Funciones Matemáticas: Polinómicas, Racionales, Radicales, Exponenciales y Trigonométricas, Apuntes de Matemáticas

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1.Función polinómica

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo: f(x)=3x4 - 5x+6 Se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales 1.1Función constante: Una función constante es aquella función que siempre toma la misma imagen para cualquier valor de la variable independiente (x) , es decir, una función constante es de la forma f(x)=k , donde k es un número real cualquiera.

f(x)=k

La representación gráfica de una función constante es una recta horizontal. En términos matemáticos, la función f es constante si para cualquier par de puntos x1 y x del dominio tales que x1<x2, se cumple que f(x1) = f(x2).

La función y = mx se denomina función lineal y su gráfica es una recta de pendiente m que pasa por el origen de coordenadas: n = 0. La función lineal también se llama función de proporcionalidad directa. y = mx o y = kx , donde el valor de la constante k indica la razón de proporcionalidad. c) Función identidad : Una función identidad es una función tal que la imagen de cualquier elemento es éste mismo: La función identidad también suele denotarse por id La identidad es una función lineal de pendiente m = 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Divide el primer y el tercer cuadrante en partes iguales, o sea, es su bisectriz. La pendiente es la inclinación con respecto al eje X (eje de abscisas). Al ser ésta positiva ( m > 0), la función es creciente. Que la pendiente de la función identidad sea m = 1 significa que si aumentamos la x en una unidad, la y también aumenta en una unidad.

1.3 Funció quadràtica La forma general de una función cuadrática es f ( x ) = ax 2 + bx + c. La gráfica de una función cuadrática es una parábola , un tipo de curva de 2 dimensiones. Una función cuadrática puede tener dos raíces reales, una o ninguna. Las raíces de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X. 1.4 Función cúbica La Función Cúbica (o Función Polinómica de Tercer Grado) es aquella que tiene la siguiente fórmula: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d donde a es una constante diferente de cero. Las raíces de una función son los elementos del dominio que la hacen nula. Es decir, son los puntos donde la gráfica de la función corta al eje X.

2. Función racional :

Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible. Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables: ● El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador. ● Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 « x=a es una asíntota vertical de f(x).

Una función radical o función raíz es la que la variable dependiente y se obtiene de una raíz que alberga en el radicando a la variable independiente x. Un ejemplo de gráfica de función radical con índice n impar

4. Función inversa :

Se llama función inversa o recíproca de a otra función que cumple que: Si , entonces

Veamos un ejemplo a partir de la función

También podemos definir una función inversa a partir de la composición de funciones. f - 1 es la inversa de f y f - 1 si la composición de f da la función identidad.

5.Funciones trascendentes:

Una función trascendente es la que la variable independiente x se encuentra en el exponente, el índice de una raíz, en un logaritmo o en una función trigonométrica. Para una

función trascendente no basta con operaciones algebraicas, sinó que se requieren cálculos como derivadas, integrales, trigonometría, etc. Son funciones trascendentes las exponenciales, logarítmicas o las trigonométricas. 5.1 Función exponencial Una ecuación exponencial es una ecuación que incluye funciones exponenciales. Para resolver una ecuación exponencial deben agruparse al máximo las potencias para sustituir la ecuación exponencial por una ecuación lineal o cuadrática. 5.2 Función logarítmica La función logaritmo de base en (a > 0 , a ≠ 1) es la función inversa de la función exponencial de base en y = loga x si x = ay Sus características són: Dominio: (0, +∞). Imagen: (–∞,+∞). No tienen ni màxims ni mínims. Pasan por el punto(1,0). 5.3 Funciones trigonométricas

Funcions: secant, cosecant i cotangent

6.1 Función valor absoluto Una función de valor absoluto es una función que contiene una expresión algebraica dentro de los símbolos de valor absoluto. Recuerde que el valor absoluto de un número es su distancia desde 0 en la recta numérica. La función padre de valor absoluto, escrita como f ( x ) = | x |, está definida como: Para graficar una función de valor absoluto, escoja diferentes valores de x y encuentre algunas parejas ordenadas. Grafique los puntos en una plano coordenado y unálos. Una función valor absoluto se puede desplazar, simplemente, deslizándose el vértice a derecha e izquierda por el eje de las X con esta forma: f(x) = |x ±k|. (si k va con signo más , la gráfica se desplaza una distancia k hacia la izquierda; si k va con signo menos, la gráfica se desplaza una distancia k hacia la derecha). El vértice estará en (∓k, 0).

También se puede desplazar verticalmente, deslizándose el vértice arriba o abajo por el eje de las Y con esta forma: f(x) = |x|± k. (si k va con signo más, la gráfica se desplaza una distancia k hacia arriba; si k va con signo menos, la gráfica se desplaza una distancia k hacia abajo. El vértice estará en (0, ±k). (En ambos casos, tomamos la constante k como un número positivo) 6.2 Función escalonada La función escalonada y = s(x) es una función definida a trozos o por partes, tal que en un intervalo finito [a,b] tiene un número finito de discontinuidades, a las cuales llamaremos x0 < x1 < x2 <…. xn. En cada intervalo abierto (xi , xi+1), y tiene un valor constante de valor sí, con discontinuidades - saltos- en los puntos xi. ● Función mantisa : Función que hace corresponder a cada número el mismo número menos su parte entera. ● Función signo :Las Función Signo es una función definida a trozos de la que se obtiene el signo del número que se introduce.