ALGEBRA BOOLEANA MC 1 USAC 2021, Diapositivas de Matemáticas

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4ta. UNIDAD ÁLGEBRA BOOLEANA Ing. Mario López

z ÁLGEBRA BOOLEANA

Sistema matemático deductivo que se define a través de las

siguientes componentes:

1. CONJUNTO DE ELEMENTOS (𝑆):

Colección de objetos con una propiedad común. Ejemplo: 𝑆 = 1 , 2 , 3 , 4 4 ∈ 𝑆 5 ∉ 𝑆

2. CONJUNTO DE OPERADORES:

Un operador binario definido en un conjunto 𝑆 de elementos, es una regla que asigna a cada par de elementos de 𝑆 un elemento único de 𝑆. Ejemplo: “∙” es operador en 𝑆 si 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑐 ∧ 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑆

z ÁLGEBRA BOOLEANA DE 2 VALORES

El álgebra booleana de dos valores es un sistema matemático

deductivo definido con las siguientes componentes:

1. CONJUNTO DE ELEMENTOS (𝐵):

2. CONJUNTO DE OPERADORES:

OR (+) AND (∙) NOT (′)

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3. CONJUNTO DE POSTULADOS Y TEOREMAS:

Tabla No. 1 Postulados y teoremas del álgebra booleana. Postulados de Huntington. Nombre Forma con + Forma con ∙ Postulado 2: Elemento identidad (^) 𝑥 + 0 = 𝑥 𝑥 ∙ 1 = 𝑥 Postulado 5: Complemento de x (^) 𝑥 + 𝑥′^ = 1 𝑥 ∙ 𝑥′^ = 0 Teorema 1 (^) 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑥 Teorema 2 (^) 𝑥 + 1 = 1 𝑥 ∙ 0 = 0 Teorema 3: Involución (^) (𝑥′)′ = 𝑥 Postulado 3: Conmutatividad (^) 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥 Teorema 4: Asociatividad (^) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧 Postulado 4: Distributividad (^) 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + (𝑥𝑧) 𝑥 + 𝑦𝑧 = 𝑥 + 𝑦 (𝑥 + 𝑧) Teorema 5: De De Morgan (^) 𝑥 + 𝑦 ′^ = 𝑥′𝑦′ 𝑥𝑦 ′^ = 𝑥′^ + 𝑦′ Teorema 6: Absorción (^) 𝑥 + 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑥 𝑥 + 𝑦 = 𝑥

z FUNCIONES BOOLEANAS

Una variable binaria es una literal que puede tomar valores 1 o 0.

Las más usadas son 𝑥, 𝑦 ∧ 𝑧.

Una función booleana es una expresión formada por:

1. Variables binarias

2. Operadores binarios (AND y OR)

3. Operadores unitarios (NOT)

4. Signos de agrupación y

5. Signo de igualdad

Ejemplos:

NOTA: Una función booleana puede ser representada en forma algebraica o como tablas de verdad. Forma algebraica

z COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN

Si 𝐹 es una función booleana, entonces 𝐹′ es el complemento de la

función 𝐹.

Cuando una función se expresa como tabla de verdad, el

complemento de la misma se obtiene cambiando los unos por ceros y

los ceros por unos.

Cuando una función se expresa en forma algebraica, el complemento

de la misma se obtiene haciendo lo siguiente:

Se cambia 𝑥 por 𝑥′

Se cambia 𝑥′ por 𝑥

Se cambia + por ∙

Se cambia ∙ por +

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EJEMPLO # 1 CONTINUACIÓN…

B. 𝐹′ con tablas de verdad y

C. Comprobación de la forma algebraica del inciso A.

′ 𝒚 𝒛 ′ 𝒚′ 𝐹 𝐹′ 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1

′ 𝑦 + 𝑧 ′ 𝑦′ 𝐹 ′ = (𝑥 + 𝑦′)(𝑧 + 𝑦) 𝒙 + 𝒚′ 𝒛 + 𝒚 𝐹′ 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1

z MINTÉRMINOS

Combinación AND de las variables de entrada.

Se usa la variable normal si el valor de entrada es 1 y

Se usa la variable negada si el valor de entrada es 0.

Una función se representa por la suma de todos los mintérminos

iguales a uno.

𝑚𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

z EJEMPLO # 2

Dada la función 𝐹 1 que se muestra en la siguiente tabla de verdad,

determinar los mintérminos, maxtérminos, 𝐹 1 como suma de

mintérminos, 𝐹 1 como producto de máxtérminos y 𝐹 1 ′.

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EJEMPLO # 2 CONTINUACIÓN…

SOLUCIÓN:

1. Mintérmios, Máxtérminos y 𝐹 1 ′ (Tabla de verdad).

Mintérminos ( 𝒎𝒊 ) Maxtérminos ( 𝑴𝒊 ) 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ = 𝑚 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑀 0 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 = 𝑚 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧′ = 𝑀 1 𝑥 ′ 𝑦𝑧′ = 𝑚 2 𝑥 + 𝑦 ′

• 𝑧 = 𝑀 2 𝑥 ′ 𝑦𝑧 = 𝑚 3 𝑥 + 𝑦 ′
• 𝑧′ = 𝑀 3 𝑥𝑦 ′ 𝑧′ = 𝑚 4 𝑥 ′
• 𝑦 + 𝑧 = 𝑀 4 𝑥𝑦 ′ 𝑧 = 𝑚 5 𝑥 ′
• 𝑦 + 𝑧′ = 𝑀 5 𝑥𝑦𝑧′ = 𝑚 6 𝑥 ′
• 𝑦 ′
• 𝑧 = 𝑀 6 𝑥𝑦𝑧 = 𝑚 7 𝑥 ′
• 𝑦 ′
• 𝑧′ = 𝑀 7

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EJEMPLO # 2 CONTINUACIÓN…

3. 𝐹 1 como producto de maxtérminos.

𝐹 1 ′ = σ^

𝑚𝑖𝑛𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

′

′

′

′

′

′

Obteniendo el complemento de 𝐹 1 ′

′

′

′

′

Mintérminos ( 𝒎𝒊 ) 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 ′ = 𝑚 0 𝑥 ′ 𝑦 ′ 𝑧 = 𝑚 1 𝑥 ′ 𝑦𝑧′ = 𝑚 2 𝑥 ′ 𝑦𝑧 = 𝑚 3 𝑥𝑦 ′ 𝑧′ = 𝑚 4 𝑥𝑦 ′ 𝑧 = 𝑚 5 𝑥𝑦𝑧′ = 𝑚 6 𝑥𝑦𝑧 = 𝑚 7

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EJEMPLO # 2 CONTINUACIÓN…

′

′

′

′

Comparando los términos de 𝐹 1 con los máxtérminos:

𝐹 1 = ς^

𝑚𝑎𝑥𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

Maxtérminos ( 𝑴𝒊 ) 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑀 0 𝑥 + 𝑦 + 𝑧′ = 𝑀 1 𝑥 + 𝑦 ′

• 𝑧 = 𝑀 2 𝑥 + 𝑦 ′
• 𝑧′ = 𝑀 3 𝑥 ′
• 𝑦 + 𝑧 = 𝑀 4 𝑥 ′
• 𝑦 + 𝑧′ = 𝑀 5 𝑥 ′
• 𝑦 ′
• 𝑧 = 𝑀 6 𝑥 ′
• 𝑦 ′
• 𝑧′ = 𝑀 7

z EJEMPLO # 3

Determinar el número de funciones que se pueden formar con 2

variables (𝑥, 𝑦) y detallar las mismas.

1. Número de funciones con 2 variables:

22

4

2. Detalle de las funciones:

AND (^) OR 𝑦′ (^) 𝑥′ NAND XOR (^) NOR XNOR

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MUCHAS

GRACIAS