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13. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Las funciones trigonométricas , en matemática, son relaciones angulares; guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos y son de gran importancia en astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de fenómenos periódicos, y otras muchas aplicaciones.
Función seno
Definición 1. Función seno La función (^) f : R → R , es llamada función seno si la definimos como f ( x )= sen ( x ). Dominio (^) ¿ R
Imagen ¿ [ − 1 , 1 ]
Tabulando algunos puntos: x - ^ - /2^0 /2^ ^3 /2^2 sen ( x ) 0 -1 0 1 0 -1 0 Ejemplo 1: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f ( x )= 5 senx Solución Dom ( f )= R Como (^) − 1 ≤ senx ≤ 1 ⇒ − 5 ≤ 5 senx≤ 5
ℑ( f )=[− 5 , 5 ]
Ejemplo 2: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f^ (^ x^ )= sen^^5 x Solución Dom ( f )= R Como (^) − 1 ≤ sen 5 x ≤ 1
ℑ( f )=[− 1 , 1 ]
Función coseno
Definición 2. Función coseno La función (^) f : R → R , es llamada función coseno si la definimos como f ( x )=cos ( x ). Dominio ¿ R
Imagen ¿ [ − 1 , 1 ]
Fig. 1 Gráfica : Fig. 3 Gráfica : Gráfica : Fig. 2
Tabulando algunos puntos: x - ^ - /2^0 /2^ 3 /2^2 cos ( x ) (^) -1 0 1 0 -1 0 1 Ejemplo 3: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f ( x )= 2 cosx Solución Dom ( f )= R Como (^) − 1 ≤ cosx≤ 1 , (^) ⇒ − 2 ≤ 2 cosx ≤ 2
ℑ( f )=[− 2 , 2 ]
Ejemplo 4: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f^ (^ x^ )=cos^ x 2 Solución Dom ( f )= R Como − 1 ≤ cos x 2
ℑ( f )=[− 1 , 1 ]
La función f , es periódica si f ( x + p )= f ( x ), para todos los números reales x en el dominio de f. Si la función periódica (^) f , alcanza un máximo ( M ) y un mínimo ( N ), definimos la amplitud Amplitud =
M − N
Ejemplo 5: Determine el periodo y la amplitud de las funciones a) f ( x )= sen ( πx 6 )^ b) (^) f ( x )= 2 cos ( 2 x ) c) f ( x )= 12 + 2 sen ( πx 6 ) Solución a) Como la imagen de sen ( πx 6 )^
es [− 1 , 1 ], entonces su amplitud es 1.
El periodo de (^) f ( x ) se deduce de la ecuación sen ( πx 6 ) = sen ( πx 6
Pπ 6 ) De don de (^) P = 12.
b) Como la imagen de 2 cos ( 2 x ) es [− 2 , 2 ], entonces su amplitud es 2.
El periodo de (^) f ( x ) se deduce de la ecuación 2 cos ( 2 x ) = 2 cos ( 2 x + 2 P ) De donde (^) P = π c) Como la imagen de (^12) + 2 sen ( πx 6 )^
es [ 10 , 14 ], entonces su amplitud es
Fig. 4 Fig. 5 Fig. 6
Fig. 8 tan ( x ) 0 0.6 1 1. Gráfica : Ejemplo 7: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f ( x )= 2 tanx Solución Dom ( f )= R - {/2, 3 /2, 5 /2,} ℑ( f )= R Gráfica : Ejemplo 8: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f^ (^ x^ )=tan^ x 4 Solución Dom ( f )= R - { 2 , 6 , 10 ,} ℑ( f )= R Gráfica :
Función cotangente
Definición 4. Función cotangente La función (^) f : R → R , es llamada función Cotangente si la definimos como f ( x )=cot ( x ). Dominio ¿ R -{0,, 2 , 3 4 ,…} y Imagen (^) ¿ R Tabulando algunos puntos: x /2 /6 /4 / cot ( x ) 0 1.73 1 0, Gráfica : Ejemplo 9: Determinar el dominio, imagen y gráfica de f^ (^ x^ )= ctan^ x 2 Fig. 9 Fig. 10
Solución Dom ( f )= R - {0, 2 , 4 , 6 ,} ℑ( f )= R Gráfica : Ejemplo 10: Determinar el periodo de la función: f^ (^ x^ )=^2 +^ tanx 4 . Solución Resolvemos la ecuación f ( x )= f ( x + P ) 2 + tanx 4
tan ( x + P ) 4 tanx =tan ( x + P ) tanx = tanx + tanP 1 − tanx .tanP tanx −tan 2 x. tanP = tanx + tanP −tan 2
x .tanP = tanP ,^ tanP ( 1 + tan
2
x ) = 0 , P = π
Función secante
Definición 5. Función secante La función (^) f : R → R , es llamada función secante si la definimos como f ( x )= sec ( x ). Dominio (^) ¿ R –{/2, 3 /2, 5 /2,} Imagen (^) ¿[1,><-,-1] x^0 /6^ /4^ / sec ( x ) 1 1.54 1.41 2 Ejemplo 11: Determinar los elementos de la función: f^ (^ x^ )=^2 secx. Solución Dom ( f )= R –{/2, 3 /2, 5 /2,} ℑ( f )=¿[2,><-,-2] x^0 /6^ /4^ / sec ( x ) 2 3.08^ 2.82^4 Fig. 13 Fig. 14 Gráfica : Fig. 11 Fig. 12 Gráfica :
Solución
Como f ( 0 )= 0 , 0 = atan ( b ( x − h ) ) ⟺ h = 0
Como el periodo es P = π 2 , entonces: tan ( bx ) =tan ( bx + bπ 2 ) ⟺ b = 2 Usando el par ordenado ( π 8
2 ) ,obtenemos (^) atan ( π 4 )
⟺ a =
Por tanto (^) f ( x )=
tan ( 2 x ). Ejemplo 15: Indique el periodo y las asíntotas de las funciones a ¿ f ( x ) = sec ( 4 x ); b ¿ f ( x )=− csc (^) ( x 2
π 4 ) Solución a) Resolviendo la ecuación: (^) sec ( 4 x )= sec ( 4 x + 4 P ) cos ( 4 x )=cos ( 4 x + 4 P ) cos ( 4 x )=cos ( 4 x ) cos ( 4 P )− sen ( 4 x ) sen ( 4 P ) Por lo tanto tiene periodo (^) P = π 2 . Asíntotas: x =/8; 3 /8; 5 / b) Resolviendo: − csc ( x 2
π 4 ) =− csc ( x 2
π 4
P
2 ) sen ( x 2
π 4 ) = sen ( x 2
π 4
P
2 ) sen ( x 2
π 4 ) = sen (^) ( x 2
π 4 ) cos(
P
2 ) +cos (^) ( x 2
π 4 ) sen (^) (
P
2 ) Por lo tanto tiene periodo (^) P = 4 π. Asíntotas: x =0; 5 /2; 9 /2,
