Tema 9: Variación media y derivadas de una función, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Tema 9: Variación media y derivadas de una función y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Derivades

Tema 9

Variació mitjana d’una funció

Donada una funció f(x) en un interval [a,b], anomenem variació mitjana de la funció a:

Si la funció és creixent en un interval, la VM > 0 Si la funció és decreixent, la VM < 0

Variació instantània d’una funció

La variació instantània d’una funció en un punt x 0 , VI(x 0 ), és el valor al que tendeixen les variacions mitjanes d’aquesta funció quan els intervals al voltant de x 0 són cada vegada més petits

Derivada d’una funció en un punt

Definim la derivada d’una funció f(x) en un punt d’abscissa x 0 i la designem per f’(x 0 ) com el límit següent:

Coincideix amb el pendent de la recta tangenta a la corba en aquest punt Els conceptes variació instantània i derivada d’un funció en un punt, són el mateix

Activitat 2 : Troba les derivades de les següents funcions en els punts indicats

• Exemple: Troba la derivada de la funció f(x) = 2x 2 - 3x + 4 en el punt x 0 = - a) f(x) = 2x 2 - 5x en x 0 =
  • b) en x 0 = - c) f(x) = x 2 + 3 en x 0 = -

Funció derivada

Definim la funció derivada de f(x) i la designem per f’(x) com la funció que a cada valor de x 0 li assigna la derivada de f(x) en x 0. Per buscar-la podem fer servir la definició anterior del límit i aplicar-la en general per qualsevol punt.

Exemples: - f(x) = 5x 3 + 2x 2 f’(x) = 5 · 3x 2 + 2 · 2x = 15x 2 + 4x f(x) = 3 x^ + ln x f’ (x) = 3 x^ ln3 + 1/x f(x) = 2/x 3 = 2 · x -3^ f’(x) = 2 · (-3 x -4^ ) = -6 / x 4 Activitat 3 : Deriva les següents funcions:

f(x) = 5 x^6 – 3 x^5 + 3 x^3 – 2

f(x) = sin x - cos x f(x) =3 cos(x)

Activitat 4 : Deriva les següents funcions

Derivada d’operacions amb funcions

● La derivada d’una suma de funcions és igual a la suma de les derivades de les funcions Si S(x) = f(x) + g(x) S’(x) = f’(x) + g’(x) ● La derivada del producte de funcions és la suma dels productes de la derivada de cada una d’elles per les altres sense derivar Si P(x) = f(x) · g(x) P’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x)

Exemples: f(x) = 4x 2 · sin x f’(x) = 8x · sin x + 4x 2 · cos x f(x) = 3x · ln x f’(x) = 3 · ln x + 3x · 1/x = 3 ln x + 3 f(x)=

Activitat 5 : Deriva les següents funcions: a) f(x) = (x^3 +5x+2)·(3x+1)

b) f(x) = (x^3 +5x+2)·(3x^2 +x) c) f(x)=

d) f(x) = (x^3 +8x-2)·(x-1) e) f(x)=

Derivada de la composició de funcions

Per trobar la derivada de funcions compostes, s’utilitza la regla de la cadena: es deriva primer la funció més externa, després la més interna i es multipliquen els resultats

(f[g(x)])’ = f’[g(x)] · g’(x)

Si la composició és de més de dues funcions, es deriva seguint el mateix raonament, sempre de fora cap a dins, mantenint la funció que tinguem en cada pas