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DPTO. DE MATEMÁTICA
Practicante Sebastian Moldenhauer .
tGuía de trabajo N°2: Funciones
Unidad 1. Matemática diferenciado 3° Medio
Nombre: YY
Curso YYYy Fecha YY
¿Qué es una función?
Las funciones siempre surgen cuando una cantidad depende de otra. Como lo pueden ser:
El área de un círculo depende de su radio. El crecimiento de una población depende del tiempo. La concentración de oxígeno dentro de una célula depende de la distancia al capilar sanguíneo. La cantidad de ATP producida por una célula depende de la disponibilidad de glucosa. La distancia recorrida por un objeto depende del tiempo.
Formalmente una función se define como:
Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto D exactamente un elemento, llamado f (x), de un conjunto E.
Usualmente consideramos funciones para los cuales los conjuntos D y E son conjuntos de números reales. Al conjunto D se le denomina dominio de la función. El número f (x) es el valor de f en x y se lee “f de x”. El recorrido de f es el conjunto de todos los valores posibles de f (x) conforme x varía a través de todo el dominio.
La variable independiente representa los valores que podemos elegir en el dominio. La variable de- pendiente es el valor que se obtiene al aplicar la función, por lo que depende de la variable independiente.
x
y
y = f (x)
dominio
recorrido
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Representaciones de una función
Hay 3 formas de representar una función: numéricamente, algebraicamente y visualmente. Por ejemplo la función: f (x) = (−x − 3)(x + 1)(x − 1) tiene:
Representación algebraica: f (x) = (−x − 3)(x + 1)(x − 1)
Representación numérica:
x f (x)
Representación visual:
Ejercicios
- La gráfica de una función f se muestra en la si- guiente imagen.
a) Encuentre los valores de f (2), f (5) y f (8)
b) Estime el dominio y el recorrido de f
x
y
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- Analiza la función real f (x) =
x + 1 x^2 − 3
y evalúa la función según corresponda.
a) f (0) = b) f (−3) =
c) f
= d) 3 f (5) + 2f
Calcular el dominio y el recorrido sin la gráfica
Dominio
Podemos entender el dominio como los valores de x donde la función tiene sentido. Para calcularlo, debemos tener en cuenta cuando los valores pueden no tener sentido; estos casos se detallan a continuación:
Tener un denominador 0 Tener una raíz de índice par con radicando negativo. Tener un logaritmo con argumento negativo o cero.
Recorrido
En el caso en que no conozcamos la gráfica, es posible utilizar herramientas algebraicas para encontrar el recorrido de una función. Considere el siguiente ejemplo:
Considere la función f (x) =
2 x + 1 x − 1
y determine su dominio y recorrido.
Solución: Para el dominio, notamos que la única ilegalidad posible es que el denominador sea 0, por lo tanto, el dominio de f son los reales distintos de 1, es decir: Dom(f ) = R − { 1 }.
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Para el recorrido consideramos:
y = f (x)
y =
2 x + 1 x − 1 y · (x − 1) = 2x + 1 xy − y = 2x + 1 xy − 2 x = y + 1 x(y − 2) = y + 1
x =
y + 1 y − 2
Por lo tanto, el único número real no alcanzado por f es el 2 , pues haría que la expresión encontrada tuviera denominador 0. Concluimos que Rec(f ) = R − { 2 }.
Tipos de función
Veamos ahora algunos ejemplos de funciones reales.
- Función constante: Es una función que para todos los valo- res de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor. Su expresión es f (x) = K su gráfico es una recta horizontal que intercepta al eje y en (0, K)
Dom(f ) = R Rec(f ) = {K} −^4 −^3 −^2 −^1 1 2 3
x
y
- Función identidad: Es una función que asigna a cada núme- ro real el mismo valor como imagen. Su expresión es f (x) = x y su gráfico es una recta que pasa por el origen con pendiente
Dom(f ) = R Rec(f ) = R
x
y
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- Función cuadrática: tiene la forma f (x) = ax^2 + bx + c con a ̸= 0 y a, b, c ∈ R. Su gráfica es una parábola que intercepta al eje y en (0, c) y vértice en
−b 2 a
, f
−b 2 a
. Si a > 0 se abre hacia arriba y si a < 0 se abre hacia abajo
Dom(f ) = R
Rec(f ) =
[
f
−b 2 a
[
si a > 0
Rec(f ) =
]
−∞, f
−b 2 a
)]
si a < 0
x
y
- Función polinomial: una función polinomial es aquella que puede escribirse como
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + · · · + a 1 x + a 0 donde a 0 , a 1 ,... , an ∈ R y n es un número natural. Por ejemplo, una función polinomial de grado 4 es
f (x) = x^4 − 4 x^2 Dom(f ) = R El recorrido de estas funciones depende de la función.
x
y
- Función por tramos: una función definida por tramos es aquella cuya expresión cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Por ejemplo:
f (x) =
2 x + 1 si x > 1 x^2 si x ≤ 1 El dominio y recorrido de estas funciones va a depender de cada una de sus partes, en este caso particular son:
Dom(f ) = R Rec(f ) = [0, ∞[
x
y
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- Función racional: una función racional es aquella que puede escribirse como el cociente de dos funciones polinomiales.
f (x) =
P (x) Q(x)
, Q(x) ̸= 0
Su dominio será R menos donde su denominador es 0 Su recorrido depende de la función Por ejemplo:
f (x) =
x − 3
Dom(f ) = R \ { 3 } Rec(f ) = R \ { 0 }
x
y
Traslación de funciones
La gráfica de una función real puede trasladarse o reflejarse en el plano cartesiano. Sea y = f (x) una función y c una constante positiva. A partir de la gráfica de y = f (x) se pueden obtener nuevas funciones mediante las siguientes transformaciones:
- y = f (x) + c representa un desplazamiento vertical de la gráfica de y = f (x) en c unidades hacia arriba.
- y = f (x) − c representa un desplazamiento vertical de la gráfica de y = f (x) en c unidades hacia abajo.
- y = f (x − c) representa un desplazamiento horizontal de la gráfica de y = f (x) en c unidades hacia la derecha.
- y = f (x + c) representa un desplazamiento horizontal de la gráfica de y = f (x) en c unidades hacia la izquierda.
- y = −f (x) representa una reflexión de la gráfica de y = f (x) respecto del eje x.
- y = f (−x) representa una reflexión de la gráfica de y = f (x) respecto del eje y.
Nota: Al trasladar una función en el plano cartesiano es posible que cambien su dominio y su reco- rrido. En particular, las traslaciones horizontales modifican el dominio, mientras que las traslaciones verticales modifican el recorrido.
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c) l(x) =
3 − x −
2 + x (^) d) m(x) = x^ + 1 1 +
1 + x
- Analiza el gráfico. Luego, estima los siguientes valores. Para ello, considera los ejes graduados de 0 , 5 en 0 , 5 unidades.
a) f (−4) =
b) f (−3) =
c) f (−2) =
d) f (0) =
e) f (1) =
f) f (1, 5) =
g) f (2, 5) =
h) f (5) =
X
Y
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- Representa gráficamente en el plano cartesiano, la función real g, definida por:
g(x) =
3 , si x < − 1 x^2 + 2, si − 1 ≤ x < 2 −x + 5, si x ≥ 2
x
y
Ejercicios de selección múltiple
- Calcular el dominio de la función: f (x) =
x x^2 − x − 2 A) R B) R − { 2 , − 1 } C) R − 0 D) R − {− 2 , 1 }
- Si h(x) = −x^2 ¿Cuál es su recorrido? A) Todos los números reales B) Los números reales positivos y cero C) Los números reales negativos y cero D) Todos los números reales menos el 0
- Sea la función f (x) = x^2 − 3 x − 4 y g(x) = x − 4 , es(son) verdadera(s):
A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
I) f (0) · g(0) = 0
II) f (x) = g(x) · (x + 1)
III) g(3) + g(1) = − 7
