Funciones , derivadas y integrales ., Apuntes de Cálculo

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CÁLCULO (UGR)

CUSO BÁSICO PRIMER AÑO

PROF. 06-

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Javier Pérez González

Departamento de Análisis Matemático

Universidad de Granada

Asignatura: Cálculo Curso: Primero Titulación: Ingeniero de Telecomunicación

septiembre 2006

Universidad de Granada

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8.3.11.1. Integrales del tipo

8.3.11.3. Integrales del tipo

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Lección 1

Axiomas de los números reales. Desigualdades. Principio de inducción

Introducción

En esta lección quiero que entiendas la importancia de disponer de un “marco de referen- cia”. Trataré de explicarme. Para empezar, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos.

1. ¿Sabes probar que 0 x = 0? Inténtalo.
2. ¿Qué entiendes por − x? ¿Es cierto que − x es negativo?
3. Escribe con palabras lo que afirma la igualdad (− x ) y = − xy. ¿Sabes probarla?
4. Demuestra que si x , 0 entonces x^2 > 0 (en consecuencia 1 > 0 ).
5. ¿Sabes por qué no se puede dividir por 0?
6. Seguro que sabes construir un segmento de longitud √ 2. ¿Y de longitud √ 3?
7. ¿Qué quiere decir que un número no es racional? Demuestra que √ 2 no es racional. Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te piden que las demuestres! Puedo imaginar tu reac- ción ¿que demuestre que 0 x = 0 ?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?. Pienso que muchas veces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exacta- mente lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones lo más frecuente es “quedarse colgado” con la mente en blanco sin saber qué hacer. Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va a consistir en unas propiedades de los números (axiomas, si quieres llamarlas así) que vamos a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas de inferencia lógi- ca usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados (teoremas) que podremos usar para seguir avanzando. Simplificando un poco, puede decirse que en matemá- ticas no hay nada más que axiomas y teoremas (bueno, también hay conjeturas, proposiciones

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Números reales. Propiedades algebraicas y de orden 2

indecidibles...). Todo lo que se demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x = 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema se reserva para resultados que se consideran realmente impor- tantes y que ha costado esfuerzo llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario , lema , proposición y otros. Pero la estructura de una teoría matemática elaborada se resume en un conjunto de axiomas y de teoremas que se deducen de ellos mediante reglas de inferencia lógica. Es conveniente recordar las propiedades de los números reales porque son ellas las que nos permiten trabajar con desigualdades. Es muy fácil equivocarse al trabajar con desigualda- des. Yo creo que en el bachillerato no se le da a este tema la importancia que merece. Fíjate que algunos de los conceptos más importantes del Cálculo se definen mediante desigualdades (por ejemplo, la definición de sucesión convergente o de límite de una función en un punto). Por ello, tan importante como saber realizar cálculos más o menos complicados, es aprender a manejar correctamente desigualdades, y la única manera de hacerlo es con la práctica me- diante numerosos ejemplos concretos. Por supuesto, siempre deben respetarse cuidadosamente las reglas generales que gobiernan las desigualdades entre números y asegurarse de que se usan correctamente. Aparte de tales reglas no hay otros métodos generales que nos digan cómo te- nemos que proceder en cada caso particular.

1.1. Números reales. Propiedades algebraicas y de orden

Como todos sabéis se distinguen distintas clases de números: Los números naturales 1,2,3,.... El conjunto de todos ellos se representa por N. Los números enteros ...,-2,-1,0,1,2,... cuyo conjunto se representa por Z. Los números racionales que son cocientes de la forma p / q donde p ∈ Z, q ∈ N, cuyo conjunto representamos por Q. También conocéis otros números como √ 2 , π, o el número e que no son números racionales y que se llaman, con una expresión no demasiado afortunada, "números irracionales". Pues bien, el conjunto formado por todos los números racionales e irracionales se llama conjunto de los números reales y se representa por R. Es claro que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Aunque los números que no son racionales pueden parecer un poco raros, no merece la pena, al menos por ahora, preocuparse por cómo son estos números; sino que lo realmente interesante es aprender a trabajar con ellos. Lo interesante del número √ 2 es que su cuadrado es igual a 2. Pues bien, una de las cosas más llamativas de los números es que a partir de un pequeño grupo de propiedades pueden deducirse casi todas las demás. Vamos a destacar estas propiedades básicas que, naturalmente, hacen referencia a las dos operaciones fundamentales que se pue- den hacer con los números: la suma y el producto. La suma de dos números reales x , y se escribe x + y , representándose el producto por xy. Las propiedades básicas a que nos referimos son las siguientes.

P1 [Propiedades asociativas] ( x + y ) + z = x + ( y + z ) ; ( x y ) z = x ( y z ) para todos x , y , z en R.

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Valor absoluto 4

6. x < y , z < 0 implican que xz > _y z.

7. xy_ > 0 si, y sólo si, x e y son los dos positivos o los dos negativos. En consecuencia si x , 0 es x^2 > 0 y, en particular, 1 > 0_.
8. z_ > 0 implica que^1 z > 0. 9. Supuesto que 1 x e y son los dos positivos o los dos negativos, se verifica que x < y implica que y <^

x.

1.1.2. Valor absoluto

El valor absoluto de un número x ∈ R se define como el número:

| x | =

{ x si x > 0 − x si x 6 0

Para trabajar con valores absolutos es útil recordar que dado x ∈ R+ o , representamos por √ x al único número mayor o igual que cero cuyo cuadrado es igual a x. Puesto que, evidentemente, | x |^2 = x^2 y, además , | x | > 0 , se tiene que | x | = √ x^2. La siguiente estrategia de procedimiento es de gran utilidad. Dados a , b ∈ R+ o para probar que a = b es suficiente probar que a^2 = b^2 y para probar que a < b es suficiente probar que a^2 < b^2.

Geométricamente, | x | representa la distancia de x al origen, 0 , en la recta real. De manera más general: | x − y | = distancia entre x e y representa la longitud del segmento de extremos x e y. 1.2 Teorema ( Propiedades del valor absoluto ). Para x , y ∈ R se verifica que:

1. | x y | = | x || y | ; 2. | x | 6 y es equivalente a − y 6 x 6 y; 3. | x + y | 6 | x | + | y | y la igualdad se da si, y sólo si, x y > 0 (desigualdad triangular) ; 4. ∣∣| x | − | y |∣∣^6 | x − y | y la igualdad se da si, y sólo si, x y > 0.

1.1.3. Ejercicios

1. Sabiendo que a + b > c + d , a > b , c > d ; ¿se verifica necesariamente alguna de las desigual- dades: a > c , a > d , b > c o b > d? Dar una prueba o un contraejemplo en cada caso.

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Principio de inducción matemática 5

2. Calcula para qué valores de x se verifica que: i) (^2) xx +^ − 2 3 < 13 ii) (^1) x + (^1) −^1 x > 0 iii) x^2 − 5 x + 9 > x iv) x^3 ( x − 2 )( x + 3 )^2 < 0 v) x^2 6 x vi) x^3 6 x vii) x^2 − ( a + b ) x + ab < 0 viii) 3 ( x − a ) a^2 < x^3 − a^3 < 3 ( x − a ) x^2 3. Prueba las siguientes desigualdades: i) 0 < x + y − x y < 1 siempre que 0 < x < 1 , 0 < y < 1. ii) (^1) x + (^) a + 1 b − x < (^1) a + (^1) b siempre que 0 < a < x < b. 4. Calcula para qué valores de x se verifica que: i) | x − 5 | < | x + 1 | ii) | x − 1 | | x + 2 | = 3 iii) ∣∣ x^2 − x ∣∣^ > 1 iv) | x − y + z | = | x | − | z − y | v) | x − 1 | + | x + 1 | < 1 vi) | x + y + z | = | x + y | + | z | vii) | x | − | y | = | x − y | viii) | x + 1 | < | x + 3 | 5. Dado que s t < u v < x y donde t , v , y ∈ R+, prueba que s t < s t ++^ uv^ ++ yx < x y. Generaliza este resul- tado. 6. Prueba cada una de las siguientes desigualdades y estudia, en cada caso, cuándo se da la igualdad. i) 2 x y 6 x^2 + y^2. ii) 4 x y 6 ( x + y )^2. iii) x^2 + x y + y^2 > 0. iv) ( a^2 + a + 1 )( b^2 + b + 1 )( c^2 + c + 1 ) > 27 abc donde a > 0 , b > 0 , c > 0. Sugerencia: para probar i) considérese ( x − y )^2. Las demás desigualdades pueden dedu- cirse de i). 7. Demuestra los teoremas (1.1) y (1.2).

1.2. Principio de inducción matemática

El Principio de inducción matemática es un método que se usa para probar que ciertas pro- piedades matemáticas se verifican para todo número natural. Considera, por ejemplo, la si- guiente igualdad en la que n ∈ N:

12 + 22 + 32 + · · · + n^2 = 16 n ( n + 1 )( 2 n + 1 )

Si le damos a n un valor, por ejemplo n = 8 , podemos comprobar fácilmente que la igualdad co- rrespondiente es cierta. Si le damos a n el valor 1000 ya no es tan fácil comprobar esa igualdad y se le damos a n el valor 101000 la cosa ya se pone realmente difícil. Pero nosotros queremos

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Principio de inducción matemática 7

Hemos probado así que P ( n + 1 ) es verdadera.  1.4 Teorema ( Desigualdad de las medias ). Cualesquiera sean los números positivos a 1 , a 2 , · · · , an se verifica que: √ n a 1 a 2 · · · an 6 a 1 + a 2 + · · · + an n y la igualdad se da si, y sólo si, a 1 = a 2 = · · · = an.

Demostración. Basta poner G = n

a 1 a 2 · · · an y xi = a Gi , 1 6 i 6 n , con lo cual x 1 x 2 · · · xn = 1 por lo

que ∑^ n i = 1

xi > n es decir ∑^ n i = 1

ai > nG y se da la igualdad solamente cuando xi = 1 , para i = 1 , 2 ,... , n ;

es decir, cuando a 1 = a 2 = · · · = an. 

El principio de inducción matemática puede aplicarse en muchas situaciones en las que, a primera vista, no aparecen para nada los números naturales. Por ejemplo, una proposición re- ferente a todos los polinomios podría probarse por inducción sobre el grado del polinomio. Un teorema sobre matrices cuadradas podría probarse por inducción sobre el orden de la matriz.

Probaremos a continuación una útil igualdad algebraica conocida como fórmula del binomio de Newton. Para establecer esta igualdad necesitamos definir los llamados coeficientes binómicos. Dados dos números enteros n > k > 0 se define: ( n k

= (^) k !( nn −! k )! donde n! = ∏^ n p = 1

p

Es decir, n! es el producto de todos los números naturales menores o iguales que n. Se define también 0! = 1. La igualdad ( (^) n k − 1

( n k

( n + 1 k

( 1 6 k 6 n ) (1.1)

es de comprobación inmediata. A partir de ella se prueba fácilmente, por inducción sobre n , que ( nk^ )^ es un número entero positivo. 1.5 Teorema ( Fórmula del binomio de Newton ). Cualesquiera sean los números reales a , b y el número natural n se verifica que:

( a + b ) n^ = ∑^ n k = 0

( n k

an − kbk.

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Ejercicios 8

Demostración. Para n = 1 la igualdad del enunciado es trivialmente verdadera. Supongamos que dicha igualdad se verifica para n ∈ N. Entonces:

( a + b ) n +^1 = ( a + b )( a + b ) n^ = ( a + b )

[ (^) ∑ n k = 0

( n k

an − kbk

]

∑^ n k = 0

( n k

an +^1 − kbk^ + ∑^ n k = 0

( n k

an − kbk +^1 =

= ∑^ n k = 0

( n k

an +^1 − kbk^ + ∑^ n +^1 k = 1

( (^) n k − 1

an +^1 − kbk

= an +^1 + bn +^1 + ∑^ n k = 1

[( n k

( (^) n k − 1

)]

an +^1 − kbk^ =

= ∑^ n +^1 k = 0

( n + 1 k

an +^1 − kbk

Lo que prueba la validez de la igualdad para n + 1. En virtud del principio de inducción, con- cluimos que la igualdad del enunciado es cierta para todo n ∈ N.  La inducción matemática es un proceso demostrativo. Considera la expresión 991 n^2 + 1. Si la evalúas para n = 1 , 2 , 3 ,... , 10000000 ,... no creo que consigas obtener valores de 991 n^2 + 1 que sean cuadrados perfectos. ¿Debemos concluir que para todo número natural n se verifica que 991 n^2 + 1 no es un cuadrado perfecto? Pues no. Entre los números de la forma 991 n^2 + 1 hay cuadrados perfectos... ¡El valor mínimo de n para el cual 991 n^2 + 1 es un cuadrado es n = 12055735790331359447442538767! Con eso te indico que hay que ser precavido: no basta comprobar la veracidad de una afir- mación para unos cuantos valores de n para concluir que es cierta para todo n. La historia de las matemáticas está llena de este tipo de errores.

1.2.1. Ejercicios

8. Demuestra que 3 n^ − 1 es divisible por 2 para todo n ∈ N. 9. Demuestra que cualquier conjunto de número naturales, con un número finito de ele- mentos, contiene un número natural máximo. 10. Demuestra que la fórmula 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2 n = n^2 + n + 2 cumple con el segundo paso del principio de inducción matemática. Esto es, si la fórmula es verdadera para n , también lo es para n + 1. Sin embargo, esta fórmula no es válida para n = 1. ¿Qué deduces de esto? 11. Teorema del mapa de dos colores: si se traza en una hoja de papel líneas rectas que em- piezan y terminan en un borde de la hoja, este mapa puede ser coloreado con sólo dos colores sin que ninguna región adyacente tenga el mismo color.

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Ejercicios 10

18. Prueba que entre todos los triángulos con un perímetro dado el que tiene mayor área es el triángulo equilátero. Sugerencia. La fórmula de Herón de Alejandría establece que si p es el semiperímetro de un triángulo de lados a , b y c , entonces el área, A , de dicho triángulo viene dada por A = √ p ( p − a )( p − b )( p − c ). 19. Calcula el rectángulo de mayor área inscrito en la elipse de ecuación x a^22 + y b^22 = 1 , donde a > 0 , b > 0.

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Lección 2

Funciones reales. Funciones elementales

En este curso se supone que ya tienes un conocimiento intuitivo de las funciones elementa- les (exponencial, logaritmo natural, trigonométricas). En esta lección vamos a hacer un estudio descriptivo de dichas funciones, es decir, no vamos a dar definiciones rigurosas de las mismas y nos limitaremos a recordar sus propiedades más importantes.

2.1. Funciones reales

Las funciones son las herramientas principales para la descripción matemática de una situa- ción real. Todas las fórmulas de la Física no son más que funciones: expresan cómo ciertas magnitudes (por ejemplo el volumen de un gas) dependen de otras (la temperatura y la pre- sión). El concepto de función es tan importante que muchas ramas de la matemática moderna se caracterizan por el tipo de funciones que estudian. No es de extrañar, por ello, que el con- cepto de función sea de una gran generalidad. Además, se trata de uno de esos conceptos cuyo contenido esencial es fácil de comprender pero difícil de formalizar.

La idea básica de función es la siguiente. Supongamos que tenemos dos conjuntos A y B ; una función de A en B es una regla que a cada elemento de A asocia un único elemento de B.

En este curso estamos interesados principalmente en funciones entre conjuntos de números reales, es decir, A y B son subconjuntos de R; con frecuencia B = R. Estas funciones se llaman funciones reales de una variable real. En lo que sigue nos referiremos solamente a este tipo de funciones y, si no se especifica otra cosa, se entiende que B = R. Por tanto, para darnos una función nos deben decir, en principio, el subconjunto A de R donde suponemos que la función está definida y la regla que asigna a cada número de A un único número real. El conjunto A recibe el nombre de dominio de la función.

Las funciones se representan por letras. En la práctica las letras más usadas son f , g y h , pero cualquiera otra es también buena. Si f es una función y x es un número que está en su dominio, se representa por f ( x ) (léase “ f de x ”) el número que f asigna a x , que se llama imagen de x por

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