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Este informe investigativo de la Universidad Privada Antenor Orrego, Escuela Profesional de Arquitectura, presenta el concepto de funciones crecientes y decrecientes, máximos y mínimos de una función, y su aplicación en arquitectura. Los autores explican la definición de funciones crecientes y decrecientes, y cómo se utilizan para resolver problemas prácticos en arquitectura, como calcular superficies paraboloides o puntos de inflexión. El documento incluye ejemplos resueltos y gráficas.
Tipo: Apuntes
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TRUJILLO – PIURA
2021
Una función es estrictamente creciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que: cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba: una función es estrictamente creciente en el punto de abscisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente creciente en el intervalo. de esta definición se deduce que si es derivable en y es estrictamente creciente en el punto de abscisa.
Función creciente en un intervalo
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
Una función es creciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) < f(x2). Es decir, es creciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, aumenta la variable dependiente y.
Función creciente en un punto
Sea una función f derivable en el punto a.
La función f es creciente en a si f’(a) > 0. Es decir, es creciente en a si la derivada es positiva.
una función es estrictamente decreciente en un intervalo, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y, se cumple que: cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo: una función es estrictamente decreciente en el punto de abscisa si existe algún número positivo tal que es estrictamente decreciente en el intervalo.
Función decreciente en un intervalo
Sean a y b dos elementos del dominio, tales que a < b y formando el intervalo [a,b].
Una función es decreciente entre a y b si para cualquier par de puntos x1 y x2 del intervalo tales que x1<x2, se cumple que f(x1) > f(x2). Es decir, es decreciente en [a,b] si al aumentar la variable independiente x, disminuye la variable dependiente y.
Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que, en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y, en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que, en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.
Este procedimiento consiste en:
PROBLEMAS DE MAXIMOS Y MINIMOS
Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.
Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener. Deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente, Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas. En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo. Es conveniente construir la gráfica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.
Se tiene una lámina circular que tiene de radio 70 cm. De la que se desea cortar un rectángulo de la mayor área posible. ¿Qué medidas debe tener el rectángulo? ¿Cuál debe ser el área máxima? Algunas formas de cortar el rectángulo en círculo.
Solución: Si representamos la longitud del rectángulo con L. El ancho con A. siendo el diámetro D = 2 r = 140 cm. Puesto que el diámetro del círculo es la recta transversal del rectángulo, que lo divide en dos triángulos rectángulos.
Por el teorema de Pitágoras: L 2 + A 2 = D^2 (140 cm.) 2 de ahí que: L^2 + A 2 =19600, lo que equivale
a A = √ 19600 − 𝐿𝐿^2. El área del rectángulo será Y = L A = L 19600 – L 2 obteniendo el máximo de la función.
Y= L 19600 – L^2. Y = 19600 - L2 - 19600 - L2 se iguala la derivada a cero.
19600 - L2 - 19600 - L2 = 0 despejando L en la derivada.
L= 9800 Al sustituir en la función: y= L 19600 - L 2 = 9800 19600 - 9800 = 9800. Para encontrar el ancho del cuadrado: A= 19600 - L =0 19600 - 9800 = 9800. El rectángulo solución, resulto el cuadrado que mide por lado 9800, 99 cm. Correspondiéndole un área de 9800 cm 2.
De una lámina de 120 cm. X 75 cm. Se desea construir una caja sin tapa, del mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar las caras laterales. ¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea máximo? ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener?
La figura muestra los cortes que se hacen a la lámina y la figura de la caja resultante.
Solución: Al asignar x a la altura de la caja y V a su volumen, se expresa algebraicamente.
V = (120 - 2X) (75 - 2X) (x)
V = 4X3 - 390 X2 + 9000x. Acá es importante resaltar que no se le pude recortar a la lámina más de 37.5 cm., por lo que la altura debe estar en el intervalo: 0<X<37.5 Calculando el máximo en la función V = 4X3 - 390 X2 + 9000X.
Se puede calcular que las raíces de esta función son:
Si ubicamos estos puntos en la gráfica, nos quedaría:
donde hemos marcado de color verde la zona en que la función es decreciente y de color azul la zona en que la función es creciente.
La derivada de la función (1) es:
No resulta complicado verificar, mediante el DERIVE, por ejemplo, que esta derivada (2) es positiva en los intervalos:
y que justamente corresponden a los dominios de la gráfica en los sectores de color azul.
Tampoco resulta complicado verificar que la derivada (2) es negativa en los intervalos
y que corresponde al dominio de la gráfica que está de color verde.
El resumen de lo expuesto en este explicado se puede ver en la siguiente gráfica.
ARQUITECTURA
La derivada es un límite por lo tanto una aplicación en la vida diaria de la derivada sería también del límite. La derivada se utiliza mucho en la ingeniería industrial, para reducir costos de fábrica de un producto, a esto se le llama optimización. también es muy usada en administración y economía, para calcular razones de cambio cuando se tiene una función que indica algún crecimiento o decrecimiento económico.
En el campo de la física viene muy acompañada de la integración. Sirve para el cálculo del trabajo o energía utilizada, cálculos de carga de una superficie y en circuitos eléctricos.
Las derivadas o diferenciales tienen demasiadas aplicaciones, son la base de la mayoría de las ingenierías, con las derivadas puede resolver muchos problemas relacionados con la variación. Se pueden por ejemplo determinar velocidad con la que desciende el nivel de agua en un embudo, o el tamaño de la sombra proyectada por un faro o un edificio.
La derivada de una función es una medida de una rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática esto se puede interpretar de forma geométrica o algebraica.
También se define como la curva o un punto.
Algunas de las aplicaciones de las derivadas en las arquitecturas son:
La derivada se utiliza para las ocasiones en las que las construcciones propuestas requieren de cálculos especiales que no se pueden obtener por operaciones geométricas sencillas, cuando tengas que calcular superficies paraboloides o superficies orgánicas irregulares.
En arquitectura se usan las derivadas para calcular los valores o puntos máximos y mínimos de una figura geométrica, es decir, calcular la concavidad, convexidad, Asimismo los puntos de inflexión de una figura o también de una estructura.
Su gráfica:
Y por último damos un concepto de la aplicación de la derivada en la arquitectura lo cual nos da a entender que este sistema matemático es muy importante para poder desarrollar muchos tipos de problemas que se dan en esta carrera profesional tal como en obras que necesiten un estudio más avanzado, ya sea por su pendiente o diseño el cual requiera cálculos matemáticos como es aplicar las derivadas. Cuando se desee calcular diferentes superficies que no sean planas, o diferentes diseños. Los Arquitectos pueden trabajar en conjunto con Ingenieros, los cuales también tienen vastos conocimientos sobre el cálculo avanzado. Éstos son problemas netamente técnicos, los cuales pueden ser necesarios.
