¡Descarga Funciones, para practicar y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
1. Definición y Notación Funcional.
Problema. 1. La palabra función se usa con frecuencia para indicar una relación o dependencia de una cantidad respecto de otra, estudia los siguientes ejemplos: a) El área de un círculo es una función de su radio. Es decir el área depende del valor del radio. b) El volumen de una caja cúbica es una función de la longitud de uno de sus lados. Es decir, el volumen depende del valor de la longitud de uno de sus lados. c) La fuerza entre dos partículas con carga eléctrica opuesta es una función de su distancia. d) La intensidad del sonido es una función de la distancia desde la fuente sonora.
Problema. 2. La distancia que recorre un avión que viaja a una velocidad de 500 millas por hora (mph) es una función del tiempo de vuelo. Si s representa la distancia en millas y t es el tiempo en horas, entonces la función es: s (t) = 500t.
Problema. 3. La circunferencia de un círculo es una función de su radio. Esto se suele expresar por medio de la expresión: C(r) = 2πr.
Problema. 4. Los impulsos en las fibras nerviosas viajan a una velocidad de 293 pies/segundo. La distancia recorrida en t segundos está dada por la función: d (t) = 293t.
Problema. 5. Si se sustituye la x por un número en la ecuación y = x 3 + 6x 2 -5, entonces se obtiene un único valor de y. Por lo tanto la ecuación define una función cuya regla es: asigne a un número x en el dominio un único número y tal que y = x 3 + 6x^2 -5. La regla de la función también se puede describir de la siguiente manera f(x) = x 3 + 6x 2 -5. Por lo tanto: f(0) = 0^3 + 6(0) 2 -5 = -5 y , f(2) = 2^3 + 6(2) 2 -5 = 27
Problema. 6.
La función 7 2
x f x
es la regla que toma un número, lo divide por 2 y luego le suma 7 al cociente. Si se da un valor para x, ese valor se sustituye en x en la fórmula, y la ecuación se resuelve para f (x), entonces estamos evaluando la función en un valor de su dominio. Por ejemplo, si x = 4,
(4) 4 7 9 2
f = + =
Si x = 6, (6) 6 7 10 2
f = + =
Problema. 7. Si f(x) = x 2 + x -2. Calcular f(-x) y f(x). f(-x) = (-x) 2 + (-x) -2 = x 2 - x - En este caso f (-x) no es lo mismo que f(x), porque f(x) es el número negativo de f(x), es decir -f(x) = -(x 2 + x -2) = -x 2 - x +
Problema. 8. Si x representa el límite de velocidad en millas por hora, entonces el límite de velocidad en kilómetros por hora es una función de x , representada por f(x) = 1.6094x. Si el límite de velocidad en los Estados Unidos es de 55 mph, su equivalente en kilómetros por hora, cuando se redondea al entero más próximo, es f (55) = 1.6094(55) = 89 km/h Si x = 60 mph, f (60) = 1.6094(60) = 97 km/h
Problema. 9. Sea t el tiempo en segundos y d(t) la distancia en metros que una piedra cae después de t segundos. La frase la distancia que cae la piedra después de t segundos es 5t 2 metros se puede escribir como d(t) = 5t 2. Por ejemplo, d(1) = 5(1) 2 = 5 significa la distancia que la piedra cae después de 1 segundo es 5 metros d(4) = 5(4) 2 = 80 significa la distancia que la piedra cae después de 4 segundos es 80 metros
Problema. 10. Encuentre el valor de la función f(x) = 2x 2 4x + 1, cuando x = -1, x = 0, y, x = 2. Solución. Cuando x = -1, el valor de f está dado por f(-1) = 2(-1)^2 4(-1) + 1 = 2 + 4 + 1 = 7 Cuando x = 0, el valor de f está dado por f(0) = 2(0)^2 4(0) + 1 = 1 Cuando x = 2, el valor de f está dado por f(2) = 2(2)^2 4(2) + 1= 8 -8 + 1 = 1
Con los datos de la izquierda se puede construir la siguiente tabla: x f(x) -1 7 0 1 2 1
Problema. 11. Para f ( x ) = x 2 -2 x , encuentre y simplifique: (a) f (4), (b) f (4 + h), (c) f (4 + h) f (4), (d) f (4 h ) f ( ) x h
Solución. (a) f (4) = 4^2 2(4) = 16 8 = 8 (b) f (4 + h ) = (4 + h)^2 2(4 + h) = 16 + 8h + h 2 8 2h = 8 + 6h + h^2 (c) f (4 + h ) f (4) = 8 + 6 h + h^2 8 = 6 h + h^2
(d) (4 ) (4) 6 2 (6 ) f h f h h h h 6 h h h h
Problema. 12.
Para g( x ) = x
, encuentre y simplifique h
g ( a + h )− g ( a )
Solución:
h
a ha
a a h
h
a h a h
g a h ga ( )
a ha h a ha a ah
h
2. Dominio y Rango.
La regla de correspondencia es el corazón de una función, pero esta no queda determinada por completo sino hasta cuando se especifica su dominio. El dominio de una función es el conjunto de objetos a los que la función asigna valores. El rango es el conjunto de valores obtenidos. Cuando no se especifica el dominio para una función, siempre supondremos que es el mayor conjunto de números reales para los que la regla de la función tenga sentido y dé valores de números reales. A este dominio se le llama el dominio natural.
Problema. 15. Considérese la función f(x) = x 2 +1. Encontrar su dominio y rango. Los valores de la función se obtienen sustituyendo la x en esta ecuación. Por ejemplo, f(-1) = (-1) 2 + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = (2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5. Evaluando la función en distintos valores obtenemos la siguiente tabla y diagrama. x f(x) = x^2 + 1 3 10 2 5 1 2 0 1 -1 2 -2 5 -3 10
De aquí observamos que el dominio de la función son todos los números reales, ya que para cada valor de x real su imagen es siempre un número real. En cambio el rango es el intervalo [1, +∞). Ya que nunca vamos a obtener para un número real x un valor menor de 1.
Problema. 16. Si se define una función f como: f(x) = x 2 + 1 con -3 ≤ x ≤ 3. Entonces el dominio de f está dado como el intervalo cerrado [-3, 3]. Observa que la expresión algebraica es la misma que la del ejemplo anterior, solo que en este caso, se está limitando el dominio de la función a los valores de x comprendidos entre -3 y 3. El rango de g es el intervalo [1, 10] (ver el diagrama de la figura anterior).
Problema. 17. Encontrar el dominio y el rango de la función f(x) = x 2 + 4. Solución : El dominio de f son todos los reales (-∞, +∞), puesto que x 2 + 4 es un numero real para todo número real x. Puesto que x 2 ≥ 0, para todo x, entonces x 2 + 4≥ 4, de lo anterior deducimos que f(x) ≥ 4. Por lo tanto, cualquier número ≥ 4 es la imagen de al menos una x del dominio. Por ejemplo, para encontrar una x tal que f(x) = 7,
resolvemos la ecuación 7 = x 2 + 4 para x y obtenemos x =± 3. En general, para
cualquier k≥4, al hacer f(x) = k , obtenemos k = x 2 + 4 y eso nos da las soluciones
x = ± k − 4. Esto prueba que el rango de la función es el conjunto de todos los
números ≥4. Es decir el intervalo [4, +∞). Observación 1. Hay dos situaciones en las que el dominio de una función no consiste de todos los números reales. Estas situaciones ocurren cuando se tiene una regla de una función que conduce a una división por cero o a la raíz cuadrada de números negativos. Ver los ejemplos 17, 18, 19.
Problema. 18.
Encontrar el dominio de la función siguiente:
(^2 ) ( ) 1
h x x x
= + − Solución. Cuando x = 1 el denominador de la función es cero. Pero cuando x ≠ 1 el denominador es siempre un número real. Por lo tanto el dominio de la función h consiste de todos los números reales excepto el 1. Esto se puede escribir de las
siguientes dos maneras (1) D (^) h = R - {1}, o bien (2) D (^) h = (-∞, 1)∪(1, +∞).
Problema. 19.
Encontrar el dominio de la función f(x) = x^2 − x
Solución. Dado que ( 1 )
x x xx
f x
y la división entre 0 no está permitida, vemos que f (x) no está definida cuando x = 0 o x = 1. Así que el dominio de f es: D (^) f = R-{0, 1} que también se puede expresar en notación de intervalos como (-∞, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞).
Problema. 20. Sea f la función definida por la ecuación y = x − 2. Determinar su dominio y su rango.
Solución. Debido a que los números se limitan a los números reales, y es función de x sólo para x 2 ≥ 0, ya que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se determina un valor único de y. Sin embargo si x< 2, se obtiene la raíz cuadrada de un número negativo y en consecuencia no existe un numero real y. Por lo tanto x debe de estar restringida a x ≥ 2, así pues, el dominio de f es el intervalo [2, +∞), y el rango de f es [0, +∞).
Problema. 21.
Determinar el dominio y el rango de la función f ( x )= 7 + 3 x − 6.
Solución. El radicando 3 x 6 debe ser no negativo. Al resolver 3 x - ≥ 0 se obtiene x ≥
2, por lo cual el dominio de f es [2, +∞). Ahora, por definición 3 x − 6 ≥ 0 para x ≥ 2, y
en consecuencia, y = 7 + 3 x − 6 ≥ 7. Puesto que 3x 6 y 3 x − 6 aumentan cuando x
aumenta, se concluye que el rango de f es [7, +∞).
Determinar el dominio de h(x) = 2 − x − x^2
Solución: Puesto que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real), el dominio de h consta de todos los valores de x tales que
2 x x 2 = (2 + x) (1 x) ≥ 0 Resolviendo esta desigualdad tenemos que su solución es el intervalo [-2, 1]. Por consiguiente el dominio de h es precisamente este intervalo.
Problema. 22. Identifique el dominio de las siguientes funciones:
( a ) y = 4x 2 + 7x 19 (b) y = t − 5 (c) ( 9 )
6
= xx
y
(d) x
y = 5 (e) ² − 36
= x
y x (f) ( 4 )
7 −
= xx
y
(g) x
y x −
= 8
(^3) (h) ( 5 )( 9 )
6 − −
= x x
y x
A. Información acerca de las rectas.
La pendiente de una recta que pasa a través de los puntos (x 1 , y 1 ), y (x 2 , y 2 ) (donde x 1 ≠
x 2 ) es 2 1
2 1 x x
y y m −
− =.
Dos rectas son perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es -1. Si una recta L 1 tiene pendiente m 1 = 2 y es perpendicular a la recta L 2 , entonces m 1 m 2 = -1. De donde la pendiente de la recta L 2 es m 2 = -1/2. La ecuación de recta que pasa a través de (x 1 , y 1 ) con pendiente m es: y − y 1 = m ( x − x 1 ).
La ecuación de la recta con pendiente m e intersección y en b es: y = mx + b. La pendiente m nos indica hacia donde y que tanto se inclina la recta.
Si m > 0 , la recta se inclina hacia la derecha. Si m < 0 , la recta se inclina hacia la izquierda. Si m = 0 , la recta es horizontal.
Problema. 25.
Graficar la función lineal 4 2
f ( x )= − x +.
Solución: para graficar una función lineal se necesita encontrar dos puntos que satisfagan la ecuación y unirlos con una línea recta. Como la gráfica de una función lineal es una línea recta, todos los puntos que satisfacen la ecuación deben estar en la línea. Los dos puntos que encontraremos serán las intersecciones de la línea recta con los ejes coordenados x e y. La intersección x es el punto donde la grafica cruza el eje x; la intersección y es donde la recta cruza el eje y. Como la recta cruza el eje y donde x = 0, la coordenada x de la intersección y es siempre 0. La coordenada y de la intersección y se obtiene, entonces, simplemente igualando x a cero y resolviendo la ecuación para y.
( 0 ) 4 4 2
y = f ( 0 )=− + =
Para hallar la intersección con el eje x, hacemos y = 0 y resolvemos para x:
4 2
0 = − x +
x =
x = 8
Entonces graficando los puntos (0, 4) y (8, 0) y uniéndolos con una línea recta, tenemos la gráfica de arriba. La pendiente de esta recta es m = -1/2.
Problema. 26. Trazar la gráfica de la función f (x) = 2 x 1. Solución: Una forma de encontrar la grafica de una ecuación lineal es encontrar dos puntos por los cuales pasa la recta. Si estos puntos son las intersecciones con los ejes coordenados, tendremos bien ubicada la posición de la recta. Para encontrar la intersección con el eje y evaluamos la función en x = 0 y obtenemos f(0) = 2(0) 1 = -1. Para encontrar la intersección con el eje y, hacemos y = 0, es decir 0 = 2x 1. Despejamos la variable x obtenemos x = ½.
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5
5
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
(0, -1)
(1/2, 0)
f(x) = 2x - 1
En conclusión, obtenemos que las intercepciones con los ejes están dadas por los puntos (0, -1) y (½., 0). La pendiente de esta recta es m = 2.
Problema. 27. Las ventas de una fabrica de productos químicos local crecieron de $6 500 000 en 1980 a $ 11 000 000 en 1990. Suponiendo que las ventas se aproximan a una función lineal (V(t) = mt + b), exprese las ventas S como una función de tiempo t. Solución: Haciendo 0 = 1980 y 10 = 1990 se tiene que la pendiente de la recta es:
450000 10
m =
Sustituyendo por V = 6500000 en t = 0 650000 = m(0) + b, se obtiene b = 6500000. De donde la función es: V(t) = 450000t + 500000.
Problema. 28. Una nutricionista desea mezclar granos de $10.00 el kilo, con otros de $25, con el, fin de obtener 100 kilos de una mezcla de $ 15 el kilo. ¿Cuánto de cada uno de los granos debe ir en la mezcla? Solución: Sea x = la cantidad de granos de $ 10.00; entonces (100 x) será la cantidad de granos de $ 25.00 y m(x) = 10x + 25 (100 – x) = 2500 – 15x Sustituyendo el valor de la mezcla deseada para m, 15(100) = 2500 15x 15x = 2500-1500 = 1000 x = 1000/15 = 66.7 kilos de $10. 100-x =100 66.7 = 33.3 kilos de $25.
Las raíces de la parábola se encuentran con la fórmula general
8
12 4 8
12 16 2 ( 4 )
12 ( 12 ) 4 ( 4 )( 8 ) 2
2 4 2 −
=−^ ± −
=−^ ± −
− ± − − − = − ±^ − = a
x b b ac
De donde se obtienen los valores de dos raíces de la cuadrática, x = 1 y x = 2. Así, las intersecciones con el eje x, son (1, 0) y (2, 0).
Problema. 32. Suponer que se estima que la cantidad de desperdicios echados a un río es una función cuadrática del tiempo. Si se tiraron 11.5 ton en un periodo de 5 días, y 20.8 ton después de 8 días, hallar la cantidad tirada en t días. La primera oración nos dice que la función de desperdicio es de la forma:
w(t) = at 2 + bt + c
Podemos hallar a, b, c para los que son necesarias tres condiciones. Son tres precisamente las que tenemos: cuando t = 0, w = 0; cuando t = 5, w = 11. cuando t = 8, w = 20. Al sustituir estos pares de valores para t y w en la función de desperdicios se tendrá 0=a·0+b·0+c, así que c = 0 11.5 = 25a + 5b (2) 20.8 = 64a + 8b (3) Resolviendo simultáneamente el sistema de ecuaciones (2) y (3) encontramos a = 0.1 y b = 1. La función buscada es pues, w(t) = 0.lt 2 + 1.8t
Problema. 33. Encontrar el área y las dimensiones del mayor campo rectangular que puede cercar con 300 metros de malla. Solución: Denotemos por x el largo y por y el ancho del campo, como se muestra en la figura. Puesto que el perímetro es el largo de la malla, 2x + 2y = 3000. Por lo tanto 2y = 3000 2x y y = 1500 x. En consecuencia, el área es, A = xy = x(1500 x) = 1500x x^2 +1500x.
El área mayor posible es el valor máximo valor de la función cuadrática A(x) = -x 2 + 1500x. El máximo ocurre en el vértice de la gráfica de A(x).
La coordenada del vértice es 750 2 ( 1 )
(^1500) = −
− metros.
Por lo tanto la coordenada y del vértice, el máximo valor de A(x) es: A(750) = -750 2 + 1500⋅750 = 562,500 metros cuadrados. El máximo ocurre cuando el largo es x = 750. En este caso el ancho es y = 1500 x = 1500 750 = 750.
Problema. 34. Las ganancias G de una fábrica de reactivos químicos para cada unidad x vendida se ha calculado como G(x) = 200 x² - 4000 la cual, completando el cuadrado, se puede expresar como G (x) = - (x 100)² + 6000 La gráfica de G es una parábola que abre hacia abajo, con vértice en (100, 6000), que significa que, cuando se venden 100 unidades, la ganancia se maximiza en $ 6000.
Problema. 35. Graficar f(x) = x 3 x f(x) = x^3 = y Puntos
f(-3) = (-3) 3 = - f(-2) = (-2) 3 = - f(-1) = (-1) 3 = - f(0) = (0) 3 = 0 f(1) = (1) 3 = 1 f(2) = (2) 3 = 8 f(3) = (3) 3 = 27
− 3 − 2 − 1 1 2 3 4
30
− 20
− 10
10
20
f(x) = x 3
Problema. 36.
Graficar x
f ( x )=^1
x f(x) = 1/x = y Puntos -4 f(-4) = -¼ = -¼ (-4, -¼) -2 f(-2) = -½ = -½ (-2, ½) -1 f(-1) = -1/1 = -1 (-1, -1) -½ f(-½) =-1/(-½) = -2 (-½, -2) -¼ f(-¼) =-1/(-¼) = -4 (-¼, -4) ½ f(½) =-1/(½) = 2 (½, -2) ¼ f(¼) =1/(¼) = 4 (¼, 4) 1 f(1) = 1/1 = 1 (1, 1) 2 f(2) = ½ = ½ (2, ½)
− 5 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5 6
6
− 5
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
5
f(x) = _x^1
Problema. 40.
Trazar la gráfica de la función definida por secciones ⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
>
< ≤
− ≤
3
1 0 3
0 ()
2
x si x
si x
x si x f x
Solución: Nótese que f no representa tres funciones sino más bien, a una función cuyo dominio es el conjunto de números reales. Sin embargo, la gráfica de f consta de tres secciones obtenidas trazando, a su vez: y = -x 2 en el intervalo x ≤ 0 y = 1 en el intervalo 0 < x ≤ 3 y y = x en el intervalo x > 3. La gráfica se muestra a la derecha.
Problema. 41.
Graficar la función racional 1
x
x f x.
Solución: Primero obtenemos las intersecciones con los ejes coordenados. La
intersección y es 3 0 1
( 0 )^30 =− −
f = − , y la intersección x se encuentra resolviendo
1
0 3 −
= = − x
y x , cuya solución es x = 3. De donde las intersecciones con los ejes están
dadas por los puntos (0, -3) y (3, 0). Cuando se trazan gráficas de funciones racionales, es importante tomar nota del dominio; en este caso, es evidente que el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto x = 1, ya que para x = 1 la función no está definida. Como se muestra en la tabla 1, cuando x está cerca de 1, los valores del denominador x-1, se encuentran muy cerca de cero y por consiguiente los valores correspondientes de f(x) son grandes en valor absoluto. Es claro que algo dramático sucede cuando x se acerca a 1. En efecto, la tabla 1 nos indica que los valores de f(x) aumentan sin límite. Hemos indicado esto dibujando una línea punteada vertical, llamada asíntota vertical , en x = 1. Cuando x se aproxima a 1, la gráfica se acerca cada vez más a esta recta, pero esta recta no es pare de la gráfica de la función, es sólo una guía. Obsérvese que la función también tiene una asíntota horizontal , concretamente la recta y = -1. Esto puede verse en la tabla 2, cuando la x toma valores positivos muy grandes (p. e. x= 300), el valor de la función f(x) se acerca a la recta y = -1, y cuando la x toma valores grandes pero negativos (p. e. x = -300), la función también se acerca a la recta y = -1. Tabla 1 Tabla 2 x f(x) x f(x)
Indefinido
C. Asíntotas verticales y horizontales.
La función ()
( ) () hx
f x = gx tiene una asíntota vertical en todo número que es una raíz del
denominador h(x), pero no del denominador g(x).
La función racional �
= (^) k
n
cx
ax f ( x ) cuyo numerador tiene grado n y denominador
grado k, tiene: (a) Una asíntota horizontal en la recta y = a/c, si n = k. (b) Al eje x como una asíntota horizontal, si n < k, y, (c) No tiene Asíntotas horizontales si n > k.
Problema. 42.
Encuentra las asíntotas verticales y horizontales de la función 6
( )^1 (^2) − − = − x x
g x x
Solución: Primero factoricemos el denominador de la función para encontrar las raíces.
( 2 )( 3 )
1 6
( )^1 (^2) + − =^ − − −
= − x x
x x x
gx x
La forma factorizada de la función nos permite leer la información necesaria. Asíntotas verticales : los valores x = -2, y x = 3, son raíces del denominador pero no del numerador, por lo tanto son asíntotas verticales. Asíntotas horizontales : puesto que el denominador tiene un grado mayor que el numerador, el eje x es una asíntota horizontal de la función. Ver grafica de la derecha.
− 3 − 2 − 1 1 2 3 4
Problema. 43. Encontrar las asíntotas de la siguiente función:
2
( )^41 −
= − x
hx x
Solución: Asíntotas verticales : El valor x = 2, es una raíz del denominador pero no del numerador, por lo tanto es una asíntota vertical. Asíntotas horizontales : puesto que el denominador tiene el mismo grado que el numerador, la recta y = 4 es una asíntota horizontal. Ver la grafica de la derecha.
Problema. 46. Determinar si las funciones siguientes son pares o impares.
2 = (^2) + x +
x b f x x
x a f x
Solución:
Lafunciónnoesparni impar
Lafunciónesimpar
3
2 3
2 2
f x x
x x
( x) b)f( x)
f x x
x x
x a f x
2 ≠ ± − +
4. Gráficas y Transformaciones.
Sea f(x) una función y c ε D (^) f.
A. Traslaciones verticales.
Si c > 0, entonces la grafica de f(x) + c es una traslación de f, c unidades hacia arriba. Si c < 0, entonces la grafica de f(x) + c es una traslación de f, c unidades hacia abajo.
Problema. 47.
Encontrar la gráfica de (a) f ( x )= x , (b) f ( x )= x + 2 , (c) f ( x )= x − 2
Solución: Observa que los incisos (b) y (c) son una traslación vertical de la función
g ( x )= x. Las gráficas se muestran abajo.
B. Traslaciones horizontales.
Si c > 0, entonces la grafica de f(x-c) es una traslación de f, c unidades hacia la derecha. Si c < 0, entonces la grafica de f(x-c) es una traslación de f, c unidades hacia la izquierda.
Problema. 48.
Grafica las siguientes funciones (a) g ( x )= x , (b) h ( x )= x + 2 , (c) m ( x )= x − 2
Solución: Observa que los incisos (b) y (c) son una traslación horizontal de la función
g ( x )= x. Las graficas se muestran abajo.
C. Expansiones y Contracciones
Si c > 1, entonces la gráfica de cf(x), es un alargamiento vertical de la gráfica de f por un factor de c unidades. Si 0 < c < 1, entonces la gráfica de cf(x), es una reducción vertical de la gráfica de f por un factor de c unidades. Si c < 0 entonces cf(x) es una reflexión sobre el eje x de la función f.
Problema. 49. Grafica las siguientes funciones: (a) f(x) = x 2 , (b) g(x) = 3x 2 , (c) h(x) = 0.2x, (d) m(x) = -x 2. Solución : La grafica de f es una parábola que se abre hacia arriba y tiene su vértice en el eje x. (b) La gráfica de g es un alargamiento vertical de la función f por factor de 3; (c) la gráfica de h es una reducción vertical de f por factor de 0.5; (d) la gráfica de m es una reflexión de f sobre el eje x. Las gráficas se muestran abajo.
Problema. 50. Graficar g(x) = 2(x 4)^2 2, utilizando transformaciones. Solución: Observa que la función g se puede obtener a partir de la función f(x) = x 2 e tres pasos : g(x) = 5(x – 4) 2 - 2
( ) ( 4 ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 )^22 ( ) 2 Paso^12 Paso^22 Paso^3 f x = x → x − → x − → x − − = gx
El primer paso traslada la grafica de f horizontalmente 4 unidades hacia la derecha; el paso 2, alarga verticalmente la función f desde el eje x por un factor de 2; el paso 3 traslada a la función f 3 unidades hacia abajo. Los pasos gráficos y la grafica de g se muestran abajo.
f(x) = x^2 Paso 1
⎟⎟ =^ =
x
x g x
f x x g
f
. Sabemos que la división entre cero no está definida, por
esta razón debemos de quitar del dominio de la función aquellos valores para los cuales el denominador de la división es igual a cero. Estos valores son x = 1 y x = -1, por lo tanto al intervalo (-∞, 5] debemos de quitarle estos valores, y nos queda que el dominio de la función f/g es (-∞, -1)∪(-1, 1)∪(1, 5].
Problema. 53.
Sean g ( x )= 16 − x^2 y h ( x )= x + 1. Encontrar (a) (g-h)(x), (b) (g⋅h)(x), (c) (h/g)(x).
Solución: Primero debemos de encontrar los dominios de las funciones g y h. Para hacerlo debemos de resolver las desigualdades 16 x 2 ≥ 0 y x + 1 ≥ 0. Así el dominio de g es Dg = [-4, 4] y el Dh = [-1, +∞). Ahora la intersección de estos dos intervalos es el intervalo [-1, 4].
(a) ( g − h )( x )= 16 − x^2 − x + 1 , y su dominio es el intervalo [-1, 4].
(b) ( f ⋅ g )( x )= 16 − x^2 x + 1 = ( 1 − x^2 )( x + 1 ), y su dominio es el intervalo [-1, 4].
(c) (^2 ) 16
x
x x
x gx
hx x g
h −
. Quitando los valores para los cuales el
denominador de esta división es cero, el dominio de la función es el intervalo [-1, 4).
Problema. 54. Si f(x) = 3x + 2, y g(x) = x 2 + 1. Encuentre (a) (f + g)(-1), (b) (g-f)(2), (c) (f⋅g)(0), (d) (f/g)(3) Solución: (a) (f + g)(-1) = f(-1) + g(-1) = [3(-1) + 2] + [(-1) 2 + 1] = [-3 + 2] + [1 + 1] = -1 + 2 = 3 (b) (f - g)(2) = f(2) + g(2) = [3(2) + 2] + [(2) 2 + 1] = [6 + 2] + [4 + 1] = 8 + 5 = 13 (c) (f⋅g)(0)= f(0)⋅g(0) = [3(0) + 2]⋅[(0) 2 + 1] = [2][1] = 2
(d) 10
g
f g
f
Problema. 55. Sean f(x) = x^2 y g(x) = 3x -1. Encontrar: (a) (f + g)(x) y (f⋅g)(x) para los valores de x dados en la tabla. En un mismo sistema grafique, (b) f, g, y (f+g) y en otro (c) f, g, y (f⋅g). Solución: (a) x f(x) = x^2 g(x)= 3x -1 f(x) + g(x) = x 2 + 3x -1 (^) f(x)⋅g(x) = 3x 3 x^2 0 0 -1 -1 0 1 1 2 3 2 2 4 5 9 20 3 9 8 17 72 -1 1 -4 -3 - -2 4 -7 -3 - -3 9 -10 -1 -
(b) (c)
− 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5
− 4
− 3
− 2
− 1
1
2
3
4
(1, 1)
(1, 2)
(1, 3) f(x) = x^2
g(x) = 3x -
f(x)+g(x) = x + 3x -1^2 − 4 − 3 − 2 − 1 1 2 3 4 5
− 9
− 6
− 3
3
6
9
12
15
18
21
x
y
(2, 4)
(2, 5)
f(x) = x^2
g(x) = 3x -
f(x)g(x) = 3x - x^32
(2, 20)
6. Composición de Funciones. Problema. 56.
Si f ( x )= x y g(x) = x 2 -5, calcular (gof) y su dominio
Solución: Tenemos,
( gof )( x )= g ( f ( x ))= g ( x )=( x )^2 − 5 = x − 5
Aunque x-5 está definida para todos los números reales, el dominio de gof no es el conjunto de los números reales. El dominio de g es el conjunto de todos los números reales y su rango el intervalo [-5, +∞), pero la función
f ( x )= x sólo está definida para los números x ≥ 0 y su
rango es igual. Así que el dominio de gof es el conjunto de los números reales positivos, es decir, el intervalo (0, +∞). Observa la representación de los dominios de las funciónes f, g, y gof de la derecha y la grafica de las tres funciones abajo.
Problema. 57. Sean f(x) = x 2 2x, y g(x) = x + 3. Encontrar las funciones compuestas (a) (fog)(x), y (b) (gof)(x) y sus dominios. Solución: Tenemos (a) (fog)(x) = f(g(x)) = f(x+3) = (x + 3) 2 2(x+3) = x^2 + 6x + 9 2x - 6 = x 2 + 4x +3. (b) (gof)(x) = g(f(x)) = g(x 2 2x) = (x^2 2x) + 3 = x 2 2x + 3.
