y 1
Outros conceptos que nos importan referentes ao comportamento das funcións son, por exemplo, a tendencia das imaxes a medrar cada vez máis conforme x se achega a un valor concreto, ou a achegarse a un valor ` cando x medra indefinidamente.
Definición 2.4. Sexan f : I ⊂ R → R e x 0 ∈ I′. Diremos que f ten límite +∞ no punto x 0 , e denotarase l´ım x→x 0 f (x) = +∞, se: Para todo M ∈ R, existe δ > 0 tal que se x ∈ I, x 6 = x 0 , x ∈ (x 0 − δ, x 0 + δ) entón se verifica que f (x) > M.
22 Funcións dunha variable real
2.2. Continuidade de funcións reais de variable real
Definición 2.9. Sexan f : I ⊂ R → R e x 0 ∈ I. Diremos que f é continua no punto x 0 se
x^ l´→ımx 0 f (x) = f (x 0 ).
Diremos que f é continua en I se f é continua en cada punto de I. Diremos que f é continua pola esquerda no punto x 0 se
l´ım x→x− 0
f (x) = f (x 0 ).
Analogamente, diremos que f é continua pola dereita no punto x 0 se
l´ım x→x+ 0
f (x) = f (x 0 ).
Obviamente, a función f é continua en x 0 se, e só se, f é continua pola esquerda e pola dereita en x 0. A suma, o produto, e o cociente (se o denominador non é nulo) de funcións continuas é unha función continua.
Proposición 2.10. Sexan f, g : I ⊂ R → R e x 0 ∈ I. Se f e g son continuas en x 0 entón as funcións f + g, λf (con λ ∈ R), f g e fg (se g(x 0 ) 6 = 0) tamén son continuas en x 0.
A composición de funcións continuas dá lugar a unha nova función continua.
Proposición 2.11. Sexan f : I ⊂ R → R e g : J ⊂ R → R tales que Im(f ) ⊂ J. Se f é continua en x 0 e g é continua en f (x 0 ) entón g ◦ f é continua en x 0.
Exemplo 2.12. As seguintes funcións elementais son continuas nos seus correspondentes dominios:
- Se k ∈ R, a función constante f (x) = k é continua en R.
- A función identidade f (x) = x é continua en R.
- As funcións polinómicas son continuas en R.
- As funcións racionais son continuas no seu dominio.
- As funcións logaritmica, exponencial e trigonométricas son continuas no seu dominio.
Cando estudamos se unha función é continua nun punto x 0 realmente só nos fixamos no seu comportamento nunha contorna do punto x 0. É por isto que se a función que estamos a estudar coincide nun intervalo centrado en x 0 con outra, as dúas teñen as mesmas características respecto da continuidade en x 0 ou de calquera outra propiedade local. Plasmamos esta idea dun xeito máis formal na seguinte proposición.
Proposición 2.13. Sexan f : I ⊂ R → R, g : J ⊂ R → R e C ⊂ I ∩ J. Se C é un intervalo aberto, f (x) = g(x) para todo x ∈ C e g é continua en C, entón f é continua en C.
2.2. Continuidade de funcións reais de variable real 23
Exemplo 2.14. Consideremos a función
f (x) =
3 x − 2 se x ≤ 2 −x + 6 se x > 2 1
No intervalo aberto (−∞, 2), f coincide coa función polinómica y = 3x − 2 , polo tanto f é continua en (−∞, 2). Analogamente, no intervalo aberto (2, +∞), f coincide coa función polinómica y = −x + 6, polo tanto f é continua tamén neste conxunto. Só queda estudar a continuidade de f no punto x 0 = 2, pero como f non coincide cunha función da que podamos afirmar a priori a súa continuidade en ningún intervalo aberto que conteña a 2 , teremos que usar a definición. Dado que f (2) = 4 e, ademais,
l´ım x→ 2 −^
f (x) = l´ım x→ 2 −
(3x − 2) = 4, l´ım x→ 2 +^
f (x) = l´ım x→ 2 +
(−x + 6) = 4,
temos que f é continua en x 0 = 2. Daquela, f é continua en R.
Consideremos agora a función
f (x) =
x^2 − 1 se x ≤ 0 −x^2 se x > 0
A función f é continua nos intervalos abertos (−∞, 0) e (0, +∞), por coincidir con funcións polinómicas. Por outro lado,
l´ım x→ 0 −^
f (x) = l´ım x→ 0 −
(x^2 − 1) = −1 = f (0),
e, polo tanto, f é continua pola esquerda en x 0 = 0. Como
l´ım x→ 0 +^
f (x) = l´ım x→ 0 +
(−x^2 ) = 0 6 = f (0) = − 1 ,
temos que f non é continua pola dereita en x 0 = 0. Concluímos pois que f é continua en R{ 0 }.
2.3. Teoremas relativos á continuidade global 25
sabemos que existe c ∈ (0, 1) tal que f (c) = 0. O teorema non nos dá o valor (ou valores) da raíz, unicamente asegura a existencia de polo menos unha raíz neste intervalo. Consideremos agora o punto medio do intervalo[0, 1], é dicir, m = 12. Como f ( 12 ) < 0 , o teorema de Bolzano, aplicado agora a f no intervalo [ 12 , 1], permítenos asegurar que existe c ∈ ( 12 , 1) de xeito que f (c) = 0. Temos localizada polo menos unha raíz da función f no intervalo [ 12 , 1]. O seu punto medio, m = 34 = 0, 75 , é unha aproximación dela cun erro inferior a 0 , 25. Se se quere dar unha mellor aproximación, aplicamos o teorema de Bolzano a f no intervalo [ 12 , 34 ], posto que f ( 34 ) > 0 e f ( 12 ) < 0 , de onde sabemos que existe c ∈ ( 12 , 34 ) de xeito que f (c) = 0. Temos neste momento unha raíz do polinomio cun erro inferior a 18. Continuando este proceso podemos conseguir cada vez mellores aproximacións da raíz buscada, pero se paramos aquí diriamos que o punto medio do intervalo [ 12 , 34 ], ou sexa m = 58 = 0, 625 , é unha solución da ecuación x^3 + x − 1 = 0, cun erro inferior a 0 , 125. Consecuencias do teorema de Bolzano son os teoremas dos valores intermedios e o do punto fixo.
Teorema 2.16 (dos valores intermedios). Sexan f : I ⊂ R −→ R unha función continua nun intervalo I ⊂ R e x 1 , x 2 ∈ I de maneira que f (x 1 ) 6 = f (x 2 ). Entón, se y 0 está entre f (x 1 ) e f (x 2 ), existe x 0 entre x 1 e x 2 tal que f (x 0 ) = y 0.
Igual que no caso anterior, xeometricamente, o feito de que f sexa continua indica que debemos unir mediante un trazo os puntos da gráfica (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )). Ademais, dado que f (x 1 ) 6 = f (x 2 ) sabemos que (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )) están a distinta altura. Daquela, para unilos cun único trazo é preciso que a curva vaia tomando todos os valores intermedios entre f (x 1 ) e f (x 2 ). Un deses valores intermedios é y 0 , que por tanto será imaxe dun punto x 0 entre x 1 e x 2. É dicir, entre dous valores dados calquera, unha función continua tomará todos os intermedios. Vémolo na seguinte imaxe:
x
y
x 1 x 2
f (x 1 )
f (x 2 ) y 0
x 0
y = f (x)
I
f (I)
Consecuentemente, a imaxe dun intervalo por unha función continua é un intervalo, é dicir, se I é un intervalo e f : I ⊂ R −→ R é unha función continua en I entón f (I) = Im(f ) tamén é un intervalo.
Teorema 2.17 (do punto fixo). Se f : [a, b] ⊂ R → [a, b] é unha función continua en [a, b], entón existe c ∈ [a, b] verificando que f (c) = c.
26 Funcións dunha variable real
Demostración. Se consideramos a función continua g : [a, b] ⊂ R → R, g(x) = f (x) − x, temos que g(a) = f (a) − a ≥ 0 e g(b) = f (b) − b ≤ 0. Se algún destes valores é nulo, xa teriamos atopado un valor c verificando que f (c) = c. En caso contrario, é dicir se g(a) > 0 e g(b) < 0 , o teorema de Bolzano asegúranos a existencia dun c ∈ (a, b) verificando que g(c) = 0 e, consecuentemente, f (c) = c.
A continuación damos unha interpretación xeométrica do teorema do punto fixo. Conforme ás hipóteses do teorema Im(f ) = f ([a, b]) ⊂ [a, b], polo que a ≤ f (x) ≤ b para todo x ∈ [a, b]. Así pois, a gráfica da función f estará contida no cadrado con vértices nos puntos (a, a), (b, a), (a, b) e (b, b). Por outra banda, o feito de que f sexa continua no intervalo [a, b] indica que debemos unir mediante un trazo os puntos da gráfica (a, f (a)) (no lado vertical esquerdo do cadrado) e (b, f (b)) (no lado vertical dereito). Para iso é preciso cortar polo menos unha vez á recta y = x que divide ao cadrado en dúas metades. O punto de corte c está nesta recta e na curva, polo que cumpre que f (c) = c. Vémolo na seguinte imaxe:
x
y
y = x
a (^) b
a
b
c
f (c) = c
Xa vimos, como consecuencia do teorema dos valores intermedios, que se f é continua en [a, b] entón a súa image é un intervalo, Im(f ) = [c, d]. O teorema do punto fixo é válido sempre e cando [c, d] ⊂ [a, b], aínda que [c, d] 6 = [a, b], pero non é certo, en xeral, cando [c, d] non está contido en [a, b].
Observación 2. Calquera dos tres resultados enunciados asegura a existencia dun punto no dominio da función verificando unha determinada propiedade. Nótese que ese valor pode non ser único.
2.4. Derivada dunha función nun punto
En adiante consideraremos unha función f : (a, b) ⊂ R → R e x 0 ∈ (a, b). Sabemos que para cada x 6 = x 0 , o cociente f (x) − f (x 0 ) x − x 0 é a pendente da recta que pasa polos puntos (x, f (x)) e (x 0 , f (x 0 )). Na gráfica podemos observar como varía esa pendente cando x se aproxima a x 0.
28 Funcións dunha variable real
Proposición 2.21. Se f é derivable en x 0 , entón f é continua en x 0.
Unha función pode ser continua nun punto e non ser derivable nel. Como vimos no exemplo 2.20, a función valor absoluto, f (x) = |x|, é continua en R e non é derivable en x 0 = 0.
Proposición 2.22. Se f, g : (a, b) ⊂ R → R son derivables en x 0 ∈ (a, b), tamén son deriva- bles en x 0 as funcións f + g, λf (con λ ∈ R), f g e fg (se g(x 0 ) 6 = 0). Ademais:
- (f + g)′(x 0 ) = f ′(x 0 ) + g′(x 0 )
- (λf )′(x 0 ) = λf ′(x 0 )
- (f g)′(x 0 ) = f ′(x 0 )g(x 0 ) + f (x 0 )g′(x 0 )
( (^) f g
(x 0 ) =
f ′(x 0 )g(x 0 ) − f (x 0 )g′(x 0 ) (g(x 0 ))^2 Proposición 2.23 (Regra da cadea). Sexan f : (a, b) ⊂ R → R, g : (c, d) ⊂ R → R e x 0 ∈ (a, b) de maneira que f (a, b) ⊂ (c, d). Se f é derivable en x 0 e g é derivable en f (x 0 ), entón g ◦ f é derivable en x 0 e, ademais,
(g ◦ f )′(x 0 ) = g′(f (x 0 ))f ′(x 0 ).
Definición 2.24. Sexa f : (a, b) ⊂ R −→ R unha función derivable en (a, b). Defínese a función derivada de f como a función, f ′^ : (a, b) ⊂ R −→ R, que a cada x ∈ (a, b) lle fai corresponder o número real f ′(x).
Facendo cálculos similares aos do exemplo 2.19 e aplicando os resultados enunciados nas proposicións 2.22 e 2.23 podemos obter as funcións derivadas das funcións elementais.
Proposición 2.25. Sexa a ∈ R. Tense que:
- Se f (x) = a entón f ′(x) = 0.
- Se f (x) = x entón f ′(x) = 1.
- Se f (x) = ax entón f ′(x) = a.
- Se f (x) = (^1) x entón f ′(x) = − (^) x^12.
- Se f (x) = xa^ entón f ′(x) = axa−^1.
- Se f (x) =
x entón f ′(x) = 2 √^1 x.
- Se f (x) = ex^ entón f ′(x) = ex.
- Se f (x) = ln(x) entón f ′(x) = (^1) x.
- Se f (x) = ax, con a > 0 , entón f ′(x) = ax^ ln(a).
- Se f (x) = sen(x) entón f ′(x) = cos(x).
- Se f (x) = cos(x) entón f ′(x) = − sen(x).
2.4. Derivada dunha función nun punto 29
- Se f (x) = tan(x) entón f ′(x) = (^) cos^12 (x) = 1 + tan^2 (x).
- Se f (x) = arctan(x) entón f ′(x) = (^) 1+^1 x 2.
- Se f (x) = arcsen(x) entón f ′(x) = √ 11 −x 2.
- Se f (x) = arccos(x) entón f ′(x) = √ 1 −−^1 x 2.
Exemplo 2.26. Vexamos algúns exemplos de cálculo de derivadas.
- Se f (x) = 6x^4 − 3 x + 2, entón f ′(x) = 24x^3 − 3 , para todo x ∈ R.
- Se f (x) = 6 x^4 − 3 x + 2 x^3 − 4
, entón
f ′(x) = (24x^3 − 3)(x^3 − 4) − (6x^4 − 3 x + 2)3x^2 (x^3 − 4)^2
6 x^6 − 90 x^3 − 6 x^2 + 12 (x^3 − 4)^2
- Se f (x) = x^2 sen(x), entón f ′(x) = 2x sen(x) + x^2 cos(x).
- Se f (x) = 4x^3 ex^ + (^2) x , entón f ′(x) = 12x^2 ex^ + 4x^3 ex^ − (^) x^22 = (12x^2 + 4x^3 )ex^ − (^) x^22.
- Sexa f (x) = (x^2 − 3 x)^4. Se tomamos h(x) = x^4 e g(x) = x^2 − 3 x, observamos que, como h′(x) = 4x^3 e g′(x) = 2x + 3, entón
(h ◦ g)(x) = h(g(x)) = h(x^2 − 3 x) = (x^2 − 3 x)^4 = f (x).
Daquela,
f ′(x) = h′(g(x))g′(x) = 4(g(x))^3 (2x − 3) = 4(x^2 − 3 x)^3 (2x − 3).
- Se g(x) = cos(x^2 ), entón g′(x) = − 2 x sen(x^2 ).
Interpretacións económicas do concepto de derivada
En Economía, o termo de derivada correspóndese co concepto de marxinalidade. Así, as funcións derivadas das funcións de custo, de ingreso e de beneficio denomínanse, respectiva- mente, custo marxinal, ingreso marxinal e beneficio marxinal. Outra das aplicacións máis usuais do concepto de derivada é a elasticidade da demanda. Supoñamos que queremos calcular as unidades que variará a demanda dun ben cando o prezo aumenta nunha unidade. O resultado vai depender, en gran medida, do prezo do ben: se o prezo é moi pequeno, a variación da demanda será moi grande e, pola contra, se o prezo é moi grande, a variación será moi pequena. Interésanos poder comparar directamente as variacións das demandas de dúas mercancías calquera en termos relativos. O valor que se obtén deste xeito, que non depende das unidades en que se miden as cantidades e os prezos, denomínase elasticidade da demanda. Se D(p) é a cantidade demandada dun ben a prezo p, dividiriamos a variación da demanda entre a variación dos prezos:
D(p) − D(po) D(po)
p − po po
D(p) − D(po) p − po
po D(po)
2.5. Regra de L’Hôpital 31
- Para resolver un límite da forma l´ım x→x 0 f (x)g(x)
cando l´ım x→x 0 f (x) = 0 e l´ım x→x 0 g(x) = ±∞, escribindo (se algún dos casos fose posible)
f (x)g(x) =
f (x) 1 g(x)
ou f (x)g(x) =
g(x) 1 f (x)
resultará unha indeterminación á que se lle pode aplicar a regra de L’Hôpital.
- Para resolver un límite da forma l´ım x→x 0 (f (x) − g(x))
con (^) xl´→ımx 0 f (x) = +∞ e (^) xl´→ımx 0 g(x) = +∞, considerando que
f (x) − g(x) =
f (x)−g(x) f (x)g(x) 1 f (x)g(x)
1 g(x) −^
1 f (x) 1 f (x)g(x)
resulta unha indeterminación á que se lle pode aplicar a regra de L’Hôpital.
- Se no cálculo dun límite da forma l´ım x→x 0 (f (x))g(x)
se presenta unha indeterminación dos tipos 00 , ∞^0 ou 1 ∞, entón, se f (x) > 0 , usando a igualdade ab^ = eb^ ln(a), teriamos que
x^ l´→ımx 0 (f (x))g(x)^ = e xl´→ımx 0 g(x) ln(f (x)) .
Agora, o límite do expoñente l´ım x→x 0 g(x) ln(f (x)) resultaría ser unha indeterminación á que se lle pode aplicar a Regra de L’Hôpital.
Exemplo 2.31. Vexamos algúns exemplos ilustrativos.
- (^) x→l´ım+∞
4 x^2 + 6 2 x^2 + x − 1 = (^) x→l´ım+∞
8 x 4 x + 1 = (^) x→l´ım+∞
- (^) xl´→∞ım x ln
( (^) x − 1 x + 1
= l´ x→∞ım
ln
( (^) x− 1 x+
1 x
= l´ x→∞ım
x+ x− 1
x+1−x+ (x+1)^2 − 1 x^2
= l´ x→∞ım
− 2 x^2 x^2 − 1
- l´ım x→ 0
x
cos(x) sen(x)
= l´ım x→ 0
sen(x) − x cos(x) x sen(x) = 0, como xa vimos no exemplo 2.29.
- Para calcular l´ım x→ 0 +^
xx^ primeiro escribimos l´ım x→ 0 +^
xx^ = e
l´ım x→ 0 +^
x ln(x)
. Agora ben,
l´ım x→ 0 +^
x ln(x) = l´ım x→ 0 +
ln(x) 1 x
= l´ım x→ 0 +
1 x − 1 x^2
= − l´ım x→ 0 +^
x = 0,
polo que l´ım x→ 0 +^ xx^ = e^0 = 1.
32 Funcións dunha variable real
2.6. Teoremas de Rolle e do valor medio
Nesta sección veremos os resultados máis importantes relativos a funcións derivables nun intervalo, así como as súas interpretacións xeométricas e consecuencias. Teorema 2.32 (Teorema de Rolle). Sexa f : [a, b] ⊂ R −→ R unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b). Se f (a) = f (b), entón existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0. Podemos dar unha interpretación xeométrica do teorema de Rolle. Se a recta que une os puntos (a, f (a)) e (b, f (b)) é paralela ao eixe X, entón existe polo menos un punto c ∈ (a, b) tal que a recta tanxente á gráfica de f en (c, f (c)) é tamén paralela ao eixe X.
x
y
a (^) b
f (a) = f (b)
c
y = f (c)
Teorema 2.33 (Teorema do valor medio). Se f : [a, b] ⊂ R → R é unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b), entón existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) = f (b) − f (a) b − a
Demostración. Consideraremos a función g : [a, b] ⊂ R → R, g(x) = f (x) − f^ (b b)−−fa^ ( a)(x − a). Temos que g(a) = f (a) e g(b) = f (b) − f^ (b b)−−fa^ ( a)(b − a) = f (b) − f (b) + f (a) = f (a), e ademais g é unha función continua en [a, b] e derivable en (a, b). Aplicando o Teorema de Rolle a g en [a, b] obtemos que existe c ∈ (a, b) tal que g′(c) = 0. Como g′(x) = f ′(x) − f^ (b b)−−fa^ (a), este valor c verifica que f ′(c) = f^ (b) b−−fa^ ( a).
Dende o punto de vista xeométrico o teorema do valor medio asegura que existe polo menos un punto c ∈ (a, b) tal que a recta tanxente á gráfica de f en (c, f (c)) é paralela á recta que une os puntos (a, f (a)) e (b, f (b)).
x
y
a c b
f (a)
f (b)
f (c)
34 Funcións dunha variable real
Teorema 2.39 (Teorema de Taylor). Sexan f : I ⊂ R −→ R unha función de clase n no intervalo I que admite derivada de orde n + 1 en I e x 0 ∈ I. Para todo x ∈ I, x 6 = x 0 , existe c entre x e x 0 tal que
f (x) = Pn(x) + Rn(x)
sendo
Pn(x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) +
f ′′(x 0 )(x − x 0 )^2 + ··· +
n!
f n)(x 0 )(x − x 0 )n
e
Rn(x) =
(n + 1)!
f n+1)(c)(x − x 0 )n+1.
O polinomio Pn(x) recibe o nome de polinomio de Taylor de grao n de f en x 0 e Rn(x) chámase resto de Lagrange. O polinomio de Taylor Pn(x) é o polinomio de grao menor ou igual que n que mellor aproxima a función f nunha contorna do punto x 0. O resto de Lagrange representa o erro que cometemos con esta aproximación, que resultará máis pequeno canto maior sexa o grao do polinomio. O polinomio de Taylor de grao 1 de f en x 0 é
P 1 (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ),
é dicir, coincide coa ecuación da recta tanxente á gráfica de f en (x 0 , f (x 0 )).
y = f (x)
P 1 (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 )
x
R 1 (x) (x 0 , f (x 0 ))
Observación 5. Pn(x) é o único polinomio de grao menor ou igual que n verificando que Pn(x 0 ) = f (x 0 ) e P (^) nk )(x 0 ) = f k)(x 0 ), para todo k = 1, ... , n.
Exemplo 2.40. O polinomio de Taylor de grao 4 da función f (x) = sen(x) en x 0 = 0 é
P 4 (x) = f (0) + f ′(0)(x − 0) +
f ′′(0)(x − 0)^2 +
f 3)(0)(x − 0)^3 +
f 4)(0)(x − 0)^4.
2.7. Derivadas de orde superior e extremos relativos 35
Agora ben, f (0) = sen(0) = 0 f ′(0) = cos(0) = 1
f ′′(0) = − sen(0) = 0 f 3)(0) = − cos(0) = 1
f 4)(0) = sen(0) = 0
Por tanto, P 4 (x) = x + 16 x^3.
Nótese que neste caso o polinomio ten grao 3 e, polo tanto, P 4 (x) = P 3 (x).
Exemplo 2.41. O polinomio de Taylor de grao 3 da función f (x) = ex^ no punto x 0 = 0 será
P 3 (x) = f (0) + f ′(0)(x − 0) +
f ′′(0)(x − 0)^2 +
f 3)(0)(x − 0)^3.
Como f (0) = e^0 = 1 f ′(0) = e^0 = 1 f ′′(0) = e^0 = 1 f 3)(0) = e^0 = 1
tense que P 3 (x) = 1 + x + 12 x^2 + 16 x^3.
Este polinomio toma valores próximos aos da función f (x) = ex^ nos puntos próximos a x 0 = 0. Por exemplo, se facemos os cálculos para x = 1,
P 3 (1) = 1 + 1 + 12 + 16 = 2, 6666 ...
que é unha aproximación ao valor do número e = 2, 7182818 .... Aumentando o grao do po- linomio mellorariamos a aproximación, como se aprecia na gráfica, na que representamos os polinomios de Taylor P 1 , P 2 e P 3 da función f no punto x 0 = 0.
y = P 1 (x)
y = P 3 (x)
y = ex
x
y
y = P 2 (x)
Definición 2.42. Sexa f : I ⊂ R −→ R. Diremos que x 0 ∈ I é un mínimo relativo de f se existe r > 0 tal que f (x) ≥ f (x 0 ) para todo x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ I. Diremos que x 0 ∈ I é un máximo relativo de f se existe r > 0 tal que f (x) ≤ f (x 0 ), para todo x ∈ (x 0 − r, x 0 + r) ∩ I. Diremos que x 0 ∈ I é un extremo relativo de f se ou ben x 0 é un máximo relativo de f ou ben x 0 é un mínimo relativo de f.
2.8. Concavidade e convexidade 37
Exemplo 2.46. A función g(x) = ex^ + e−x^ + 2 cos(x) ten un mínimo en x 0 = 0, porque
g′(x) = ex^ − e−x^ − 2 sen(x), g′(0) = 0 g′′(x) = ex^ + e−x^ − 2 cos(x), g′′(0) = 0 g′′′(x) = ex^ − e−x^ + 2 sen(x), g′′′(0) = 0 g4)(x) = ex^ + e−x^ + 2 cos(x), g4)(0) = 4 > 0
e a primeira derivada que non se anula na orixe é de índice par, n = 4, e ademais positiva.
2.8. Concavidade e convexidade
Definición 2.47. Sexan I un intervalo e f : I ⊂ R −→ R. Dise que f é convexa en I se, para cada x 1 , x 2 ∈ I e cada t ∈ [0, 1], verifícase que
f
tx 1 + (1 − t)x 2
≤ tf (x 1 ) + (1 − t)f (x 2 ).
Diremos que f é cóncava en I se, para cada x 1 , x 2 ∈ I e cada t ∈ [0, 1], verifícase que
f
tx 1 + (1 − t)x 2
≥ tf (x 1 ) + (1 − t)f (x 2 ).
Se as desigualdades anteriores son estritas dise que a función é estritamente convexa ou estritamente cóncava, respectivamente.
Observemos que se t ∈ [0, 1] entón o punto
x(t), y(t)
tx 1 + (1 − t)x 2 , tf (x 1 ) + (1 − t)f (x 2 )
pertence ao segmento que une os puntos (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )). Vemos pois que unha función é convexa se, e só se, a imaxe por f do segmento [x 1 , x 2 ] queda por debaixo da recta que une (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )). Na figura adxunta ilústrase esta propiedade.
x
y y = f (x)
a x (^1) x(t) x (^2) b
f (x 1 )
f (x 2 )
f (x(t))
y(t)
Do mesmo xeito, unha función é cóncava se, e só se, a imaxe por f do segmento [x 1 , x 2 ] queda por riba da recta que une (x 1 , f (x 1 )) e (x 2 , f (x 2 )).
38 Funcións dunha variable real
Proposición 2.48. Se f : (a, b) ⊂ R → R é unha función convexa (ou cóncava) en (a, b) entón f é continua en (a, b).
Definición 2.49. Sexa f : [a, b] ⊂ R −→ R. Dise que x 0 ∈ (a, b) é un punto de inflexión de f se existe r > 0 tal que f é convexa (cóncava) en (x 0 − r, x 0 ) e cóncava (convexa) en (x 0 , x 0 + r).
Proposición 2.50. Sexa f ∈ C^2 ((a, b)). Se x 0 ∈ (a, b) é un punto de inflexión de f entón f ′′(x 0 ) = 0.
Este resultado dá unha condición necesaria para que x 0 ∈ (a, b) sexa un punto de inflexión dunha función de clase 2 , pero non dá unha condición suficiente, pois o recíproco é falso. Por exemplo, a función f (x) = x^4 verifica que f ′′(0) = 0 e x 0 = 0 non é un punto de inflexión de f. Para saber se un punto é de inflexión, sendo f unha función suficientemente derivable, usaremos o resultado seguinte:
Proposición 2.51. Sexa f ∈ C^2 ((a, b)) e con derivada terceira en (a, b). Se x 0 ∈ (a, b) é tal que f ′′(x 0 ) = 0 e f 3)(x 0 ) 6 = 0 entón x 0 é un punto de inflexión de f.
Finalmente, para o estudo da concavidade e convexidade dunha función, temos o seguinte resultado:
Proposición 2.52. Sexa f : (a, b) ⊂ R → R unha función derivable en (a, b). Entón
- f é convexa en (a, b) se, e só se, f (x 2 ) ≥ f (x 1 )+f ′(x 1 )(x 2 −x 1 ), para todo x 1 , x 2 ∈ (a, b).
- f é cóncava en (a, b) se, e só se, f (x 2 ) ≤ f (x 1 )+f ′(x 1 )(x 2 −x 1 ), para todo x 1 , x 2 ∈ (a, b).
Se as desigualdades anteriores son estritas, estas caracterizan as funcións estritamente convexas ou estritamente cóncavas, respectivamente. Tendo en conta que T (x) = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 ) é a recta tanxente a f no punto (x 0 , f (x 0 )), unha función é cóncava se, e só se, f (x) ≤ T (x) para cada x ∈ [a, b]; é dicir, se, e só se, a recta tanxente á gráfica de f en cada punto queda por riba da propia gráfica. Do mesmo xeito, unha función é convexa se, e só se, a recta tanxente á gráfica de f en cada punto queda por debaixo da propia gráfica.
x
y (^) y = f (x) y = T (x)
x 0
f (x 0 )
