Funciones trigonométricas II, Apuntes de Cálculo Avanzado

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PROBLEMA 15:

A partir de las siguientes

condiciones:

tan x + cot x = a … 1

cos x

sen x

= b … 2

RESOLUCIÓN:

De las condiciones:

sec

2

x csc

2

x

tan x + cot x = a … 1

sec x + csc x = b … 2

sec

2

x + csc

2

x + 2 sec x csc x = b

2

CLAVE: A

∴ a

2

+ 2a = b

2

Encuentre una relación entre a

y b independiente de x,

∀x ≠

kπ

, k ∈ ℤ

A) a

2

+ 2a = b

2

B) a

2

− 2a = b

2

C) 2 a

2

+ a = b

2

D) a

2

+ a = b

2

E) a

2

+ 3a = b

2

2

: sec x + csc x

2

= b

2

⇒ sec x csc x

2

+ 2 sec x csc x = b

2

a a

RESOLUCIÓN:

Sea:

E =

sen 5x − sen(x)

sen 3x + sen(x)

cos(3x)

cos(x)

CLAVE: C

E = 2 cos 2x − 1 = 𝐀 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝐁𝐱 + 𝐂

→ A = 2 ; B = 2 y C = − 1

PROBLEMA 17

Dada la identidad:

sen 5 x − sen(x)

sen 3 x + sen(x)

= A ∙ cos Bx + C; ∀x ≠

kπ

, k ∈ ℤ ; B > 0

Calcule el valor de A+ 2 B+C

A) 3 B) 4 C) 5 E) 7

D) 6

PROBLEMA 18:

Calcule el valor de k, si se cumple:

A) 1 / 16 B) − 1 / 16

C) 1 / 8

D) − 1 / 8 E) − 1 / 4

RESOLUCIÓN:

Tenemos:

cos

π

• cos

3 π

• cos

5 π

7

= kcos

π

cos

3 π

cos

5 π

cos

π

• cos

3 π

• cos

5 π

7

= kcos

π

cos

3 π

cos

5 π

⟹ cos

π

• cos

3 π

• cos

5 π

7

= −kcos

π

cos

3 π

cos

π

2n + 1

• cos

3π

2n + 1

• ⋯ + cos

2n − 1 π

2n + 1

=

1

2

cos

π

2n + 1

cos

2 π

2n + 1

× ⋯ × cos

nπ

2n + 1

=

1

2

n

Para n =

Para n =

RESOLUCIÓN:

La función f esta definida en los reales cuando:

sen(x) ≠ 1

f x =

2 cos

2

(x)

1 − sen(x)

f x = 2 ( 1 + sen(x))

CLAVE: C

PROBLEMA 19

Dada la función f definida por:

f x =

1 + cos( 2 x)

1 − sen(x)

Determine el rango de f.

A)

4 B)

C)

E)

D) ሾ 0 ; 4 ሿ

→ x ≠ 4k + 1

π

; k ∈ ℤ

Reducimos f(x):

2 ( 1 − sen(x))( 1 + sen(x))

1 − sen(x)

∀x ∈ Dom(f): − 1 ≤ sen x < 1

Tenemos que:

0 ≤ 1 + sen x < 2

0 ≤ 2 ( 1 + sen x ) < 4

CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIOS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

PRE 2023- 1

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS II

10.

Y

X

O

FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE

2

Su gráfica es:

π

2

−

π

2

3π

2

−π π 2 π

𝐓 = 𝛑

P x; cot(x)

Observe

Y

X

O

2 π − 2 π −π π π

2

−

π

2

3π

2

−

3π

2

𝐃𝐞𝐜𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 𝐃𝐞𝐜𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞

−𝐱

𝐜𝐨𝐭(−𝐱)

𝐱

𝐜𝐨𝐭(𝐱)

x = − 2 π x = −π x = 0 x = π

x = 2 π

Asíntotas

APLICACIÓN 01 (4ta PC CEPRE 2017-2)

Determine el dominio de la función f, definida por:

f x = cot πsen x ; ∀k ∈ ℤ

A) ℝ − kπ B) ℝ C)ℝ − 2 kπ D)ℝ − 2k + 1

π

E)ℝ −

kπ

RESOLUCIÓN

∴ Dom f = ℝ −

kπ

2 CLAVE: E

f x = cot(πsen x )

πsen x = 0 , π, −π

sen x = 0 , 1 , − 1

x ≠ k

𝐟 no está definida cuando:

Luego, 𝐟 está definida cuando:

Es decir, cuando:

Y

X

x

APLICACIÓN 02

A) ℝ − 2n + 1 π/ 4

B) ℝ − nπ

C) ℝ − 2n + 1 π/ 2

D) ℝ − nπ/ 4

E) ℝ − nπ/ 2

Determine el dominio de la

función f, definida por

f x =

cot x − tan x

, n ∈ ℤ

RESOLUCIÓN: De:

f x =

cot x − tan x

f esta definida si

cot x − tan x ≠ 0

cot x : x ≠ nπ

tan x :

x ≠ ( 2 n + 1 )π/ 2

x ≠

nπ

… (I)

además

→ tan

2

x ≠ 1

tan x ≠ ± 1

→ x ≠ 2 n + 1

… (II)

de I ∧ (II)

x ≠

nπ

CLAVE: D

APLICACIÓN 04

Determine el rango de la función f, definida por:

f x = 5 − 3 cot x , si x ∈ ൽ ቉

7π

5π

A) 2 ; 6

B) 2 : 6 C) − 1 ; 6

D) − 1 ; 6

E)

RESOLUCIÓN

7π

5π

En la CT

cot(x)

Se observa:

≤ cot(x) < 3

≥ 5 − 3 ∙ cot x > 5 − 3 ∙ 3

6 ≥ f(x) > 2

f(x)

CLAVE: E

∴ Ran f = ۦ 2 ; 6 ሿ

RESOLUCIÓN

∴ S = π 3 CLAVE: A

APLICACIÓN 05

Calcule el área de la región

rectangular sombreada.

A) π 3 B) 2 π 3

C) 2 π 3 / 3

D) 4 π 3 / 3 E) 3 π 3 / 2

Y

X

O

y = cot x

π

6

Y

X

O

f(x) = cot x

π

6

f

π

6

𝐓 = 𝛑

Notamos que:

S = T ∙ f

π

⇒ S = π ∙ cot

π

= π ∙ 3

Y

X

O

Observ

e

x =

π

2

x = −

π

2

x =

3π

2

x = −

3π

2

− 1

−𝐱

𝐬𝐞𝐜(−𝐱)

𝐱

𝐬𝐞𝐜(𝐱)

2 π −2π

−π π

1

C 𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 Dec 𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞

C 𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞 Dec 𝐫𝐞𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭𝐞

Asíntotas

Análisis de la función secante

✓ Dom f = ℝ −

(2k+ 1 )π

2

; ∀k ∈ ℤ

✓ Ran f = ℝ − − 1 ; 1

−∞ < 𝐬𝐞𝐜 𝐱 ≤ −𝟏 𝐯 𝟏 ≤ 𝐬𝐞𝐜 𝐱 < +∞

✓ Función par:

∀x ∈ Dom f : sec −x = sec(x)

✓ Es una función creciente en

2kπ; 2kπ +

π

2

; 2kπ +

π

2

; 2kπ + π

✓ Periodo principal: 2 π

✓ Asíntotas verticales: x =

(2k+ 1 )π

2

; ∀k ∈ ℤ

✓ Es una función decreciente en

2kπ −

π

2

; 2kπ ; 2kπ + π; 2 kπ +

3 π

2

✓ Puntos de discontinuidad:

(2k+ 1 )π

2

/k ∈ ℤ

X

Y

O

π

2

−

π

2

3π

2

− 1

1

P −x; sec(−x) P x; sec(x)

x =

π

2

x =

3π

2

x = −

π

2

𝐓 = 𝟐𝛑

𝐬𝐞𝐜 𝐱 ≥ 𝟏

π