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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Límite Idea intuitiva del significado Representación gráfica
Cuando x o + f
limf(x) l x of
Al aumentar x, los valores de f(x) se van acercando al
valor l.
(el límite de f(x) es finito)
Ejemplo con l = - 1 Ejemplo con l = 0
f of
limf(x) x
Al aumentar x, los valores de f(x) crecen cada vez más.
f of
limf(x) x
Al aumentar x, los valores de f(x) son cada vez “más
negativos”.
Cuando x o - f
f of
limf(x) x
Al tomar x valores negativos pero cada vez más
grandes en valor absoluto, los valores de f(x) crecen
cada vez más.
f of
limf(x) x
Al tomar x valores negativos pero cada vez más
grandes en valor absoluto, los valores de f(x) son cada
vez “más negativos”.
limf(x) l x of
Al tomar x valores negativos pero cada vez más
grandes en valor absoluto, los valores de f(x) se van
acercando al valor l.
(el límite de f(x) es finito)
Ejemplo con l = 0 Ejemplo con l = 1
Cuando x o a
Por la derecha de a: x o a
+
f o
limf(x ) x a
: Al ir tomando x valores cercanos pero
mayores que “a”, la función va hacia +f
f o
limf(x ) x a
: Al ir tomando x valores cercanos pero
mayores que “a”, la función va hacia -f
f o
limf(x) x a
Estudiamos los
LÍMITES
LATERALES
Por la izquierda de a: x o a
-
f o
limf(x ) x a
: Al ir tomando x valores cercanos pero
menores que “a”, la función va hacia +f
f o
limf(x ) x a
: Al ir tomando x valores cercanos pero
menores que “a”, la función va hacia -f
En este ejemplo:
Cuando xo 0
, f(x)o - f
Cuando xo 0
Cuando xo 2
, f(x)o +f
Cuando xo 2
limf(x) l x oa
Al ir tomando x valores cercanos a “a”, los valores
correspondientes de f(x) se van acercando al valor l.
(el límite de f(x) es finito)
Ejemplo con a = 3 y l = 3
5
limf(x ) xok
se lee: límite de la función f(x) cuando x tiende a k
Ejemplo 1.:
a) 2 x 10
x 4 x 45 lim
2
x (^5)
o
Veamos hacia dónde se acerca la función 2 x 10
x 4 x 45 f(x)
2
, cuando x tiende a 5, creando una tabla de
valores cercanos a 5:
x 4,99 4,999 4,9999 5,0001 5,000001 5,
f(x) 6,995 6,9995 6,99995 7,00005 7,0000005 6,
Se puede observar que los valores de la función se acercan a 7, por tanto, (^) limf(x) 7 x o 5
b) Elabora una tabla como en el ejemplo anterior para comprobar el límite siguiente:
2 x 6
x 6 x 27 lim
2
x (^3)
o
OBSERVACIÓN: Una función f(x) tiene límite en un punto “a” si y sólo si existen los límites laterales y coinciden;
siendo dicho valor el límite de la función. Si alguno de los límites laterales no existe o no coinciden, entonces la
función no tiene límite en ese punto “a”.
Ejemplo 2.:
a) f
o x 2
x 1 lim
2
x 2
f
o x 2
x 1 lim
2
x 2
La función no tiene límite cuando x tiende a 2
b)
° ¯
d
d
2 x 3
x 1 2 x 3
3 x 2
f(x)
Aunque puede deducirse observando su
gráfica, veamos qué ocurre en los puntos de
cambio de expresión de esta función definida a
trozos:
Cuando x o -
lim f(x) lim f(x) 3 limf(x) 3 lim f(x) lim 3 3
lim f(x) lim( x 1 ) 3
x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
x 2 x 2
° ¿
o o o o o
o o
Cuando x o 3
o o
o o
limf(x) lim( x 1 ) 2
limf(x) lim 2 2
x 3 x 3
x 3 x 3 Los límites laterales no coinciden limf(x) xo 3
f( 4 , 99 )
2
0
1
2
3
4
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
f(x) = – x + 1
f(x) = 3 f(x) = 2
b) f
o (^0)
x 1
x 1 lim
2 2
x 1
Estudiando la diferencia x –1 podemos observar lo siguiente:
x si nos acercamos a x con valores mayores que 1 (por ejemplo 1,01, 1,001, 1,00001, etc.), estas
diferencias tienen signo positivo y como el numerador es positivo, el cociente es de signo positivo
dando como resultado final +f.
x si nos acercamos a x con valores menores que 1 (por ejemplo 0,99, 0,999, 0,99999, etc.), estas
diferencias tienen signo negativo y como el numerador es positivo, el cociente sería negativo dando
como resultado final -f.
En este ejemplo, hemos tenido que recurrir a los límites laterales (por la derecha en el primer caso y por
la izquierda en el segundo) para concluir el resultado.
c) f
f
of x x 1
x 2 x 4 lim 3
4
x
Teniendo en cuenta las operaciones con expresiones infinitas, sería difícil decidir
el resultado de este cociente. Estamos ante una indeterminación, no sabemos cuál de las dos funciones,
la del numerador o la del denominador, va más rápido a infinito o si van a la par.
A continuación comentaremos algunos tipos de indeterminaciones y la forma de resolverlas.
INDETERMINACIONES:
k ; f
f ; f f;
f 1 ; 0 f ; 0
0 f ;
0 0 (Estas dos últimas se verán más adelante)
k
Surge cuando, al sustituir x por el valor al que tiende, el numerador da como resultado un número real y el
denominador se anula. El resultado es f pero habrá que efectuar los límites laterales para estudiar el signo final
del cociente.
Ejemplo 4.:
a) f
o 0
x 2
x 5 lim
2 2
x 2
Límite por la derecha: f
o 0
x 2
x 5 lim
2
x 2
Límite por la izquierda: f
o 0
x 2
x 5 lim
2
x 2
Signo del cociente: (^)
Las diferencias del denominador para valores mayores que 2 son positivas, nos acercamos a 0 con valores positivos.
Signo del cociente: (^)
Las diferencias del denominador para valores menores que 2 son negativas, nos acercamos a 0 con valores negativos.
b) f
o (^0)
x 1
2 x x 6 lim
3 2 3 2
x 1
Límite por la derecha: f
o 0
x 1
2 x x 6 lim
3 2
x 1
Límite por la izquierda: f
o 0
x 1
2 x x 6 lim
3 2
x 1
c) f
o (^0)
x 2 x 1
x 2 lim 2
2
2
2
x 1
En este caso, podemos proceder de la misma manera que en los ejemplos anteriores estudiando los
límites laterales, o bien, si observamos el denominador, vemos que se trata de la identidad notable
siguiente:
2 ( x 1 ). Como el cuadrado de cualquier cantidad siempre es positivo y el numerador es
negativo, el cociente final es negativo, es decir:
f
o o 0
(x 1 )
x 2 lim x 2 x 1
x 2 lim 2
2
2
2
(^2) x 1
2
x 1
(Comprueba que calculando los límites laterales el resultado sería el mismo, – f)
f
f
ª Si P(x) y Q(x) son polinomios ,
ª f
!
of Cocientedeloscoeficientesdemayorgrado sigradodeP(x) gradode Q(x)
sigradodeP(x) gradodeQ(x)
sigradodeP(x) gradodeQ(x)
Q(x)
P(x) lim x
En el infinito se comporta como si fuese el cociente de los términos de mayor
grado, el resto de los términos pueden despreciarse por ser “muy pequeños” frente a los anteriores.
Valores mayores que -1 y cercanos a -1 son por ejemplo:
-0,99, -0,999, -0,99999, etc. Los resultados de x+1 son positivos.
Valores menores que -1 y cercanos a -1 son por ejemplo:
-1,01, -1,001, -1,00001, etc. Los resultados de x+1 son negativos.
Signo del cociente: (^)
Signo del cociente: (^)
-2 -1 0
Por la izquierda de -1 o m Por la derecha de -
f f
ª Si no hay radicales , efectuaremos la operación.
Ejemplo 8.:
a)
of
ff
of (^) (x 1 )(x 1 )
(x 3 )(x 1 ) (x 1 )(x 2 ) lim x 1
x 2
x 1
x 3 lim
2 2
x
(^22) ( )
x
of of x 1
x x 3 x 3 x x 2 x 2 lim x 1
x x 3 x 3 (x x 2 x 2 ) lim 2
3 2 3 2
(^2) x
3 2 3 2
x
x 1
2 x 5 x 1 lim 2
2
x
f
f
of
b)
of
ff
of (^) (x 1 ) x
(x 1 ) x (x 1 )( 3 x 2 ) lim x
3 x 2
x 1
x 1 lim
2 2
x
(^22) ( )
x
of of x x
x x 3 x 3 x 2 x 2 lim x x
x x ( 3 x 3 x 2 x 2 ) lim 2
3 3 2
(^2) x
3 3 2
x
f
f
f
of x x
2 x 3 x 3 x 2 lim 2
3 2
x
ª Si hay radicales , multiplicamos y dividimos por el conjugado de cada una de las expresiones que dan como
resultado f f.
Los conjugados de expresiones del tipo a b, a b, a b son, respectivamente, a b, a b,
a b.
Ejemplo 9.:
a) f
f
f
of of of
ff
of x 3 2 x
3 x 3 lim
x 3 2 x
x 3 4 x lim
x 3 2 x
( x 3 2 x)( x 3 2 x) lim ( x 3 2 x) lim 2
2
2 x
2 2
2 x
2 2
x
( ) 2
x
b)
of
ff
of x x x 2
( x x x 2 )( x x x 2 ) lim ( x x x 2 ) lim 2 2
2 2 2 2
x
( ) 2 2
x
Grados iguales
El grado del numerador es mayor que el del denominador, por tanto
el resultado es f y el signo final es el cociente de los signos de los
coeficientes de mayor grado:
Signo: ( – )
Signo: ( + )
Grado del numerador: 2 Grado del denominador: 1
Signo:
x x x 2
x 2 lim
x x x 2
x x x 2 lim
x x x 2
x x (x 2 ) lim 2 2 x 2 2
2 2
2 2 x
2 2
x
f
f
of of of
c) ff
ff
of x 1 x
x x lim x
of of of (x 1 x )( x x)
(x x )( x 1 x) lim
( x 1 x)( x x)( x 1 x)
( x x)( x x)( x 1 x) lim
x 1 x
x x lim 2
2
x x x
x x x x x x x x
x x 1 x x 1 x x lim 2 2 3
2 2 3
x (^)
of
d) of ff
x x
lim x
f 1
(Límites del tipo del número e)
Cuando se desea calcular el límite de una función cuya expresión es una potencia en la que tanto la base como el
exponente son funciones, puede darse el caso en el que la base tienda hacia 1 y el exponente hacia infinito.
Estamos entonces ante una indeterminación del tipo
f 1 , que se resolverá utilizando la expresión cuyo límite es el
número e:
e x
lim 1
x
x
of
Podemos generalizarlo para una función f(x) de la forma siguiente:
e f(x)
lim 1
f(x)
x
of
si f of
limf(x) x
o bien
lim 1 f(x)f(x) e
1
x
of
si limf(x) 0 x of
Estos resultados también son válidos para el caso en el que x tienda hacia un número “a” en lugar de tender hacia
infinito.
La clave está en que la base tienda hacia 1 y el exponente hacia infinito. Después, bastará con realizar las
transformaciones necesarias en la expresión inicial hasta obtener el aspecto de una de las situaciones anteriores,
generándose así una potencia del número e.
Grados iguales: grado 3
gr. numerador < gr. denominador
Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador y también por el del numerador, ya que ambas expresiones originan
una indeterminación del tipo f - f
Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador, que es la expresión con resultado f - f
x x
x x lim ( x x)( x x)
x x lim ( x x)( x x)
x x lim x x
lim 2 x x x x
of of of of
0 f
Surge cuando aparece el producto de dos funciones tendiendo una de ellas a 0 y la otra a infinito. En este caso,
transformaremos la expresión de forma que obtengamos una indeterminación del tipo
f
f o 0
Ejemplo 11.:
a)
3
9 x 3
x 4 x 4 lim
9 x 3
x 4 x 4 lim
9 x 3
(x 2 ) lim
9 x 3
lim (x 2 ) 2
2
x 2
2
x 2
2
x
( 0 )
2 x (^)
of of of
f
of
b)
4
32 x 5
18 x 1 lim 32 x 5
18 x 1 lim
32 x 5
18 x 1 lim
32 x 5
lim 18 x 1 2
2
(^2) x
2
2 x
2
x
( 0 )
2
2
x (^)
of of of
f
of
Se presenta en situaciones en las que el valor hacia el que tiende x es una raíz tanto de la función del numerador
como de la del denominador.
ª Cuando aparecen polinomios: Factorizamos y simplificamos.
Ejemplo 12.:
a)
2
x 1
x 2 lim (x 1 ) (x 1 )
(x 1 ) (x 2 ) lim
x 1
x x 2 lim x 1 x 1
0
0
2
2
x (^1)
o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o
b) 0
x 2
x (x 1 ) lim x(x 2 )
x (x 1 ) lim
x 2 x
x x lim x 0
2
x 0
0
0
2
3 2
x (^0)
o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o
c) lim(x 4 ) 2 4 8
x 4
(x 4 ) (x 4 ) lim
x 4
x 16 lim
2 2 (^2) x 2
2 2
x 2
0
0
2
4
x 2
o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o
ª Cuando aparecen raíces: Multiplicamos y dividimos por el conjugado de la expresión que se anula.
Ejemplo 13.:
a)
2
x 1
lim
(x 1 )( x 1 )
x 1 lim
(x 1 )( x 1 )
( x 1 )( x 1 ) lim x 1
x 1 lim x 1 x 1 x 1
0
0
x 1
o o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o
Propiedad 6
Indeterminación f
f
con grados iguales
Si introducimos el factor (x+2) bajo la raíz, obtenemos
una expresión de tipo f
f .
Para incluir un factor en una raíz, lo introduciremos
elevándolo al índice de dicha raíz.
El numerador es una identidad notable, una diferencia de cuadrados que se descompone
en suma por diferencia.
2 2 (a b)(ab) a b
b)
(x 4 ) (x 4 ) ( x 2 )
x (x 4 ) lim
(x 4 ) (x 4 ) ( x 2 )
x ( x 2 ) ( x 2 ) lim x 16
x ( x 2 ) lim x 4 x 4
0
0
x 4 2
o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o
(x 4 ) ( x 2 )
x lim x (^4) o
c)
(x 1 ) (x x)
x (x 1 ) ( x 1 ) lim
(x 1 ) (x x)
(x x) ( x 1 ) lim
( x 1 ) (x x) ( x 1 )
(x x) (x x) ( x 1 ) lim
x 1
x x lim x 1
0
0 2
x 1 x 1
0
0
x 1
o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o
x x
x ( x 1 ) lim x 1
o
d) f
o o
¸¸ ¹
· ¨¨ ©
§
o 0
x 3
lim (x 3 )
x 3 lim x 6 x 9
x 3 lim x 3 2 x 3
0
0
x 3 2
Estudiamos los límites laterales
Por la derecha: f o 0
x 3
lim x 3
Por la izquierda: f o
0
x 3
lim x 3
