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10. Tabla de derivadas
A continuaci´on se exponen las derivadas de las funciones elementales (α, c y a son constantes reales, con
a > 0, y u = u(x) es una funci´on de x):
(c) ′ = 0 ,
(x α ) ′ = αx α− 1 , (u α ) ′ = αu α− 1 u ′ ,
x )
′
x
u )
′
u ′
u
(log x)
′
x
, (log u)
′
u
′
u
(loga x)
′
x log a
, (loga u)
′
u
′
u log a
(e
x )
′ = e
x , (e
u )
′ = u
′ e
u ,
(a
x )
′ = a
x log a , (a
u )
′ = u
′ a
u log a ,
(sen x) ′ = cos x , (sen u) ′ = u ′ cos u ,
(cos x) ′ = − sen x , (cos u) ′ = −u ′ sen u ,
(tan x) ′ = sec 2 x , (tan u) ′ = u ′ sec 2 u ,
(cotan x) ′ = − cosec 2 x , (cotan u) ′ = −u ′ cosec 2 u ,
(sec x) ′ = sec x tan x , (sec u) ′ = u ′ sec u tan u ,
(cosec x)
′ = − cosec x cotan x , (cosec u)
′ = −u
′ cosec u cotan u ,
(arc sen x)
′
1 − x 2
, (arc sen u)
′
u
′
√ 1 − u 2
(arc cos x) ′ =
1 − x 2
, (arc cos u) ′ =
−u
′
√ 1 − u 2
(arctan x)
′
1 + x 2
, (arctan u)
′
u
′
1 + u 2
La segunda columna de derivadas se obtiene directamente de la primera aplicando la regla de la cadena.
11. Tabla de integrales
A continuaci´on se exponen las integrales de las funciones elementales, la mayor parte de las cuales se
obtienen directamente de la tabla de derivadas (en esta tabla, α es una constante real, a es una constante
positiva, c es la constante de integraci´on, y u = u(x) es una funci´on de x):
α dx = α x + c ,
x
α dx =
x α+
α + 1
u
′ u
α dx =
u α+
α + 1
x
dx = log |x| + c ,
u
′
u
dx = log |u| + c ,
∫
e
x dx = e
x
u
′ e
u dx = e
u
∫
a
x dx =
a x
log a
u
′ a
u dx =
a u
log a
sen x dx = − cos x + c ,
u
′ sen u dx = − cos u + c ,
cos x dx = sen x + c ,
u
′ cos u dx = sen u + c ,
sec
2 x dx = tan x + c ,
u
′ sec
2 u dx = tan u + c ,
∫
cosec
2 x dx = − cotan x + c ,
u
′ cosec
2 u dx = − cotan u + c ,
∫
sec x tan x dx = sec x + c ,
u
′ sec u tan u dx = sec u + c ,
∫
cosec x cotan x dx = − cosec x + c ,
u
′ cosec u cotan u dx = − cosec u + c ,
tan x dx = − log | cos x| + c ,
u
′ tan u dx = − log | cos u| + c ,
cotan x dx = log | sen x| + c ,
u
′ cotan u dx = log | sen u| + c ,
sec x dx = log
∣ (^) sec x + tan x
∣ (^) + c ,
u
′ sec u dx = log
∣ (^) sec u + tan u
∣ (^) + c ,
cosec x dx = − log
∣ (^) cosec x + cotan x
∣ (^) + c ,
u
′ cosec u dx = − log
∣ (^) cosec u + cotan u
∣ (^) + c ,
dx √ 1 − x 2
= arc sen x + c ,
u
′ dx √ 1 − u 2
= arc sen u + c ,
dx
x 2
= arctan x + c ,
u
′ dx
u 2
= arctan u + c ,
dx
x 2
a
arctan
x √ a
u
′ dx
u 2
a
arctan
u √ a
La segunda columna de primitivas se obtiene directamente de la primera aplicando un cambio de variable.
