Instituto Polit´ecnico Nacional
Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingenier´ıa
y Tecnolog´ıas Avanzadas
Variable Compleja. Funciones Trigonom´etricas inversas.
05 de Mayo de 2020
Ejercicios de la secci´on 4.4 del Zill:
En los problemas 1 a 10 encuentre todos los valores de la cantidad dada:
6. tan−12i.
Soluci´on:
Tenemos la f´ormula para encontrar el valor de la tangente inversa o arco tangente:
tan−12i=i
2ln i+ 2i
i−2i=i
2ln 3i
−i=i
2ln(−3) = i
2[fracloge(3) + i(π+ 2kπ )] =
=−(2k+ 1)π
2+i2 loge(3) = −(2k+ 1)π
2+ 1.0986i
10. tanh−1(√2i).
Soluci´on:
Tomamos la expresin para el arco tangente hiperb´olico inverso:
tanh−1(√2i) = 1
2ln 1 + √2i
1−√2i!=(1) 1
2ln −1
3+i2√2
3!=1
2[loge1 + i(1.911 + 2kπ)] =
=i(0.955 + kπ).
Donde se sustituye en (1) el cociente:
1 + √2i
1−√2i=(1 + √2i)
(1 −√2i)
(1 + √2i)
(1 + √2i)=1−2+2√2i
3=−1
3+i2√2
3
Si se usa el comando de Mathematica ArcTanh[Sqrt[2]I] se obtiene como resultado 0.955317i.
En los problemas 11 a 16 utilice la rama establecida de la funci´on multivaluada z1/2y la
rama principal de ln zpara:
a) Determinar el valor de la funci´on trigonom´etrica inversa o hiperb´olica inversa en el
punto dado y
b) calcular el valor de la derivada de la funci´on en el punto dado.
12. cos−1z,z=5
3; utilice la rama √reiθ/2, 0 < θ < 2π, de z1/2.
Soluci´on:
Usando la f´ormula para el arco coseno tenemos:
cos−15
3=−iLn
5
3+i 1−5
32!1/2
=−iLn "5
3+i1−25
91/2#=
1
