¡Descarga Resueltos: ejercicios de funciones - dominio, gráfica e imagen y más Ejercicios en PDF de Matemáticas Aplicadas solo en Docsity!
Ejercicios resueltos
Funciones: dominio, gr´afica e imagen
El objetivo de este apunte es resolver algunos ejercicios de ejemplo, similares a los del comienzo de la pr´actica del cap´ıtulo 4, discutiendo un poco c´omo encararlos y c´omo resolverlos. En los mismos usaremos contenidos vistos en ´este y en los anteriores cap´ıtulos.
Ejercicio:
- Hallar el dominio, graficar y determinar la imagen de las siguientes funciones:
f (x) = −
a) x + 3 b) g(x) = −x^2 + 2x + 3 h(x) =
x + 1
c) + 2 s(x) =
d) 2 − x − 1
Resoluci´on:
- El ejercicio nos pide calcular el dominio de varias funciones, realizar sus respectivas gr´aficas y luego para cada funci´on determinar su imagen. Primero entonces recordemos un poco qu´e son cada uno de estos t´erminos. El dominio de una funci´on es el mayor conjunto de n´umeros reales para el cual tiene sentido calcular la funci´on (ver p´agina 48 del libro de c´atedra). En otras palabras son los valores que puede tomar x en la funci´on y para los cuales podemos realizar la cuenta. Las ´unicas restricciones de ese estilo que tenemos por ahora son que nunca podemos dividir por cero, y que las ra´ıces de ´ındice par tienen que tener argumentos positivos (es decir que lo que est´a dentro de la ra´ız tiene que ser mayor o igual a cero, siempre y cuando la ra´ız sea de ´ındice par). Las ra´ıces de ´ındice impar no sufren esta restricci´on. M´as adelante veremos otro tipo de funciones que tienen otros tipos de restricciones de domino. Para hacer referencia al dominio de una funci´on, por ejemplo la funci´on f , en estas notas se usar´a la notaci´on: Dom(f ). La gr´afica de una funci´on f es el conjunto de puntos del plano de la forma (x, f (x)) (ver p´agina 49 del libro de c´atedra). En otras palabras ser´an todos los puntos cuya primer coordenada sea alg´un valor del dominio de la funci´on y su segunda coordenada sea el valor que le corresponde por la funci´on f. Para la gr´afica de algunas funciones tal vez debamos recurrir a los conceptos vistos en los cap´ıtulos 2 y 3. La imagen de una funci´on es el conjunto de valores que toma la misma (ver p´agina 49 del libro de c´atedra). Si tenemos la gr´afica de la funci´on, estos valores se pueden ver mirando qu´e valores toma la funci´on sobre el eje y. Para hacer referencia a la imagen de una funci´on, por ejemplo la funci´on f , en estas notas se usar´a la notaci´on: Im(f ). Discutiremos m´as de esto en cada uno de los ejemplos.
a) f (x) = −
x + 3 En este caso nos encontramos ante una funci´on lineal y por lo tanto su dominio ser´an todos los n´umeros reales (ya que no hay ning´un valor de x para el que no se pueda hacer la cuenta). Es decir: Dom(f ) = R Por otro lado, como la funci´on es lineal, su gr´afica ser´a una recta (ver p´aginas 23 a 26 del libro de c´atedra). Para graficarla entonces lo haremos de la misma forma que grafic´abamos rectas (como vieron en el curso de nivelaci´on), ya sea usando la informaci´on de la pendiente y la ordenada al origen o buscando dos puntos de la recta. En este caso tenemos que graficar una recta con ordenada al origen 3 (que nos indica d´onde corta la funci´on al eje y) y una pendiente de −−− 222 /// 33 3, que nos indica que por cada 3 unidades que nos movamos hacia la derecha nos deberemos mover 2 unidades hacia abajo (n´otese que el numerador me indica el deplazamiento en la direcci´on del eje y y el numerador el desplazamiento en la direcci´on del eje x, y el signo se lo asignamos a uno solo de estos valores).
De esta forma la gr´afica de f ser´ıa:
− 1 0 1 2 3 4 5 x
y
f (x)
Si miramos ahora entonces todos los valores que toma la funci´on sobre el eje y, podemos ver claramente que en este caso, como la recta contin´ua indefinidamente, la imagen de la funci´on f ser´a todos los reales. Esta idea puede “verse” en la figura de al lado, donde hemos marcado en lineas naranjas horizontales la proyecci´on de algunos de los valores de la funci´on sobre el eje y, y sobre este mismo eje hemos marcado la imagen de la funci´on en rojo. En los siguientes ejemplos tal vez se entienda mejor esta idea. Aclaraci´on: todo lo que est´a marcado en naranja y en rojo ustedes no lo deben escribir en su gr´afico, pero es algo que pueden pensar a la hora de tener que determinar la imagen de una funci´on.
− 1 0 1 2 3 4 5 x
y
Im(f )
Por lo tanto: Im(f ) = R
b) g(x) = −x^2 + 2x + 3
En este caso nos encontramos ante una funci´on cuadr´atica, y por lo tanto su dominio ser´an tambi´en todos los n´umeros reales (esto pasa en general con cualquier funci´on polin´omica), ya que nuevamente no habr´a ning´un valor de x para el cual no se pueda realizar esa cuenta. Es decir que: Dom(g) = R
Sabemos por otro lado que, al ser una funci´on cuadr´atica su gr´afica ser´a una par´abola. Para graficar una par´abola hay varios m´etodos. Ya vieron en el cap´ıtulo 3 que una forma de graficarlas es en base a su ecuaci´on can´onica, viendo d´onde est´a el v´ertice y hacia d´onde apuntan las ramas. Si en este caso pensamos a y = g(x), entonces obtenemos la siguiente ecuaci´on:
y = −x^2 + 2x + 3
Y si completamos cuadrados y llevamos a la forma can´onica (ver ejemplo p´agina 39 del libro de c´atedra) obtenemos: −(x − 1)^2 = y − 4 Que podemos ver que es una par´abola con v´ertice V (1, 4), eje vertical y las ramas hacia abajo. Otra forma en que a veces podemos graficar una par´abola es en base a la intersecci´on de esta con los ejes (cuando los tenga). Para ver d´onde la funci´on interseca al eje y, debemos cu´anto vale la funci´on en x = 0, es decir:
Intersecci´on con el eje y ⇒ g(0) = − 02 + 2 · 0 + 3 = 3
Por lo tanto la funci´on corta al eje y en el punto (0, 3).
c) h(x) =
x + 1
En este caso tenemos una funci´on donde aparece una fracci´on con nuestra inc´ognita en el de- nominador. Como sabemos que no podemos dividir por 0, deberemos tener esto en cuenta para calcular el dominio de la funci´on. En este caso el denominador se anula cuando:
x + 1 = 0 ⇒ x = − 1
Entonces esta funci´on estar´a definida para cualquier n´umero excepto el −1. Por lo tanto resulta que: Dom(h) = R − {− 1 }
Por otro lado, para realizar la gr´afica de esta funci´on podemos ver que si hacemos y = h(x) nos queda la ecuaci´on: y =
x + 1
x + 1 Que es la ecuaci´on de una hip´erbola, con centro C(− 1 , 2), con constante t = 1 y con un numerador de signo positivo, entonces su gr´afica ser´a (ver p´aginas 40 a 43 del libro de c´atedra):
− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 x
y
h(x)
N´otese que la l´ınea punteada vertical que trazamos para graficar la hip´erbola coincide con el valor de x que no est´a en el dominio de la funci´on. Siempre que una funci´on tenga un valor que no est´e en su dominio, la gr´afica de la funci´on no podr´a cruzar por encima de este valor.
Si analizamos ahora los valores que toma la funci´on sobre el eje y, podemos ver que la funci´on crece indefinidamente tanto para valores positivos como para valores negativos. Sin embargo, si miramos con cuidado, vemos que hay un valor que la funci´on nunca toma, que en este caso es 2. Este valor coincide con la recta horizontal punteada que trazamos para graficar la hip´erbola, y este ser´a el ´unico valor que no estar´a en la imagen de la funci´on h. Recuerden que el gr´afico que se muestra aqu´ı al lado contie- ne muchos elementos que ustedes no deben graficar, pero si que pueden pensar a la hora de determinar la imagen de una funci´on. En este caso entonces tenemos que:
− 3 − 2 − 1 0 1 2 3 x
y
Im(h)
Im(h) = R − { 2 }
d) s(x) =
2 − x − 1
En este caso nos encontramos con una funci´on que tiene una ra´ız de ´ındice par y nuestra variable se encuentra dentro de su argumento. Por esta raz´on, esta funci´on estar´a definida cuando el argumento de dicha ra´ız sea positivo (o cero). Por lo tanto, para ver el dominio de la funci´on s: s(x) =
(^2) ︸ ︷︷ ︸ − x ≥ 0
− 1 ⇒ 2 − x ≥ 0 ⇒ 2 ≥ x ⇒ x ≤ 2
Por lo tanto el dominio de la funci´on s resulta: Dom(s) = (−∞, 2]
Ahora bien, para trazar la gr´afica de esta funci´on, podemos nuevamente recurrir a pensar a y = s(x) y analizar la ecuaci´on que nos queda, para ver si se corresponde con algo que conozcamos. La ecuaci´on que nos queda ser´ıa: y =
2 − x − 1 ⇒ y + 1 =
2 − x ⇒ (y + 1)^2 = −x + 2 ⇒ (y + 1)^2 = −(x − 2) Que se trata de la ecuaci´on de una par´abola con v´ertice V (2, −1), eje horizontal y las ramas hacia la izquierda (ver p´aginas 39 y 40 del libro de c´atedra). Pero si analizamos el gr´afico de esta par´abola (ver imagen contigua), podemos apreciar que este gr´afico no puede corresponder a la gr´afica de una funci´on, ya que para un mismo valor de xxx hay m´as de un valor de yyy. Sin embargo la gr´afica de s(x) estar´a relacionada con esta par´abola. En este caso (como la ra´ız tiene adelante un signo positivo impl´ıcito) se tratar´a de la rama superior de dicha par´abola. Si en cambio nuestra funci´on hubiese sido t(x) = −
2 − x − 1 su gr´afica hubiese sido la rama inferior.
− 2 − 1 0 1 2 3 x
y
1 (y + 1)^2 = −(x − 2)
Por lo tanto la gr´afica de s(x) resulta:
− 2 − 1 0 1 2 3 x
y
s(x)
Si ahora observamos los valores que toma la funci´on sobre el eje y, podemos ver que nunca toma valores por debajo de −1, pero sin embargo crece indefinidamente hacia arriba. Tambi´en podr´ıamos hacer el mismo an´alisis que ven´ıamos haciendo hasta ahora, imaginando que trasladamos hori- zontalmente los puntos de la gr´afica y viendo qu´e conjunto determinar´ıan ´estos sobre el eje y. De cualquiera de las dos formas obtenemos que la imagen de la funci´on s resulta:
Im(s) = [− 1 , +∞)
− 2 − 1 0 1 2 3 x
y
Im(s)
