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Unidad 6: Funciones algebraicas.
6.1 Función, regla de correspondencia, valor, dominio, contradominio y rango.
6.1.1 Función.
Es el conjunto de pares ordenados de números reales (𝑥, 𝑦) en los que el primer elemento es
diferente en todos y cada uno de los pares ordenados.
Ejemplos:
, ( 5 , 8 )} representa una función, ya que el primer elemento de
cada ordenado es diferente a los otros.
- 𝐵 = {( 1 , 1 ), ( 1 , − 1 ), ( 4 , 2 ), ( 4 , − 2 )} no representa una función, ya que se repite el
primer elemento en ciertos pares ordenados.
6.1.2 Regla de correspondencia.
Es la expresión que relaciona la variable dependiente con la variable independiente y se denota
por:
, se lee (𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥)
Donde:
𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
: regla de correspondencia
Ejemplos:
1
𝑥
2
6.1.3 Valor de una función.
Se obtiene al sustituir un cierto valor de 𝑥 en la función 𝑓
Ejemplos:
1.- Si 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
− 3 , el valor de f( 3 ) es igual a:
a) 3 b) 0 c) 9 d) 6
Solución:
2
2.- Si 𝑓(𝑥) =
𝑥+ 1
𝑥− 1
, el valor de 𝑓(− 2 ) es:
a) − 3
b)
1
3
c) 3
d) −
1
3
Solución:
6.1.4 Dominio de una función.
Es el conjunto de todos los valores de 𝑥 admisibles para una función.
6.1.5 Contradominio.
Es el conjunto de todos los valores de 𝑦 admisibles para una función.
6.1.6 Rango o imagen.
Es el conjunto de todos los valores resultantes de 𝑦 al sustituir cada uno de los elementos del
dominio en la función.
Ejemplo:
1.- Si 𝑓: 𝐷 → 𝐶 𝑐𝑜𝑛 𝐷 =
= 𝑥 + 1. ¿Qué conjunto representa el
rango de la función?
a) 𝑅 = { 2 , 4 } b) 𝑅 = { 2 } c) 𝑅 = { 2 , 4 , 6 } d) 𝑅 = { 4 }
Gráfica:
6.2.1.3 Función cuadrática.
▪ Para obtener los valores de
se aplican las siguientes fórmulas:
2
6.2.1.3 Función cuadrática.
Es de la forma 𝑓
3
2
Y
X
f(x) = ax + b
Dominio = (- ∞, ∞ )
Rango = {- ∞, ∞ }
Si a > 0
Dominio = R
Rango = {k , ∞ }
Y
X
V (h, k)
k
h
Dominio = R
Rango = {- ∞, k}
Si a < 0 Y
X
V (h, k)
k
h
Gráfica:
Ejemplos:
1.- Los puntos que pertenecen a la función 𝑓
= 3 , son:
a) {( 3 , 2 ), ( 3 , 3 ), ( 3 , 4 )} b) {( 1 , 2 ), ( 2 , 3 ), ( 3 , 4 )}
c) {
, ( 3 , 3 )} d) {
Solución:
▪ Los puntos que pertenecen a la función 𝑓
= 3 , son todos aquellos cuya ordenada es
3, significa que son la forma
para cualquier valor de 𝑥, entonces, el conjunto es:
2.- Representa una función constante:
a) 𝑓(𝑥) = 𝜋 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 c) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
d) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
Solución:
▪ Una función constante es aquella regla de correspondencia que a cualquier valor de 𝑥 le
asigna el mismo valor:
2.- Representa una función lineal:
a) 𝑓
= 𝑥 b) 𝑓
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥+ 1
𝑥
d) 𝑓
𝑥
Y
X
Dominio = (- ∞, ∞ ) = R
Rango = {- ∞, ∞ } = R
6.2.1.4 Función racional.
Es de la forma 𝑓(𝑥) =
ℎ(𝑥)
𝑔(𝑥)
con 𝑔(𝑥) ≠ 0 , si 𝑥
1
2
𝑛
son los valores para los cuales
1
2
𝑛
) = 0 , entonces el dominio de 𝑓(𝑥) se define como:
𝑓
1
2
𝑛
Donde a 𝑥 1
2
n
se les denomina asíntotas verticales.
Asíntota:
Es una recta o curva cuya distancia a la función 𝑦 = 𝑓
se aproxima a cero, esto es, la asíntota
se acerca a la función, pero nunca la toca.
Gráfica:
Ejemplos:
1.- La asíntota vertical de la función 𝑓
𝑥+ 2
𝑥− 1
es:
a) 𝑥 = − 2 b) 𝑥 = 1 c) 𝑥 = − 1 d) 𝑥 = 2
Solución:
▪ Se iguala el denominador con cero y se despeja a la variable 𝑥 para obtener las
ecuaciones de las asíntotas verticales:
▪ La función sólo tiene una asíntota vertical en 𝑥 = 1.
y = f(x)
As. vertical
Y
X
y = b
x = a
Q = (x, y)
L
d
As. horizontal
2.- El dominio de la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
2
es:
a) 𝐷
𝑓
= {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ − 3 , − 2 } b) 𝐷
𝑓
c) 𝐷
𝑓
= {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑥 ≠ − 3 , 2 } d) 𝐷
𝑓
Solución:
▪ El dominio de la función se obtiene a partir de sus asíntotas verticales, entonces:
2
▪ Por consiguiente, el dominio es:
𝑓
6.2.1.5 Función raíz cuadrada.
Es de la forma 𝑓
= √𝑔(𝑥) , y su dominio es 𝐷
𝑓
▪ Nota: la resolución de una desigualdad se desarrolla en la unidad 4.
Ejemplos:
1.- El dominio de la función 𝑓
= √𝑥 − 2 es:
a) 𝐷
𝑓
< 2 } b) 𝐷
𝑓
c) 𝐷
𝑓
= {𝑥 ∈ 𝑅 / 𝑔(𝑥) > 2 } d) 𝐷
𝑓
Solución:
▪ Para obtener el dominio se resuelve la desigualdad 𝑥 − 2 ≥ 0
▪ Por consiguiente:
𝑓
6.2.1.5 Funciones implícitas y explícitas.
▪ En una función explícita una variable se escribe en términos de la otra.
Ejemplos:
𝑥+ 1
𝑥− 1
2
▪ En una función implícita la relación se expresa en términos de 𝑥 y 𝑦.
Ejemplos:
2
2
2
2
6.2.1.6 Función creciente.
▪ Una función definida en un intervalo es creciente en ese intervalo, si y sólo si para todo
2
1
se cumple que 𝑓(𝑥
2
1
); esto es, una función es creciente si al aumentar
𝑥 también 𝑓(𝑥) aumenta.
Ejemplo:
Determinar si la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥 + 5 es creciente.
Solución:
▪ Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 = 2 y 𝑥 = 4 :
Si 𝑥 = 2 , 𝑓
Si 𝑥 = 4 , 𝑓( 4 ) = 2 ( 4 ) + 5 = 13
▪ Se observa que al aumentar los valores de 𝑥 también aumentan los valores de 𝑓
, por
tanto, la función 𝑓
= 2 𝑥 + 5 es creciente.
6.2.1.7 Función decreciente.
▪ Una función definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, para
todo 𝑥
1
2
se cumple que 𝑓(𝑥
1
2
); esto es, una función es decreciente si al
aumentar 𝑥 𝑓(𝑥) disminuye.
Ejemplo:
Determinar si la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
es decreciente.
Solución:
▪ Se eligen 2 valores para 𝑥, en este caso 𝑥 = 1 y 𝑥 = 2 , entonces:
Si 𝑥 = 1 , 𝑓( 1 ) =
Si 𝑥 = 2 , 𝑓
▪ Se observa que mientras los valores de 𝑥 aumentan, los valores de 𝑓(𝑥) disminuyen, por
consiguiente, la función es decreciente.
6.2.1.8 Funciones continuas y discontinuas.
▪ Una función 𝑦 = 𝑓
es continua en 𝑥 = 𝑥
0
, si 𝑓
0
está definida.
2.- La función 𝑓(𝑥) =
𝑥− 2
𝑥
2
− 4
es discontinua en:
a) 𝑥 = 4 b) 𝑥 = 2 c) 𝑥 = − 1 d) 𝑥 = 3
Solución:
Si 𝑥 = 4 , 𝑓( 2 ) =
2
, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = 2 , 𝑓( 2 ) =
2
, en este punto es discontinua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = − 1 , 𝑓(− 1 ) =
2
= − 1 , en este punto es continua 𝑓(𝑥).
Si 𝑥 = 3 , 𝑓( 3 ) =
2
, en este punto es continua 𝑓(𝑥).
3.- ¿Cuál de las siguientes funciones es continua en 𝑥 = − 1?
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
2
− 1
b) 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
2
c) ℎ(𝑥) =
𝑥− 1
𝑥+ 1
d) 𝑤(𝑥) =
1
𝑥
2
− 4
Solución:
▪ Se sustituye 𝑥 = − 1 en cada una de las funciones:
2
= 0 , la función es discontinua en 𝑥 = − 1.
2
, la función es discontinua en 𝑥 = − 1.
, la función es discontinua en 𝑥 = − 1.
2
, la función es continua en 𝑥 = − 1.
6.2.1.9 Identificación de una función mediante su gráfica.
Para identificar gráficamente a una función de una relación, se traza una recta vertical sobre la
gráfica.
▪ Si interseca en un punto a la gráfica, entonces representa una función.
Ejemplo:
La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca 2
puntos a la curva.
▪ Si interseca en más de un punto a la gráfica, entonces representa una relación.
Ejemplo:
La siguiente gráfica no es una función, representa una relación, ya que la línea vertical toca en 2
puntos a la curva.
6.2 Álgebra de funciones.
Sean las funciones 𝑓
y 𝑔(𝑥), entonces:
Suma de funciones:
▪ Se denota 𝑓 + 𝑔 y se define por:
Solución:
2
2
3.- Si 𝑓(𝑥) =
𝑥+ 1
𝑥− 1
y 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
, entonces la función composición 𝑓°𝑔 es:
a)
𝑥+ 1
𝑥− 1
b)
𝑥− 1
1 −𝑥
c)
1 +𝑥
1 −𝑥
d)
1 +𝑥
1 +𝑥
Solución:
