Funciones Reales de una Variable: Apuntes de Cálculo, Apuntes de Matemáticas

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BLOQUE 1

CÁLCULO

TEMA 1

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE

ÍNDICE:

A) CONOCIMIENTOS PREVIOS.

A.1) LA RECTA REAL. NÚMEROS REALES. DESIGUALDADES. INTERVALOS.

VALOR ABSOLUTO

A. 2 ) FUNCIONES ELEMENTALES

A. 2 .1) LA RECTA

A. 2 .2) LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

A. 2 .3) LA FUNCIÓN RACIONAL

A. 2 .4) LA FUNCIÓN EXPONENCIAL

A. 2 .5) LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

A. 2 .6) LA FUNCIÓN POTENCIA

A. 2 .7) FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

B) LA FUNCIÓN. CONCEPTOS GENERALES

B.1) DOMINIO E IMAGEN

B.2) FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS

B.3) OPERACIONES CON FUNCIONES

B.4) CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO (MÁXIMOS Y MÍNIMOS)

B.5) CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD (PUNTOS DE INFLEXIÓN)

C) LIMITES Y CONTINUIDAD

C.1) PROPIEDADES DEL LÍMTIE

C.2) INDETERMINACIONES

C.3) CONTINUIDAD DE FUNCIONES ELEMENTALES. PROPIEDADES

1. [a, +∞) = {x ∈ R | x ≥ a}, (a, +∞) = {x ∈ R | x > a} (x pertenece a los reales mayores o

iguales que a)

2. (−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}, (−∞, b) = {x ∈ R | x < b}. (x pertenece a los reales menores o

iguales que b)

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número real x, se denota por |x|, y se define como:

La representación grafica de la función f(x)= |x| es la siguiente:

A.2) FUNCIONES ELEMENTALES:

A.2.1) LA RECTA

La gráfica de la función f(x) = mx + n, definida por un polinomio de grado 1, es una recta con

pendiente m. n es la ordenada en el origen, es decir, el valor de f(x) cuando x=0 o lo que es lo

mismo, el punto en el que la función corta al eje y.

La pendiente mide el cambio en el valor de la función por el aumento de una unidad de la

variable x.

Si la pendiente m es positiva la recta está inclinada hacia arriba a la derecha, y cuanto mayor es

el valor de m, más vertical es. Si la pendiente m es negativa la recta está inclinada hacia abajo a

la derecha, y el valor absoluto de m mide la cuantía de esta inclinación. Si la pendiente m es

cero, la recta es paralela al eje x (horizontal). Una recta queda determinada por dos puntos.

El dominio de la función afín son todos los números reales.

RECTA CON PENDIENTE POSITIVA

f(x)= 3x +

m>0, pendiente positiva. n=

RECTA CON PENDIENTE NEGATIVA

g(x)= - 3x+

m<0, pendiente negativa. n=

RECTA CON PENDIENTE 0

h(X)=

m=0, n=

Observación: La ecuación del eje de las x es y=0. La ecuación del eje de las y es x=0. (También es

útil para encontrar los puntos de cortes con los ejes)

*Ejercicio típico. Determinar la recta que pasa por dos puntos. P 1

(a 1

, b 1

), P

2

(a 2

,b 2

1º) Se emplea la forma continua (una de las formas de expresar una recta)

1

2

1

2

2

1

El dominio de la función cuadrática son todos los números reales.

Para dibujar la parábola hay que seguir los siguientes pasos:

1. En primer lugar, se determina su curvatura según el valor de a.

2. Se estudian los cortes con el eje x (y=0). Se resuelve la ecuación 0=ax

2

+bx+c. Si no tiene

solución y hemos determinado que la parábola es normal, significa que está por encima

del eje x. Si no tiene solución y es invertida significa que está por debajo del eje x. Si la

ecuación solo tiene una solución significa que el vértice corta con el eje X.

3. Calcular el VÉRTICE con la fórmula cuando en el paso dos no hay soluciones (la fórmula

se obtiene de derivar la ecuación e igualar a 0 (hallar el punto en el que la pendiente es

nula)). En caso de que la parábola corte al eje X, el vértice es el punto a mitad de

distancia entre los cortes 𝑣

1

𝑥

2

+𝑥

1

2

Dentro de las funciones polinómicas, además de la función afín (recta) y la función cuadrática,

podemos encontrar otras como son las siguientes:

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 3

f(x)=ax

3

• bx + c

FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4

f(x)=-x

4

+3x

2

A.2. 3 ) LA FUNCIÓN RACIONAL

También conocida como función de proporcionalidad inversa, es un cociente de polinomios. Se

denomina de proporcionalidad inversa porque cuando el valor de x es muy pequeño, el valor de

y es muy grande y viceversa.

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)

Su dominio son todos los números reales menos los que anulan el denominador, en cuyo caso

habría una indeterminación del tipo k/0 o 0/0 y habría que estudiarlo deshaciendo la

indeterminación. En los puntos que anulan el denominador existen asíntotas verticales. El

dominio de la función 𝑓(𝑥) =

1

𝑥−𝑎

con a perteneciente a R, es R-{a}.

Su gráfica es la hipérbola equilátera con asíntota vertical en a recta x=a y asíntota horizontal en

el eje de abscisas.

Asíntota vertical en x=3 porque es donde se anula el denominador.

SIMETRÍA DE FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES

Simetría respecto del eje y, simetría par.

Simetría respecto del origen de coordenadas (0,0), simetría impar.

Polinómicas

1)Todos los exponentes pares, simetría par.

2)Todos los exponentes impares, simetría

impar.

3)Contiene exponentes pares e impares, no

tiene simetría.

Racionales

1)Par/impar= simetría impar.

2)Impar/par= simetría impar.

3)Par/par= simetría par.

4)Impar/impar= simetría par.

*Para considerar numerador o

denominador par o impar debe cumplir los

requisitos de las polinómicas

Algunas propiedades de la función exponencial son las siguientes:

1. Siempre es positiva.

2. Pasa siempre por el punto (1,0) y por el punto (1, e)

−𝑥

1

ⅇ

𝑥

ⅇ

𝑥

ⅇ

𝑦

𝑥−𝑦

𝑥

𝑦

𝑥+𝑦

𝑥

𝑦

𝑥𝑦

0

A.2. 5 ) LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial.

Se expresa 𝑦 = 𝑓

= log

𝑎

𝑥 y se lee logaritmo en base a de x, lo que equivale a que 𝑎

𝑦

El dominio de esta función es (0, ∞). La función es estrictamente creciente si a >1, y

estrictamente decreciente si 0< a >1.

Si la base del logaritmo es el número e, la función se denomina logaritmo neperiano y se denota

por ln(x). Las propiedades de esta función son las siguientes:

1. ln(xy) = ln(x)+ ln(y)

2. ln(x/y) = ln(x)-ln(y)

3. ln(𝑥

𝛼

) = 𝛼 ⋅ ln 𝑥

4. ln(1) = 0

5. ln(ⅇ

𝑥

) = 𝑥 para cualquier 𝑥 ∈ ℝ, ⅇ

ln 𝑥

= 𝑥 para cualquier 𝑥 > 0

Su representación gráfica es la siguiente:

f(x)= ln(x)

Pasa por el punto (1,0) y por el punto (e,1)

A.2. 6 ) LA FUNCIÓN POTENCIA

La función potencia se define como f(x)=x

a

. Esta función muestra una gran variedad de

comportamientos en función del valor de a. El dominio de la función potencia es:

1. ℝ, si a es un número natural.

, si a es un número entero negativo.

[

, si a=

1

𝑛

, siendo n un número natural PAR.

4. ℝ, si a =

1

𝑛

, siendo n un número natural IMPAR

Algunos de sus REPRESENTACIONES GRÁFICAS más habituales son las siguientes:

Y=x

n

, con n número NATURAL PAR

Y=x

• n

n número NATURAL PAR

Y= x

n

, con n>1 número NATURAL IMPAR

Y=x

• n

n número NATURAL IMPAR

FUNCIÓN SENO Y COSENO

El Dominio de las funciones seno y coseno es ℝ y ambas toman valores comprendidos entre - 1

y 1. Las funciones seno y coseno son periódicas de período 2Π.

La función seno (la roja) corta con el eje X cuando X vale Π y – Π. Por su parte la función coseno

(azul) corta con el eje X cuando X vale Π/2 y – Π/2. La función seno en x=0 vale 0 mientras que

la función coseno en x=0 vale 1. Ambas funciones están acotadas superior e inferiormente

entre 1 y - 1 respectivamente.

FUNCIÓN SENO (y=sen(x)) FUNCIÓN COSENO (y=cos (x))

FUNCIÓN TANGENTE

La función tangente también se puede expresar como 𝑡𝑔(𝑥) =

𝑠𝑖𝑛

( 𝑥

)

𝑐𝑜𝑠

( 𝑥

)

por lo que la función tg(x)

no está definida en los puntos en los que el coseno vale 0, esto es en los puntos Π/2 +K·Π. Sin

embargo, su imagen es ℝ. Tiene simetría impar.

La función tangente es periódica de período Π, es decir, tg(x)=tg (x + KΠ)

Im f = {y ∈ R | existe x ∈ D con f(x) = y}.

En otras palabras, el Dominio es un subconjunto del conjunto de origen. Por su parte la Imagen

son los elementos en llegada que tienen antecedente en origen.

En este caso A es el conjunto de

origen y el dominio coincide con

él. Está integrado por a, b, c, que

son antecedentes de 1,2 y 3

respectivamente. Al formar

parte del grupo de llegada (b) y

tener antecedente, forman

parte de la imagen de la función.

B. 2 ) FUNCIONES INYECTIAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS

Funciones inyectivas

A orígenes distintos, llegadas distintas. Ningún

elemento en llegada tiene dos antecedentes

(Es por esto que, a elementos iguales en llegada,

les corresponden un mismo antecedente.)

Funciones suprayectivas

Todos los elementos del conjunto llegada tienen un

antecedente en el conjunto origen. Se puede dar el

caso de que un mismo elemento de llegada tenga dos

antecedentes.

Funciones biyectivas

Una función es biyectiva cuando es a la vez

inyectiva y suprayectiva. Es decir, todos los

elementos en llegada tienen un ÚNICO

antecedente.

También puede darse el caso de que una función no sea ninguna de las anteriores. Esto ocurrirá

cuando haya elementos en llegada que no tengan antecedente y haya algún elemento que tenga

dos antecedentes. Es necesario que se cumplan las dos condiciones a la vez.

f(x) INYECTIVA SUPRAYECTIVA BIYECTIVA

f(X)=cte.

NO NO NO

f(x)=x

SÍ SÍ SÍ

f(x)=

SÍ NO NO

f(x)=x

2

NO NO NO

B.3) OPERACIONES CON FUNCIONES

Sean f, g: D ⊆ R −→ R dos funciones. Entonces:

1. f y g son iguales cuando f(x) = g(x) para cada x ∈ D.

2. La función suma de f y g, que se denota f + g, es (f + g) (x) = f(x) + g(x) para cada x ∈ D.

3. Dado α ∈ R, la función producto de α por f, que se denota αf, es

(αf) (x) = αf(x) para cada x ∈ D.

4. Si f es inyectiva, se define la función inversa de f y se denota por f −1, como la función con

dominio Im f tal que para cada y ∈ Im f, f

− 1

(y) = x, siendo f(x) = y.

5. La función producto de f y g, que se denota f · g, es (f · g) (x) = f(x) · g(x) para cada x ∈ D.

Para que x 1

sea un máximo local estricto f(x 1

) debe alcanzar la mayor altura de los valores

cercanos a él. Para que x 0

sea un mínimo local estricto, f(x 0

) debe alcanzar la menor altura de los

valores cercanos a él.

Es estricto cuando es un solo punto el que alcanza la mayor o la menor altura (en función de si

es máximo o mínimo), de los puntos de su zona. Si hay un intervalo de puntos que alcanzan la

misma altura entonces es un mínimo o un máximo no estricto.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES O RELATIVOS NO ESTRICTOS

En el intervalo (4,9) hay un máximo local no estricto.

En el intervalo hay un mínimo local no estricto.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES ESTRICTOS

Se da un máximo o un mínimo global cuando alcanza la mayor altura de TODO EL DOMINIO. Al

igual que los relativos puede ser estricto o no estricto. Los de la imagen siguiente son estrictos.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES NO ESTRICTOS

En el intervalo (4,9) hay un máximo global no estricto, ya que no es un solo punto. Además,

dichos puntos alcanzan la mayor altura de todo el dominio.

En el intervalo (14’5, 19) hay un mínimo global no estricto, ya que no es un solo punto. Además,

dichos puntos alcanzan la menor altura de todo el dominio.

OBSERVACIONES:

1)Diferenciar entre máximo (valor de x, “máximo en x 1

=1”) y valor máximo (valor de f(x 1

2)Existen funciones que no tienen ni máximos ni mínimos ni locales ni globales. Ejemplo la

función f(x)=e

x

3)Los extremos globales también son locales. (La afirmación al revés no es cierta; hay extremos

que son locales que no son globales)

4)Los máximos o mínimos globales estrictos (si existen), van a ser únicos. Es imposible que haya

dos o más máximos o mínimos globales estrictos.

5)Si x 0

es mínimo de f(x) va a ser mínimo de - f(x). Estos heredan las características del original

(local, global, estricto…)