Funciones Racionales: Dominio, Interceptos, Asíntotas y Gráficas, Apuntes de Matemáticas

¡Descarga Funciones Racionales: Dominio, Interceptos, Asíntotas y Gráficas y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Funciones racionales

Una función racional es una función que se

puede expresar de la forma

g x

f x

p x 

donde f(x) y g(x) son funciones

polinómicas.

x x

x

g x

x

x

f x

x

y

3

2

2

2 3 5 ( )

3 4

4 ( )

3

4 4 ( )

2

2

2

3 2



  

 



  

x

x x h x

x x

q x

x x x p x

La función racional

Ejemplos:

Dominio de una función racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador). 4x – 1 = 0 4x = 1 x = (^14)

. 4 1

2 1 ) Determinar el dominio de ( ) 

 x

f x

Por lo tanto el dominio es, el conjunto de los reales excepto x = ¼.

El dominio se describe en notación: - (^) , 41  (^)  (^41) ,^ 𝐷:^ 𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠

1 4

Dominio de una función racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

. 4

5 2 ) Determinar el dominio de ( ) 2 

 x

x f x

x 2  4  0 Usandoelmétododela raizcuadrada, 𝑥^2 = 4 𝑥 = ± 4 𝑥 = ±

El dominio de f(x) consiste de todos los reales excepto x = 2 y x= - 2.

Dom : - , 2    2 , 2  (2,)

Dom: 𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≠ 2 𝑦 𝑥 ≠ −

Interceptos

• Interceptos en x

o punto donde la gráfica interseca el eje de x. o para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero. o la cantidad de interceptos en x depende del grado del numerador. o 0 ≤ # interceptos en x ≤ grado del numerador

Interceptos

• Intercepto en y

o punto donde la gráfica interseca el eje de y. o Es el valor de la función cuando x = 0. [f(0)]

o Si x = 0 está en el dominio de f(x), entonces

existe un sólo intercepto en y.

o Si x = 0 NO está en el dominio de f(x), NO

existe el intercepto en y.

Interceptos

• Hallar los interceptos de cada función.

x

f x

(a) intercepto – y: b) intercepto - x

El numerador de f(x) es 1. 1 ≠ 0. Por lo tanto, f(x) NO El intercepto en y es tiene interceptos en x.

(0, - ½ ).

𝑓 0 =

1 0 − 2 = −

1 2

Interceptos

• Hallar los interceptos de cada función.

(a) intercepto – y: b) intercepto - x

 

f ^ El numerador de f(x) es 2x.

2x = 0 cuando x = 0.

Por lo tanto, f(x) tiene intercepto en x en el punto (0,0) o sea que coincide con el intercepto en y.

x

x f x 

 3

2 2 ) ( )

El intercepto en y es

(0, 0).

Soluciones de funciones racionales

Un par ordenado (a,b) es una solución de una

función f(x) si f (a)=b. Dicho de otra forma, si al

evaluar f en x=a el resultado es b.

Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5

( )^21 

  x

f x x

f 

(6, 1) SI es una solución de la función.

Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una solución de

x

x f x 

  3

5 2 ( )

(14,4) es una solución de la función.

4 3 a

5 a (^2)  



5 a  2  4  3 a

5 a  2  12  4 a 5 a  4 a  12  2 a  14

Soluciones de funciones racionales

2

1 ( ) 

 x

f x

Gráficas de funciones racionales

Observemos la gráfica de

Comportamiento en los extremos

x  , y  0 x , y  0

y = 0 es una asíntota horizontal

La línea y = k es una asíntota horizontal de la gráfica de una función f si f (x) →k cuando x→ ∞ o x→ − ∞.

A medida que los valores de x se acercan a 2 por valores mayores que 2 , la función (y) se hace más positivo. A medida que los valores de x se acercan a 2 por valores menores que 2, los valores de la función (y) se hace más negativos.

2

1 ( ) 

 x

f x

Gráficas de funciones racionales (cont.)

x = 2 es una asíntota vertical

Observemos la gráfica de

Comportamiento alrededor de x=

x  2 , y

x  2 , y

Hallar las asíntotas de

funciones racionales

Una función racional tiene una asíntota vertical cuando el denominador de la función

simplificada es igual a 0.

Una función racional está simplificada si NO existen factores comunes, distintos de uno, entre el numerador y denominador.

Asíntotas Verticales

Hallar la ecuación de cada

asíntota vertical si existe.

  x

x f x 2 2

2 5



 

Calculamos los valores de x que

hacen el denominador igual a cero:

2 + 2x = 0  x = -

La recta x = -1 es la única asíntota

vertical de la función.