FUNCIONES MC1 USAC 2021, Diapositivas de Matemáticas

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FUNCIONES

ING. MAR IO LÓPEZ

FUNCIÓN

Para los conjuntos no vacíos A y B, una función, o aplicación, 𝑓 de A en B denotada por: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Es una relación de A en B en la que cada elemento de A aparece exactamente una vez como la primera componente de los pares ordenados de dicha relación (ver diagrama de la derecha). Nota: No puede faltar ni uno solo de los elementos de A. a b c d ⋮ f(a) f(b) = f(c) f(d) ⋮ x y ⋮ A Dominio B Contradominio o codominio 𝑓 Imagen de “a” 𝑓 𝐴 = Imagen de 𝑓

Ejemplo # 1 continuación…

La relación 𝑔 NO es función puesto que el elemento “ 2 ”, del conjunto A, NO aparece como primera componente en los pares ordenados de 𝑔 (ver diagrama de la derecha). 1 3 2 x z w y A B 𝐴 = 1 , 2 , 3 𝐵 = 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧

Ejemplo # 1 continuación…

La relación ℎ NO es función puesto que el elemento “ 1 ”, del conjunto A, aparece como primera componente en dos pares ordenados distintos de ℎ (ver diagrama de la derecha). 1 2 3 z w x y A B 𝐴 = 1 , 2 , 3 𝐵 = 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧

Ejemplo # 1 continuación…

La relación 𝑗 es función puesto que todos los elementos de A aparecen una única vez como primera componente en los pares ordenados de 𝑗 (ver diagrama de la derecha). La imagen de la función es: 𝑗 𝐴 = 𝑤, 𝑥, 𝑦 1 2 3 x w y z A B 𝑗 𝑗 𝐴 = 𝑤, 𝑥, 𝑦 𝐴 = 1 , 2 , 3 𝐵 = 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧

FUNCIÓN UNO A UNO O

INYECTIVA

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es uno a uno o inyectiva si cada elemento de B aparece como máximo una vez como la imagen de un elemento de A. Si 𝑎 1 = 𝑎 2 Entonces 𝑓 𝑎 1 = 𝑓 𝑎 2 Ej. La función 𝑗: 𝐴 → 𝐵 del numeral 5 del ejemplo # 1 es uno a uno o inyectiva pues cada elemento de B aparece como máximo una vez como la imagen de un elemento de A. No importa que sobre el elemento z del conjunto B. a b c d ⋮ f(a) f(b) f(c) f(d) ⋮ x y ⋮ A Dominio B Contradominio o codominio 𝑓 𝑓 𝐴 = Imagen de 𝑓

Ejemplo # 2

Sean los conjuntos: 𝐴 = 1 , 2 , 3 , 4 𝐵 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 Dada la función: 𝑓 = 1 , 𝑥 , 2 , 𝑦 , 3 , 𝑧 , 4 , 𝑦 La función 𝑓 es sobre o sobreyectiva pues 𝑓 𝐴 = 𝐵, es decir, no sobra ningún elemento de B. Por otro lado, la función 𝑓 no es uno a uno o inyectiva pues el elemento “y” es imagen de “ 1 ” y de “ 4 ”. Ver diagrama de la derecha. 1 2 3 4 x y z A B 𝑓 𝑓 𝐴 = 𝐵

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es biyectiva si es inyectiva (uno a uno) y sobreyectiva (sobre). Ver diagrama de la derecha. Ej. Ninguna de las tres funciones, 𝑓, 𝑖 y 𝑗, del ejemplo # 1 son biyectivas debido a: 𝑓 No es inyectiva ni sobre. 𝑖 No es inyectiva ni sobre. 𝑗 Es inyectiva pero no es sobre. Ej. La función 𝑓 del ejemplo # 2 no es Inyectiva pero si es sobre. a b c d f(a) f(b) f(c) f(d) A Dominio B Contradominio o codominio 𝑓 𝑓 𝐴 = 𝐵

FUNCIÓN IDENTIDAD PARA EL

CONJUNTO A ( 1

𝐴

La función (^1) 𝐴: 𝐴 → 𝐴 se define como: (^1) 𝐴 𝑎 = 𝑎 Para todo 𝑎 𝜖 𝐴 a b c d a b c d A (^1) 𝐴 A

Ejemplo # 4

Sea el conjunto: 𝐴 = 1 , 2 , 3 , 4 Determinar la función identidad (^1) 𝐴. En base a la definición de función identidad se tiene: (^1) 𝐴 = 1 , 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 4 , 4 Ver diagrama de la derecha. 1 2 3 4 1 2 3 4 A A (^1) 𝐴

Ejemplo # 5

Sean los conjuntos: 𝐴 = 1 , 2 , 3 , 4 𝐵 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝐶 = 𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧 Y las funciones: 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑓 = 1 , 𝑎 , 2 , 𝑎 , 3 , 𝑏 , 4 , 𝑐 𝑔: 𝐵 → 𝐶 𝑔 = 𝑎, 𝑥 , 𝑏, 𝑦 , 𝑐, 𝑧 Encontrar: 𝑔𝑜𝑓: 𝐴 → 𝐶

Ejemplo # 5 continuación… Debido a que por la definición de composición de funciones: 𝑔𝑜𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑎)) Se debe aplicar 𝑔𝑜𝑓 a cada elemento del dominio de la función 𝑓, esto es, el conjunto 𝐴. Por lo que se tiene: 𝑔𝑜𝑓 1 = 𝑔 𝑓 1 = 𝑔 𝑎 = 𝑥 𝑔𝑜𝑓 2 = 𝑔 𝑓 2 = 𝑔 𝑎 = 𝑥 𝑔𝑜𝑓 3 = 𝑔 𝑓 3 = 𝑔 𝑏 = 𝑦 𝑔𝑜𝑓 4 = 𝑔 𝑓 4 = 𝑔 𝑐 = 𝑧 Entonces: 𝑔𝑜𝑓 = 1 , 𝑥 , 2 , 𝑥 , 3 , 𝑦 , 4 , 𝑧

Para este ejemplo no se puede realizar la composición de funciones: 𝑓𝑜𝑔 = 𝑓(𝑔 𝑎 ) Pues al aplicar 𝑓𝑜𝑔 a cada elemento del dominio de 𝑔 se obtiene el conjunto 𝐶, el cual no es el dominio de 𝑓.